Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Статистическая обработка экспериментальных данных. Полный факторный эксперимент в языке R. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

При таком кодировании все новые переменные будут принимать значения от –1 до +1, т.е. , .

1.3. Взаимодействия факторов и полиномиальные модели

Наиболее часто в планировании эксперимента останавливаются

на полиномиальных моделях вида:

y = b0 – полином нулевой степени; y = b0 + b1x1 + b2x2 – полином 1-й степени (линейный);

y = b0 + b1x1 + b2x2 + b12x1x2 + b11x

Увеличивая степень полинома, можно задать приблизительное описание (аппроксимацию) функции любой сложности. Для экспериментатора же выбор полиномиальной модели позволяет значительно упростить поиск числовых коэффициентов. При выборе степени полинома нужно не забывать о простоте описания. Слишком высокие степени, несмотря на увеличение точности предсказания, редко приветствуются, поскольку с каждой новой степенью затрудняется поиск числовых коэффициентов. При увеличении коэффициентов растет и число опытов, необходимых для их вычисления. Чаще всего экспериментаторы стараются ограничиваться линейными полиномами, а если они недостаточно точны, – полиномами второй степени (квадратичными). Дальнейшее увеличение степени полинома ведет, как правило, только к увеличению сложности прогнозирования и не больше.

Для движения к точке оптимума нужна линейная модель + . Цель задачи – найти по результатам

+ b22x

– полином 2-й степени.

эксперимента значения неизвестных коэффициентов модели. Можно утверждать, что эксперимент проводится для проверки гипотезы о том, что линейная модель + адекватна. Греческие

буквы использованы для обозначения «истинных» генеральных значений соответствующих неизвестных. Эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет только получить выборочные оценки для коэффициентов уравнения + . Их

точность и надежность зависят от свойств выборки и нуждаются в

статистической проверке. Коэффициенты можно вычислить по простой формуле

Благодаря кодированию факторов расчет коэффициентов превратился в простую арифметическую процедуру. Для подсчета коэффициента используется вектор-столбец х1, а для – столбец

x2. Теперь вычислим . Если уравнение + справедливо, то оно верно и для средних арифметических значений

переменных: + . Но в силу свойства симметрии

. Следовательно, . Мы показали, что есть

среднее арифметическое значений параметра оптимизации. Чтобы его получить, необходимо сложить все y и разделить на число опытов. Чтобы привести эту процедуру в соответствие с формулой для вычисления коэффициентов, в матрицу планирования удобно ввести вектор-столбец фиктивной переменной x0, которая принимает во всех опытах значение +1.

Иногда удобно оценивать вклад фактора при переходе от нижнего уровня к верхнему уровню. Вклад, определенный таким образом, называется вкладом фактора (иногда его называют основным или главным эффектом). Он численно равен удвоенному коэффициенту. Для качественных факторов, варьируемых на двух уровнях, основной уровень не имеет физического смысла. Поэтому понятие «эффект фактора» является здесь естественным.

Планируя эксперимент, на первом этапе мы стремимся получить линейную модель. Однако нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования процесс описывается линейной моделью. Существуют способы проверки пригодности линейной модели (проверка адекватности).

Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор. В этом случае говорят, что имеет место эффект взаимодействия двух факторов. Полный факторный эксперимент позволяет количественно оценивать эффекты взаимодействия. Для этого надо, пользуясь правилом перемножения столбцов, получить столбец произведения двух факторов. При вычислении коэффициента, соответствующего эффекту

№ опыта

x1x2

–1

y2 3 +1

–1

№ опыта

x1x2

x1x3

x2x3

x1x2x3

1 + – – + + – – +

2 + + – – – – + +

3 + – + – – + – +

4 + + + + + + + +

y4 5 + – – – + + + – y5 6 + + – + – + – – y6 7 + – + + – – + – y7 8 + + + – + – – – y8

взаимодействия, с новым вектор-столбцом можно обращаться так же, как с вектор-столбцом любого фактора.

Для полного факторного эксперимента 2 планирования с учетом эффекта взаимодействия будет иметь следующий вид:

Очень важно, что при добавлении столбцов эффектов

взаимодействий все рассмотренные свойства матриц планирования сохраняются. Теперь модель выглядит следующим образом:

+ .

