Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Статистическая обработка экспериментальных данных. Полный факторный эксперимент в языке R. Учебное пособие
.pdf
№
экспе-
римен-
та
Факторы
Взаимодействия
Результаты
опытов
Сред-
нее
резуль-
татов
1 + + + + + + + 7,4
8,4
6,4
7,4
2 – + + – – + – 8,6 7 7,8
7,8
3 + – + – + – – 12,3
9
9,3
10,2
Шаг 2. По формуле (2) считаем средневыборочные значения
результатов для каждого эксперимента:
Строим матрицу планирования с учетом всех взаимодействий
и средних значений отклика (табл. 5).
Таблица 5. Матрица планирования для обработки результатов
21
Таблица 5. Окончание
4 – – + + – – + 5,81
5,8
5,7
5,77
5 + + – + – – – 18,8
17
15,2
17
6 – + – – + – + 8,4
8,4 6 7,6
7 + – – – – + + 11,8
7
9,4
9,4
8 – – – + + + – 10,5
7,8
8,1
8,8
Шаг 3. Вычисление коэффициентов уравнения регрессии по
формуле (3):
22
9,25
1,75
0,7
-1,45
0,5
-0,75
-0,9
-1,7
Составляем для наглядности табл. 6, в которую заносим
найденные коэффициенты уравнения регрессии.
Таблица 6. Коэффициенты уравнения регрессии
Шаг 4. Нахождение дисперсии воспроизводимости . Для
облегчения расчетов запишем формулу (5) в другом виде:
23
j
1
7,4
8,4
6,4
7,4 0 1 1 1
2
8,6 7 7,8
7,8
0,64
0,64
0
0,64
3
12,3 9 9,3
10,2
4,41
1,44
0,81
3,33
4
5,81
5,8
5,7
5,77
0,0016
0,0009
0,0049
0,0037
5
18,8
17
15,2
17
3,24
0
3,24
3,24
6
8,4
8,4 6 7,6
0,64
0,64
2,56
1,92
7
11,8 7 9,4
9,4
5,76
5,76
0
5,76
8
10,5
7,8
8,1
8,8
2,89
1
0,49
2,19
В данной формуле внутренние суммы являются
выборочными дисперсиями результатов опытов для j-го эксперимента
(j=1,…, n). Для удобства оформим расчеты в виде табл. 7.
Таблица 7. Расчет выборочных дисперсий
Суммируя элементы последнего столбца табл. 7, получаем
18,0837.
Отсюда получаем дисперсию воспроизводимости:
По формуле (4) определяем среднеквадратичное отклонение
(СКО) коэффициентов:
24
= = 0,30692 0,307.
Из таблиц распределения Стьюдента (см. приложение) по
числу степеней свободы для n и m получим ,
при уровне значимости α = 0,05 находим = 2,12. Следовательно,
= 2,12 0,307=0,65084 0,65.
Сравнивая полученное значение =0,65 с
коэффициентами уравнения регрессии, представленными в табл. 6,
видим, что все коэффициенты кроме больше по абсолютной
величине 0,65. Следовательно, все коэффициенты кроме значимы.
Полагая = 0, получаем уравнение регрессии в кодированных
переменных:
Шаг 5. Проверим полученное уравнение (8) на адекватность по
критерию Фишера. Так как дисперсия воспроизводимости найдена в
предыдущем пункте, то для определения расчетного значения
критерия необходимо вычислить остаточную дисперсию .
Для этого найдем значения изучаемого параметра по
полученному уравнению регрессии (j=1,…, 8), подставляя +1 или -1
вместо в соответствии с номером j эксперимента из табл. 5:
25
Остаточную дисперсию вычисляем по формуле (7):
Расчетное значение критерия Фишера (см. приложение)
считаем по формуле (6):
Табличное значение критерия находим из таблиц
критических точек распределения Фишера при уровне значимости α=
0,05 по соответствующим степеням свободы = n – r= 8 – 7 = 1 и
= n(m -1)= 8·2 = 16:
Так как = 2,8 < = 4,49, то уравнение регрессии
адекватно.
Шаг 6. Проведем интерпретацию полученной модели (8)
По уравнению видно, что наиболее сильное влияние оказывает
фактор – количество наносимого клея, так как он имеет
+
наибольший по абсолютной величине коэффициент. После него по
силе влияния на отклик (прочность склеивания слоев печатных плат)
идут: тройное взаимодействие всех факторов ; фактор –
26
давление пресса при склеивании; парное взаимодействие –
сочетание времени активации клеевой пленки и уровня давления при
склеивании; парное взаимодействие – сочетание количества
наносимого клея и уровня давления при склеивании и фактор –
время активации клеевой пленки.
Так как коэффициенты при и положительны, то с
увеличением этих факторов увеличивается отклик, т.е. увеличивается
прочность. Коэффициенты при , , , отрицательны,
это означает, что с уменьшением фактора и перечисленных
взаимодействий значение отклика будет возрастать, а с увеличением –
убывать.
Шаг 7. Выпишем уравнение регрессии в натуральных
переменных, подставляя вместо их выражения через , которые
берем из последнего столбца табл. 4:
Преобразовав это уравнение, окончательно получим его вид в
натуральных переменных:
27
2.2. Реализация на языке программирования R
Решение полного факторного эксперимента на языке
программирования R начинается с задания количества изучаемых
факторов (k=3) и числа опытов в каждом эксперименте (m=3), число
экспериментов n вычисляется автоматически по формуле ,
результат выполнения показан на рис. 5.
Рис. 5. Ввод параметров эксперимента
Для того чтобы построить матрицу полного факторного
эксперимента на языке программирования R, нужно воспользоваться
функцией expand.grid. Нам требуется построить матрицу (factors), то
есть ПФЭ 23 для факторов , нижний и верхний уровни
должны называться “+1” и “-1” соответственно. Для этого необходимо
выполнить следующую инструкцию:
.
В ответ интепретатор R выдаст следующий результат (рис. 6):
Рис. 6. Матрица факторов
28
Затем следует сохранить полученные значения факторов в
таблицу "new_factors.txt" при помощи функции write.table, после чего
прочитать данные из файла функцией read.table в матрицу data_x, эти
операции требуются для дальнейшей корректной работы с данными,
результат выполнения операций приведен на рис. 7.
Рис. 7. Сохранение и чтение данных
На следующем шаге полного факторного эксперимента
необходимо достроить матрицу планирования в кодированных
переменных с учетом парных взаимодействий (full_factors_x),
выполняется это с помощью функции transform, внутри которой
изменяется матрица планирования (data_x) путем добавления
столбцов взаимодействия между факторами ( ), результат
показан на рис. 8.
29
Рис. 8. Добавление столбцов взаимодействия
Для дальнейшей работы программы и проведения ПФЭ
требуется ввести матрицу результатов опытов
соответственно (results), ввод осуществляется с клавиатуры при
помощи функции matrix, переименование строк и столбцов
осуществляется при помощи встроенных функций языка R rownames
и colnames (рис. 9).
Рис. 9. Ввод матрицы результатов опытов
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]