Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

Полезная информация

Люди издавна использовали моделирование как средство познания. Встречаясь в своей деятельности с чем-то неизвестным, человек, прежде всего, пытается сопоставить это неизвестное с уже известным ему. При таком сравнении про-

исходит перенос знания со второго на первое, иными словами, известное выступает как модель неизвестного.

Специфика моделирования состоит в изучении объекта не непосредственно, а путем исследования другого объекта, аналогичного в определенном отношении первому.

Следовательно, использование моделирования характеризуется тем, что между объектом и субъектом (исследователем) стоит промежуточное звено — модель. Модель может служить средством познания объекта, давать новые знания о нем в том случае, если она выступает как своего рода мостик, соединяющий исследователя с объектом познания.

Вывод по аналогии тем более достоверен, чем больше мы знаем о признаках, свойственных исследуемым объектам. Человек не в состоянии охватить, отобразить всю природу в ее непосредственной цельности, он может лишь вечно приближаться к этому, создавая абстракции, понятия, законы и т. д.

Под моделью в разных областях человеческой деятельности понимают разное. Так, говорят о моделях обуви, одежды, технических сооружений, атома, Вселенной и т. д. Термин «модель» употребляется в двух смыслах:

−некоторой теории;

−описания, отражения некоторой теории.

В естественных науках, таких как физика, химия, биология, термин «модель» употребляется в основном для обозначения того, что описывает теория. Здесь со словом «модель» связаны два значения. Во-первых, она выступает как некоторая идеализация, упрощение действительности (например, модели атомов в физике). Во-вторых, в более узком смысле, термин «модель» применяют для обозначения физической аналогии, как отношение сходства систем, состоящих из элементов разной физической природы, но обладающие одинаковой структурой (например, кристаллические решетки в химии).

Существуют и другие толкования термина «модель». На основе моделирования становится возможным предсказание существования объектов с заданными свойствами. Так, в 20-х гг. XX в., исследуя уравнения квантовой механики, Дирак обнаружил решение уравнения, которое характеризовало некоторую гипотетическую элементарную частицу. Через несколько лет эта

51

частица была экспериментально обнаружена и получила название позитрон. Аналогичным образом Ферми предсказал существование элементарной частицы нейтрино, которая была затем также экспериментально обнаружена.

Процесс построения математических моделей реально функционирующих систем очень сложен. Построение такой модели оценивается как выдающееся открытие. Так, в 1952 г. англичане А. Л. Ходжкин и Э. Ф. Хаксли построили математическую модель, имитирующую распространение неравного импульса в живом организме. За это достижение они в 1963 г. были удостоены Нобелевской премии. Предложенная модель представляет собой систему дифференциальных уравнений, описывающих распространение нервного импульса. При этом оказалось, что модельные расчеты и данные, полученные экспериментальным путем, очень хорошо согласуются. Важность построенной модели для развития науки состояла в том, что исходя из небольшого количества экспериментальных данных оказалось возможным объяснить с единой позиции ряд явлений, которые раньше казались независимыми, а также предсказать новые.

Впроцессе моделирования исходный объект заменяется его моделью, которая исследуется с помощью различных средств (в частности, компьютера).

Таким образом, можно уточнить понятие моделирования. Моделирование — это процесс создания, разработки моделей и их

применения для познания новых свойств, новых качеств, новых адекватных по структуре или функциям объектов в определенной сфере деятельности человека.

Воснове общепринятой классификации научных моделей (см. рис. 19) лежит понимание модели как средства отображения, воспроизведения той или иной части действительности с целью ее более глубокого познания.

Отношение между моделью и оригиналом (отношение отображения или воспроизведения) варьируется в зависимости от способа воспроизведения, то есть от тех средств, при помощи которых строится модель, либо от характера тех объектов, которые воспроизводятся в модели.

Материальные, или вещественные, реальные модели — конкретные модели, представляющие собой некоторые материальные объекты или совокупности объектов, отражающие в той или иной мере свойства объекта моделирования. Они воплощены в материальных предметах, изготовленных из различных материалов. Сюда же относят так называемые живые модели, которые отобраны человеком в силу присущих им свойств, позволяющих в упрощенной форме имитировать изучаемый сложный процесс (например, специально выведенные породы крыс для физиологических опытов).