матрица

С ростом числа факторов число возможных взаимодействий

быстро растет. Обратимся к полному факторному эксперименту 2

Эффект взаимодействия x1x2x3 получается перемножением всех трех столбцов и называется эффектом взаимодействия второго порядка. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка. Вообще, эффект взаимодействия максимального порядка в полном факторном

эксперименте имеет порядок, на единицу меньший числа факторов. Довольно часто применяются синонимы: парные эффекты взаимодействия (x1x2, x2x3...), тройные (x1x2x3, x2x3x4...) и т. д.

Полное число всех возможных эффектов, включая b0, линейные эффекты и взаимодействия всех порядков, равно числу опытов полного факторного эксперимента. Чтобы найти число возможных взаимодействий некоторого порядка, можно воспользоваться обычной формулой числа сочетаний:

где k – число факторов, m – число элементов во взаимодействии, для плана 2

Однако сформулированные выше утверждения справедливы лишь в том случае, если модель включает только линейные эффекты и эффекты взаимодействия. Между тем, существенными могут оказаться коэффициенты при квадратах факторов, их кубах и т. д. Так, для случая существенных квадратичных членов в двухфакторном эксперименте модель можно записать так:

Попытка построения вектор-столбцов для и приводит к

получению единичных столбцов, совпадающих друг с другом и со столбцом х0. Так как эти столбцы неразличимы, то нельзя сказать, за счет чего получилась величина b0. Она включает значение свободного члена и вклады квадратичных членов. В этом случае говорят, что имеет место смешанная оценка. Это символически записывается следующим образом:

где b0 – вычисленный коэффициент, а греческими буквами, как принято в статистике, обозначены неизвестные истинные значения свободного члена ( ) и квадратичных коэффициентов ( ).

число парных взаимодействий равно 6.

№

Эксперимента

Факторы

Взаимодействия

Результаты

опытов

Сред-

нее

резуль-

татов

1 + + + + + +

2 – + + – – +

3 + – + – + –

4 – – + + – –

5 + + – + – –

6 – + – – + –

7 + – – – – +

8 – – – + + +

1.4. План проведения полного факторного эксперимента

Таблица 2. Матрица планирования для обработки результатов

Обычно проводят несколько серий опытов для каждого

эксперимента. Это необходимо для проверки уравнения на адекватность.

Адекватность – это способность модели предсказывать

результаты эксперимента в некоторой области с требуемой точностью. Результаты опытов в каждом j-м эксперименте (j=1, …, n) записывают в правые столбцы матрицы планирования. В последнем столбце записывают средние выборочные значения полученных результатов для каждой серии опытов (см. табл. 2). Если каждый эксперимент повторяли m раз, то в матрице будет записано m столбцов .

Например, в табл. 2 видно, что каждый эксперимент повторялся три раза, т.е. m = 3. Если обозначить за значение результата,

полученного в i-м опыте (i=1,…,m) для j-го эксперимента (j=1,…,n), то выборочное среднее для каждого эксперимента вычисляют по известной формуле:

Коэффициенты уравнения регрессии находят с помощью

метода наименьших квадратов. Так как матрица планирования ПФЭ

должна удовлетворять определенным требованиям (такие матрицы

с заданными требованиями уже построены), то формулы, определяющие коэффициенты уравнения регрессии, достаточно просты:

Полученные коэффициенты необходимо проверить на

значимость. Это можно сделать с помощью критерия Стьюдента: если , то b значим; если , то b незначим

и его полагают равным нулю в уравнении регрессии.

Критическую точку находят из таблиц распределения

Стьюдента по числу степеней свободы n(m - 1) и с заданным уровнем значимости α для случая двусторонней критической области.

Среднее квадратичное отклонение коэффициентов ,

зависит от дисперсии воспроизводимости результатов по всем проведенным опытам и вычисляется по формуле

Дисперсия воспроизводимости характеризует ошибку

всего эксперимента. В случае равномерного дублирования опытов (т.е.

при одинаковом числе наблюдений в каждом эксперименте) для расчета используют формулу

где n – число экспериментов (число строк в матрице ПФЭ);

m – число опытов (наблюдений) в каждом эксперименте; – результат отдельного i-го наблюдения в j-м эксперименте;

– среднее выборочное значение наблюдений для j-го

эксперимента, которое определяется по формуле (2).

