Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

−Выберите тот вид представления информации, который наиболее удачно соответствует выбранной ситуации.

−Выполните соответствующее изображение (диаграмму, график, таблицу).

−Интерпретируйте полученное изображение.

−Придумайте вопросы, на которые могут быть получены ответы на основе анализа каждого из полученных изображений.

1. Методическая подсказка к выполнению:

−Подберите или придумайте ситуации, аналогичные тем, которые вы решали на занятиях, имеющие фабулу, соотнесенную с повседневной жизнью.

−Подберите или придумайте ситуации, аналогичные тем, которые вы решали на занятиях, но возникающие в той предметной области, которую вы изучаете.

Приведем пример такой ситуации.

Ситуация.

Известно несколько крупнейших озер на планете. К ним относятся: Каспийское море (Азия), площадь которого 371 000 кв. км, а максимальная глубина составляет 1025 м; Верхнее (Сев. Америка), с площадью 82 400 кв. км и максимальной глубиной 393 м; Виктория (Африка), площадь — 68 800 кв. км, максимальная глубина — 80 м; Гурон (Сев. Америка), с площадью 59 700 кв. км и максимальной глубиной 229 м; Танганьика (Африка), площадь которого 32 900 кв. км и максимальная глубина — 1435 м.; Байкал (Азия), с площадью 31 500 кв. км и максимальной глубиной 1620 м; Бол. Медвежье (Сев. Америка), площадь которого 31 330 кв. км и максимальная глубина — 446 м; Малави (Африка), площадь — 28 880 кв. км, максимальная глубина — 678 м.

Комментарий.

В зависимости от задачи, которая стоит перед тем, кто работает с данной информацией, можно предложить разные варианты представления указанной информации.

Во-первых, данные можно занести в таблицу, сгруппировав указанные озера на основе места их расположения (часть света).

Во-вторых, данные можно упорядочить в таблицу: сверху вниз — либо по убыванию площади, что соответствует общему названию («Крупнейшие озера»), либо по убыванию глубины.

В-третьих, на основе данных могут быть составлены диаграммы, которые упорядочивают указанные озера по величине площади или по значению глубины, ставя каждому озеру в соответствие и значение его площади, и значение его максимальной глубины.

81

Вопросы, которые могут быть сформулированы по составленным изображениям, например, такие: Правда ли, что озеро, имеющее наибольшую площадь поверхности, имеет и наибольшую максимальную глубину? В какой из частей света нет ни одного из крупнейших озер, а в какой их больше всего? И т. п.

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.):

− Содержание практических занятий по теме «Математические средства представления информации. Формулы. Таблицы. Графики. Диаграммы».

− Карты, атласы, справочники.

− Интернет-ресурсы, соответствующие предметной области образовательной программы.

4. Критерии оценки выполнения задания.

Задание оценивается из расчета 3 баллов.

Студент получает за выполнение задания 3 балла, если:

−подобрано (составлено) не менее 5 (12 при групповой форме выполнения) ситуаций (задач);

−для всех подобранных ситуаций (задач) правильно подобран способ представления информации;

−для каждой ситуации сформулировано не менее 2 вопросов по полученному изображению.

Студент получает за выполнение задания 2 балла, если:

−подобрано (составлено) 3−4 (7−10 при групповой форме выполнения) ситуации (задачи);

−для всех подобранных ситуаций (задач) правильно подобран способ представления информации;

−для каждой ситуации сформулировано не менее 2 вопросов по полученному изображению;

или:

−подобрано (составлено) не менее 5 (12 при групповой форме выполнения) ситуаций (задач);

−не менее чем для 80% представленных ситуаций (задач) правильно подобран способ представления информации;

−для каждой ситуации сформулировано не менее 2 вопросов по полученному изображению.

Студент получает за выполнение задания 1 балл, если:

−подобрано (составлено) 3−4 (7−10 при групповой форме выполнения) ситуации (задачи);

−не менее чем для 80% представленных ситуаций (задач) правильно подобран способ представления информации;

82

− для каждой ситуации сформулировано менее 2 вопросов по полученному изображению.

Студент получает за выполнение задания 0 баллов, если результаты выполнения задания не соответствуют предыдущим критериям.

Задание № 2. Отбор задач, соответствующих предметной области, при решении которых целесообразно использовать элементы математического моделирования (2 ч)

Тема: «Математические модели в науке. Функции как математические модели реальных процессов».

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения):

−Вспомнить характеристические свойства различных видов функциональных зависимостей.

−Найти реальные примеры величин, которые связаны друг с другом определенной зависимостью.

−Определить, обладают ли найденные зависимости одним из выделенных характеристических свойств функциональных зависимостей.