52

Математика — наука о пространственных формах и количественных отношениях реального мира. Это некоторый универсальный язык, с помощью которого можно описать практически все явления окружающего мира, даже те, которые невозможно наблюдать непосредственно и трудно представить себе наглядно.

Математическим моделированием вы начали заниматься уже в начальной школе, когда составляли простейшие математические выражения. Любое уравнение, неравенство, система, график — является математической моделью.

Пример.

4x + 3y − 2600 = 0

Система линейных уравнений 5x + 2y − 2900 = 0 может рассматривать-

ся как математическая модель точки пресечения графиков двух линейных функций (прямых) на плоскости, или линии пересечения двух плоскостей, параллельных оси OZ в пространстве, или в экономике являться моделью ситуации: «Предприятие выпускает два вида продукции, используя сырье двух типов. Необходимые характеристики производства указаны в табл. 5. (которая тоже является математической моделью данной ситуации)».

В результате решения системы уравнений, получаем ответ на вопрос: «Каков объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья?».

Графическая интерпретация системы уравнений приводит к возможности графического решения системы и интерпретации экономической ситуации.

Точного определения понятия математической модели не существует. Можно предложить описание характеристик математической модели (несколько десятков), весьма отличающихся друг от друга.

54

Полезная информация

Математическая модель — совокупность уравнений, неравенств, ограничений, математических формул, определяющих выходные свойства объекта в зависимости от входных свойств, параметров и начальных условий.

Математическая модель — математическая структура, объекты которой трактуются как реальные «вещи» (понятия), а абстрактные отношения между ними — как конкретные связи между отношениями действительности. При математическом моделировании сущность явлений выражается в знаках.

Математическая модель — приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженного с помощью математической символики.

Математическая модель — система объектов или знаков, воспроизводящая некоторые существенные свойства системы-оригинала.

Иногда даже трудно определить, какая из двух сущностей является вещью, а какая ее моделью (например, график функции и ее уравнение). При осуществлении выбора следует исходить из прагматических соображений: модель — это то, с чем проще работать, то есть легче увидеть, запомнить, передать, записать, исследовать…

Математическое моделирование предполагает построение действующей математической модели, которая обладает характеристиками или свойствами рассматриваемого объекта.

Результатом исследования этой модели оказывается прогнозирование поведения реального объекта.

Математическая модель глубже вскрывает внутренние связи объекта, дает его точные количественные характеристики.

Математическая модель занимает особое место среди моделей, используемых в науке, так как является формальной конструкцией, такие модели позволяют выделить «в чистом виде» логическую структуру научной теории и количественные отношения между существенными переменными изучаемых явлений. Это позволяет проверить логическую состоятельность содержательной теории, исследовать ее структуру и построить на ее основе количественно определяющие утверждения относительно связи между фактами, а следовательно, создается возможность для экспериментальной проверки теории и ее практического использования. Таким образом, математическое моделирование — один из наиболее экономичных, точных и эффективных методов теоретического анализа, обобщающего формулирования и экспериментально контролируемого описания объективных свойств и отношений реальности.

55

Математическое моделирование используется:

−для численного экспериментирования или численного оценивания

вусловиях, когда проведение реального эксперимента связано с большими затратами;

−для ознакомления, изучения и совершенствования новых объектов;

−для проверки или демонстрации новой идеи или метода;

−как средство планирования и прогнозирования.

Когда вы начали изучать геометрию (планиметрию), вы познакомились с геометрией Евклида — моделью окружающего нас мира, в которой все объекты состоят из простейших геометрических фигур: точек, прямых или их частей и плоскостей или их частей.

Требования к модели

Содной стороны, модель должна быть достаточно полной, то есть в ней должны быть учтены все факторы, от которых существенно зависит поведение исследуемого объекта.

Сдругой стороны, модель должна быть достаточно простой, чтобы возможно было установление зависимости между параметрами, входящими в нее.

В зависимости от математических понятий и методов, которые используются для моделирования изучаемых явлений реальности, математические модели подразделяются:

−на функциональные;

−стохастические (вероятностные);

−алгоритмические;

−логико-математические;

−информационные;

−топологические.

Количество математических понятий, которое приходится использовать для описания модели некоторого явления, может служить мерой сложности этого явления.

Цель моделирования (как математической деятельности) — выделение комплекса свойств, присущих данному объекту или явлению, и описание их средствами математики.

Обычно модель записывается с помощью уравнений или неравенств. В результате изучения этих моделей часто возникают другие математические структуры.