Проверка на адекватность полученного уравнения регрессии со

значимыми коэффициентами осуществляется с помощью критерия Фишера: если , то уравнение адекватно, в противном

случае – неадекватно. Расчетное значение критерия определяют по формуле

где – дисперсия воспроизводимости, найденная по формуле

(5), а – остаточная дисперсия (или дисперсия адекватности). Остаточная дисперсия вычисляется следующим образом:

где n – число экспериментов;

m – число опытов в каждом эксперименте; r – число значимых коэффициентов в уравнении регрессии;

– значение изучаемого параметра, вычисленное по уравнению

регрессии со значимыми коэффициентами для j-го эксперимента;

– среднее выборочное значение наблюдений для j-го эксперимента.

Табличное значение критерия находят из таблиц

критических точек распределения Фишера по заданному уровню значимости α и по соответствующим степеням свободы = n - r и =

n(m -1). Степень свободы соответствует степени свободы числителя формулы (6) – остаточной дисперсии , а – степень свободы знаменателя формулы (6) – дисперсии воспроизводимости .

Анализ результатов предполагает интерпретацию полученной

модели. Интерпретацию модели можно производить только тогда, когда она записана в кодированных переменных. Только в этом случае на коэффициенты не влияет масштаб факторов и мы можем по величине коэффициентов судить о степени влияния того или иного фактора. Чем больше абсолютная величина коэффициента, тем больше фактор влияет на отклик (изучаемый параметр). Следовательно, можно расположить факторы по величине их влияния. Знак «плюс» у коэффициента свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина отклика, а при знаке «минус» – убывает.

Для получения математической модели в натуральных

переменных в уравнение регрессии вместо необходимо подставить их выражения из формулы (1). При переходе к

натуральным переменным коэффициенты уравнения изменяются, и в этом случае пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов. Однако если уравнение адекватно, то с его помощью можно определять значения исследуемой величины, не проводя эксперимента и придавая факторам значения, которые должны лежать между нижним и верхним уровнями.

№

экспе-

римента

Изучаемые

факторы

Результаты опытов

1 + + + 7,4

8,4

6,4

2 – + + 8,6 7 7,8

3 + – + 12,3 9 9,3

4 – – + 5,81

5,8

5,7

5 + + – 18,8

15,2 6 – + –

8,4

7 + – – 11,8 7 9,4

8 – – – 10,5

7,8

8,1

2. Практическая часть

2.1. Пример для исследования технологического процесса

Для исследования влияния некоторых технологических

факторов на прочность склеивания слоев печатных плат полиуретановым клеем были поставлены эксперименты по плану ПФЭ

, причем каждый эксперимент повторялся по три раза. В качестве факторов, влияющих на прочность y (кг/2,5 ), были выбраны следующие:

– количество наносимого клея (г/ ), 0,02, 0.06; – время активации клеевой пленки (с), 60, 300; – давление преса при склеивании (кгс/ ), 2, 8.

Требуется построить уравнение регрессии, учитывая все

взаимодействия факторов, проверить полученную модель на адекватность и произвести ее интерпретацию (табл. 3).

Таблица 3. Исходная матрица планирования ПФЭ

Фак-

торы

Верхний

уровень

Нижний уровень

Центр

Интервал

варьирования

Зависимость кодированной

переменной от

натуральной

0,06

0,02

0,04

0,02

300

180

120

8 2 5

Алгоритм проведения полного факторного эксперимента

состоит из следующих основных шагов:

1) кодирование переменных;

2) достраивание матрицы планирования в кодированных переменных с учетом парных взаимодействий и дополнение столбцом средних значений отклика;

3) вычисление коэффициентов уравнения регрессии;

4) проверка вычисленных коэффициентов на значимость, предварительно выполняется расчёт дисперсии воспроизводимости и среднеквадратичного отклонения (СКО), получение уравнения регрессии в кодированных переменных;

5) проверка полученного уравнения на адекватность;

6) интерпретация полученной модели;

7) запись уравнения регрессии в натуральных переменных.

Шаг 1. Для каждого фактора находим центр, интервал варьирования и зависимость кодированной переменной от натуральной по формулам (1). Оформим результаты в виде табл. 4.

Таблица 4. Кодирование факторов

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]