−В случае положительного ответа на предыдущий вопрос, указать какая функциональная зависимость описывает (является моделью) зависимости между указанными величинами.

−Описать реальную ситуацию, в которой участвуют выделенные величины. Объяснить, какая функциональная зависимость может служить моделью зависимости между величинами в описанной ситуации.

2. Методическая подсказка к выполнению:

− Выделите характеристические свойства известных вам функциональных зависимостей.

Например, в прямой пропорциональности (у = кх, к > 0) увеличение одной величины в определенное число раз значение другой величины увеличивается во столько же раз. При этом нужно учесть, что в реальных ситуациях значения зависимой и независимой переменных чаще всего явля-

ются положительными числами. Обратная пропорциональность ( y = k , к > 0)

x

задает зависимость, когда увеличение значений одной величины в несколько раз приводит к уменьшению значений другой величины во столько же раз.

− Отберите несколько ситуаций, в которых есть зависимости между двумя величинами. Рассмотрите эти зависимости. Сравните их с известными вам функциональными зависимостями.

83

− Если выделенные зависимости являются функциональными зависимостями определенного вида, объясните, какая функция может быть моделью зависимости между величинами в данной ситуации.

Приведем пример рассуждений при описании ситуации.

Результаты анализа ситуации может быть представлен в виде таблицы (табл. 7).

Комментарий. Этот опыт описывается в учебнике физики 8 класса (А. В. Перыш-

кин)

При выборе и анализе ситуации нужно быть очень внимательными. Часто в качестве ситуаций для нахождения функции — модели используют пословицы и поговорки. Например, «Тише едешь, дальше будешь». При первоначальном анализе текста можно предположить, что здесь речь идет об обратно пропорциональной зависимости между скоростью движения (тише едешь) и расстоянием удаления (дальше будешь). Но здесь ведь не оговаривается, что уменьшение скорости в определенное число раз вызывает увеличение расстояния во столько же раз. Кроме того, с точки зрения физики это не верно, ведь, чем меньше скорость, тем пройденное за фиксированное время расстояние будет больше. Смысл поговорки в том, что кропотливое (неспешное) выполнение работы, дает лучший результат, обеспечивает продвижение. Речь идет не о движении.

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.):

−Содержание практических занятий по теме.

−Рекомендованные источники из списка основной литературы ([2]).

−Источник ([4]) из дополнительной литературы.

84

4. Критерии оценки выполнения задания.

Задание оценивается из расчета 3 баллов.

Студент получает за выполнение задания 3 балла, если:

−подобрано (составлено) не менее 5 (12 при групповой форме выполнения) ситуаций (задач), в которых одна из функций может служить моделью зависимости между соответствующими величинами, участвующими в ней;

−правильно указаны и объяснены функциональные зависимости, которые являются моделями зависимостей между величинами во всех ситуациях;

−ситуации хорошо описаны, грамотно оформлены и иллюстрированы схемами, графиками, чертежами.

Студент получает за выполнение задания 2 балла, если:

−подобрано (составлено) 3−4 (7−10 при групповой форме выполнения) ситуации (задачи), в которых одна из функций может служить моделью зависимости между соответствующими величинами, участвующими в ней;

−для всех подобранных ситуаций (задач) правильно подобран способ представления информации;

−ситуации хорошо описаны, грамотно оформлены и иллюстрированы схемами, графиками, чертежами;

или:

−подобрано (составлено) не менее 5 (12 при групповой форме выполнения) ситуаций (задач);

−правильно указаны и объяснены функциональные зависимости, которые являются моделями зависимостей между величинами не менее чем в 3 (8) ситуациях;

−ситуации хорошо описаны, грамотно оформлены и иллюстрированы схемами, графиками, чертежами.

Студент получает за выполнение задания 1 балл, если:

−подобрано (составлено) 3−4 (7−10 при групповой форме выполнения) ситуации (задачи), в которых одна из функций может служить моделью зависимости между соответствующими величинами, участвующими в ней;

−правильно указаны и объяснены функциональные зависимости, которые являются моделями зависимостей между величинами не менее чем в 2 (6) ситуациях;

−ситуации хорошо описаны, грамотно оформлены и иллюстрированы схемами, графиками, чертежами.

Студент получает за выполнение задания 0 баллов, если результаты выполнения задания не соответствуют предыдущим критериям.

85

Задание № 4. Решение цикла задач (1 ч)

Тема: «Методы решения комбинаторных задач как средство обработки и интерпретации информации».

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения).

Весь цикл задач разбит на 3 пронумерованных серии задач, начинающихся с основной задачи серии, выделенной жирным шрифтом

−Решите серии задач цикла в любом порядке.