Структура процесса математического моделирования

1. Постановка задачи, определение целей моделирования (исследовательской задачи, решение которой и должно быть получено посредством использования модели). Примеры формулирования целей: получение све-

56

дений об устройстве конкретного объекта, его структуре, свойствах, законах развития и взаимодействия; управление объектом; прогнозирование воздействия на объект.

2.Ранжирование свойств объекта — разделение его свойств по степени важности и влияния. Создание (выбор) модели.

3.Исследование модели (опосредованное изучение моделируемого объекта).

4.Сопоставление полученных данных с данными об оригинале.

5.Перенос знания (правила перевода высказываний о модели в высказывания об оригинале). Здесь возможно появление ошибок.

Поясним каждый из выделенных этапов.

Пример. Изучить многоквартирный жилой дом.

Таким образом сформулированная цель не позволяет определить ничего. Поскольку изучение объекта (в данном случае жилого дома) может проходить по нескольким, принципиально различным друг от друга направлениям. Например: 1) определить объем (площадь) жилых (служебных) помещений в этом доме; 2) определить количество краски, которое потребуется для окраски стен всех лестничных площадок; 3) Определить, можно ли построить такой же дом на соседнем пустыре, если известны размеры пустыря (пренебрегая особенностями грунта).

Заметим, что в первом случае существенными характеристиками объекта будут размеры квартир в этом доме. При этом предполагаем, что все квартиры, одинаково расположенные, имеют одни и те же размеры. Заметим, что, пренебрегая возможными отклонениями в размерах квартир одного типа, мы уже закладываем погрешность результата.

Во втором случае существенными характеристиками будут размеры лестничных клеток.

А в третьем случае — размеры основания жилого дома.

При составлении математической модели необходимо тщательно изучить само явление, установить характерные связи между величинами, его характеризующими, установить присущие ему основные свойства, которые следует учитывать при его изучении. Все это и определяет используемый математический аппарат исследования, точность описания, глубину соответствия модели изучаемому явлению.

Построение любой математической модели начинается с абстрагирования. Процесс абстрагирования в математике имеет свои характерные особенности, отличающие его от аналогичного процесса в других науках, поскольку способы абстрагирования зависят от природы изучаемых объектов, характера и целей их изучения.

После того как модель составлена и принята, начинается собственно составление математической схемы применения избранного моделью математического аппарата. Чисто логическим путем составляются различного рода уравнения между числовыми характеристиками явлений, выводятся

57

следствия. Если оказывается, что имеющихся математических средств не хватает для описания модели, приходится разрабатывать новую математическую теорию.

Далее — проверка соответствия модели исследуемому явлению. Ее следует заменить на другую, более точную, если она плохо отражает качественную или количественную сторону описания изучаемого процесса.

Изучение явления природы или производственных, экономических, других процессов математическими методами осуществляется посредством промежуточного шага — составления сходного изучаемого явления или его математической модели.

Можно рассматривать более простую схему процесса математического моделирования, состоящую из трех этапов:

−формализация (запись соотношений между исследуемыми величинами в виде математических равенств или неравенств);

−математизация (исследование полученного математического объекта математическими средствами);

−интерпретация (формулировка полученного результата в терминах исходной задачи).

Наиболее часто встречающиеся в курсе математики старшей школы задачи, предполагающие осуществление математического моделирования,

—это задачи на оптимизацию.

Рассмотрим несколько таких задач с экономическим содержанием, а именно задач на определение оптимального выпуска продукции на конкурентном рынке, выделяя в ходе их решения этапы моделирования.

Задача 1. Некоторая фирма работает на конкурентном рынке хлебобулочной продукции и занимается выпечкой пирожков. Функция издержек

выпечки пирожков имеет вид: S(Q) = 23Q3 + 3Q2 , где Q — количество пирож-

ков (в тыс. шт.). Известно, что производственные мощности позволяют выпекать не более 2 тыс. пирожков в день. Определите, сколько пирожков в день следует выпекать этой фирме, чтобы получать максимальную прибыль, если рыночная цена пирожка составляет 8 руб. за штуку?

Для того чтобы успешно решить эту задачу, вспомним некоторые понятия экономики.

Прибыль P (profit) предприятия определяется как разность между общей выручкой (доходом), полученной от реализации продукции и общими издержками, связанными с затратами на ее производство и реализацию.