−Выделите основные понятия и формулы комбинаторики, которые использовались при решении задач каждой серии.

−Запишите результаты решения задач цикла в таблицу 8:

− Для определения необходимой комбинации (перестановки, размещения, сочетания) целесообразно выполнить типологический анализ комбинаторных задач (задание № 6).

2. Методическая подсказка к выполнению:

−Определите, какие понятия и формулы используются в основной задаче серии, к какой группе комбинаций может быть отнесена основная задача (перестановки, размещения, сочетания). Используйте определения этих понятий и вид комбинации при решении каждой задачи серии.

−Если затрудняетесь с выбором вида комбинации и соответствующей формулы, то составьте несколько конкретных комбинаций для данной задачи и посмотрите, повторяются ли элементы в выборке, меняется ли состав в комбинации и важен ли порядок следования элементов.

−Подумайте, чем отличается каждая следующая задача серии от предыдущей. Используйте способ решения предыдущей задачи для решения следующей задачи в каждой серии.

−Обратите внимание на запись результата в каждой задаче. Не забывайте использовать специальные знаки для отличия комбинаций размеще-

86

ния и сочетаний с повторением и без повторения элементов при их записи ( А32 и А85 ; С32 иС32 ).

−Разберите решение задачи №… . Объясните подчеркнутые утверждения (или: Ответьте на вопросы по приведенному решению).

−Найдите ошибку в приведенном решении задачи №… . Объясните,

вчем состоит ошибка (или: Исправьте решение, и приведите верное). Приведем примеры решения некоторых задач:

Задача № 1 (основная). У дизайнера имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами он может осуществить обивку стульев, если каждый стул декорируется

только одним цветом ткани?

Подсказка. Приведите конкретные примеры обивки данных стульев. От чего зависят различные варианты обивки?

Решение: Обозначим цвета по первым буквам их названия: К, О, Ж, З, Г, С , Ф. Тогда возможны обивки: ККОФСК, ООООО, ГСОФЖ и др.

Так как стулья различны, то их можно расположить в различном порядке. Каждый стул может быть обит любой из 7 видов ткани (7 способов). Кроме того, в условии не сказано, что обивка каждого стула должна отличаться от обивки другого стула, значит, на разных стульях она может повторяться. В частности, все стулья могут быть обиты одним видом ткани, т. е., если представлять каждый стул как элемент, то каждый элемент может быть выбран любым из 7 способов (вид ткани). Наглядно это можно представить в виде строки ячеек:

7 7 7 7 7

Значит, всего способов обивки столько, сколько имеется размещений с

5

повторениями из 7 элементов по 5. По формуле находим: А7 = 75 =16807. Ответ: 16807 способов обить 5 различных стульев.

Используемые понятия: порядок элементов, способы выбора элементов, одинаковые способы, размещение с повторениями.

Задача № 2. На родительском собрании из 40 человек избирается секретарь, казначей и три представителя в родительский комитет класса, каждый из которых уже не может быть казначеем или секретарем.

Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек? Подсказка: Зависит ли выбор казначея и секретаря от выбора трех

представителей в родительский комитет класса? Для какого выбора (казначей и секретарь или 3 члена комитета) важен порядок избрания?

Решение: Выберем сначала казначея и секретаря. Вариантов выбора этих двух человек из 40 будет A402 . Размещения здесь потому, что этот вы-

87

бор зависит от порядка, например, «Иванов — казначей, Петров — секретарь» и «Петров — казначей, Иванов — секретарь» — это разные варианты. Затем из оставшихся 38 человек изберем 3 человека в родительский комитет класса, причем не важно в каком порядке они в этот комитет попадут. Это делается C383 способами. В силу того, что мы должны выбрать од-

новременно этих 5 человек, то по правилу произведения всего вариантов:

Можно было действовать иначе: сначала выбрать комитет C403 способами, а затем казначея и секретаря A372 способами. Всего вариантов:

С403 А372 =13160160.

Ответ: 13160160 способов выбрать казначея, секретаря и трех представителей в родительский комитет класса.

Используемые понятия: порядок элементов, различные элементы, размещение без повторения, сочетания без повторения.

Примечание. Как изменилось бы решение, если бы вопрос формулировался так: Сколько существует возможностей выбора, если надо выбрать казначея и секретаря или трех представителей в родительский комитет класса из представленных 40 человек? Число способов увеличилось бы или уменьшилось?

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.):

−Лекции и практические занятия по теме (примеры решения задач).

−Рекомендованные источники из списка основной литературы ([1]), дополнительной литературы ([2]).

−Адреса интернет-ресурсов:

http://www.math.ru/ — математический сайт, в библиотеке которого представлены полнотекстовые книги по комбинаторике и теории вероятностей (раздел «Теория вероятностей»).

http://cito-web.yspu.yar.ru/cito/cito.html — электронный ресурс для общего доступа Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского. В методических пособиях по математике представлен материал по теории вероятностей и комбинаторике.

88

Примерный вариант цикла задач по теме: «Комбинаторика и комбинаторные задачи»

Серия 1.

Задача № 1. Три студента были выбраны в качестве актива студенческой группы. Сколько существует различных способов назначения их на должности старосты, заместителя старосты, профорга, если

один студент не может занимать более одной должности?

Задача № 2. Верно ли решение следующей задачи?

У мамы 2 одинаковых яблока, 3 одинаковых мандарина и 4 одинаковых апельсина. Каждый день в течение 9 дней она выдает сыну по одному фрукту. Сколькими способами она может это сделать?

Решение: на каждый день мама выбирает для сына один из 9 фруктов, в силу того что соответствующие фрукты одинаковые, то в какие-то дни возможен повтор (например, 2 одинаковых яблока), однако важно, что есть возможность выбора между яблоком, мандарином и апельсином, т. е. эта схема перестановок фруктов с повторениями (яблоко 2 раза, мандарин 3 раза, апельсин 4 раза), значит Р(2, 3, 4) = 1260.

Задача № 3. Сколько нечетных и сколько четных четырехзначных чисел можно составить из цифр числа 3694, если каждую цифру надо использовать один раз?

Задача № 4. На первые две линии произвольным образом ставятся белые и черные фигуры (король и ферзь каждого цвета, по 2 ладьи, 2 слона, 2 коня). Сколькими способами это можно сделать? А если расставлять на всей доске? А если расставлять и все пешки?

Задача № 5. На званый вечер приглашены 5 мужчин и 5 женщин. Напротив каждого места на стол необходимо поставить табличку с именем того, кто будет на этом месте сидеть, но никакие два лица одного пола не должны сидеть рядом. Сколькими способами можно расставить таблички? А если они садятся на карусель, и способы, переходящие друг в друга при вращении карусели, считаются совпадающими?

Серия 2.

Задача № 1. У дизайнера имеется 5 различных стульев и 7 рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами он может осуществить обивку стульев, если каждый стул декорируется только

одним цветом ткани?

Задача № 2. Первого сентября на I курсе одного из факультетов запланировано по расписанию 4 занятия по разным предметам. Всего на I курсе изучается 11 предметов. Сколько существует способов составить расписание на 1 сентября?

89

Задача № 3. Известно, что в комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдец и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки отличаются друг от друга).

Сформулируйте вопрос к этому условию, чтобы получилась задача, имеющая своим решением следующую формулу: А43 А53 А63 =172800.

Задача № 4. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было выполнять переводы с любых из 5 языков на любой из этих пяти языков? На сколько больше словарей придется издать, если число языков равно 10?

Задача № 5. На родительском собрании из 40 человек избирается секретарь, казначей и три представителя в родительский комитет класса, каждый из которых уже не может быть казначеем или секретарем. Сколько существует возможностей выбора этих пяти человек?

Серия 3.

Задача № 1. Сколькими способами можно выбрать 3 диска по ма-

тематике из медиатеки факультета (25)?

Задача № 2. Верно ли, что при голосовании 91 способом можно опустить 12 бюллетеней в 3 урны, расположенных на участке голосования?

Задача № 3. Придумайте задачу с реальными объектами, решение которой основывалось бы на использовании формулы: а) C123 ; б) С1012.

Задача № 4. Из состава конференции, на которой присутствуют 52 человека, надо избрать президиум в составе 5 человек и делегацию в составе трех человек. Сколькими способами может быть произведен выбор, если члены президиума могут войти в состав делегации? А если не могут?

Задача № 5. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт есть хотя бы 1 туз? Ровно 1 туз?

4. Критерии оценки выполнения задания.

Студент получает 3 балла, если:

−правильно решено не менее 90% предложенных задач цикла;

−представлены решения задач из каждой серии цикла;

−приведены правильные ответы в таблице ко всем решенным зада-

чам.

Студент получает 2 балла, если:

−правильно решено не менее 90% предложенных задач цикла;

−представлены решения задач из каждой серии цикла;

−приведены правильные ответы в таблице не менее чем к 70% задач

цикла.

Студент получает 1 балл, если:

−правильно решено не менее 70% предложенных задач цикла;

−представлены решения задач из каждой серии цикла;

90