Поскольку выручка R (revenue) зависит от количества Q (quantity) единиц реализованной продукции, то она является функцией от количества, так же как и затраты на производство и реализацию. Таким образом, можем записать следующее выражение для функции прибыли: P(Q) = R(Q) – S(Q).

58

Решение.

1-й этап. Формализация.

Запишем выражение для функции прибыли в нашем случае:

P(Q) = 8Q − 23Q3 − 3Q2 . Поскольку количество выпускаемых пирожков не мо-

жет быть отрицательным и ограничено производственными мощностями фирмы, то задача сводится к исследованию построенной функции на экстремум (максимум) на отрезке [0; 2].

2-й этап. Математизация.

Найдем производную данной функции:

найденной производной. Для этого решим уравнение: 8 − 2Q2 − 6Q = 0 или Q2 + 3Q – 4 = 0.

Решениями данного уравнения являются числа –4 и 1, первое из которых не удовлетворяет условию задачи. Теперь осталось убедиться в том, что в точке Q = 1 находится максимум данной функции. Для этого можно использовать разные способы.

1. Один из них — просто посчитать значения функции на концах от-

P(2) = 82 − 23 23 − 322 = 16 − 163 −12 = −113 . Видно, что полученная точка дейст-

вительно является точкой максимума.

2. Для определения того факта, что найденная точка на самом деле является точкой максимума, можно воспользоваться следующими соображениями. На отрезке [0; 2] функция имеет единственную стационарную точку. Квадратичная функция P'(Q) = 8 − 2Q2 − 6Q , имея отрицательный коэффи-

циент при старшем члене, при переходе через свой правый корень меняет знак с плюса на минус (слева направо). Таким образом, справа от точки Q = 1 производная имеет знак «+», значит функция возрастает, а слева от этой точки производная имеет знак «–», и функция убывает. Таким образом, точка Q = 1 является единственной точкой экстремума на рассматриваемом отрезке и она точка максимума. Значит в этой точке функция имеет наибольшее значение на данном отрезке.

3-й этап. Интерпретация.

Фирме следует выпекать 1 тыс. штук пирожков ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль.

Кроме того, вычислив значение функции в точке Q = 2, мы получили отрицательный результат, который можно проинтерпретировать следующим образом: работая на полную мощность, фирма будет терпеть издержки. Можно исследовать построенную функцию для выяснения вопроса: когда производство перестанет приносить прибыль? Для этого достаточно найти нули функции.

59

Задача 2.

Допустим, что все затраты фирмы определяются только расходами на оплату труда работников. Будем считать, что все остальные ресурсы не влияют на затраты фирмы. Еженедельный выпуск продукции зависит от количества нанятых рабочих следующим образом: Q(L) = −4L2 + 760L. Недельная ставка нанятого рабочего составляет 80$. Производимый товар фирма реализует на конкурентном рынке по цене 10$ за единицу товара. Если фирма нанимает работников на конкурентном рынке труда, то сколько работников нужно нанять владельцу фирмы, чтобы получить максимальную прибыль? Какое количество продукции произведут эти работники за неделю?

Решение.

1-й этап. Формализация.

Поскольку в данной задаче все издержки фирмы определяются только затратами на оплату труда рабочих, то общие издержки будут определяться формулой: S(L)=80L. Выражение для функции прибыли будет иметь вид:

R(L) = 10(−4L2 + 760L) − 80L = −40L2 + 7520L .

2-й этап. Математизация.

Исследуем полученную функцию на наибольшее значение. Поскольку функция квадратичная с отрицательным старшим коэффициентом, то наи-

нии R(94) = 353440 .

3-й этап. Интерпретация.

Владельцу фирмы следует нанять 94 работника, которые за неделю будут производить 353440 ед. продукции.

Задачи для решения

1.Вспомните или найдите примеры моделей, используемые в различных науках.

2.Ответьте на следующие вопросы:

−Как вы думаете, от чего зависит сложность математической модели?

−Приведите примеры математических моделей физических, химических, биологических процессов и явлений.

3. Решите задачу.

Николай Кузьмич выращивает огурцы на своем приусадебном участке. Затем весь свой урожай он продает на городском конкурентном рынке. Известно, что рыночная цена на огурцы составляет 20 руб. за кг. Зависимость общих затрат на выращивание огурцов от их количества определяется

функцией:S(Q) = 14 Q2 + 2 .

60