Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

дям всегда нужно было что-либо считать и чертить, измерять и вычислять, прогнозировать и проектировать, создавать новое.

Уже за несколько веков до новой эры на базе накопления большого конкретного материала в виде разрозненных приемов арифметических вычислений (Древний Египет и Вавилон) математика определилась как самостоятельная наука с ясным пониманием своеобразия ее метода и необходимости развития ее основных понятий в достаточно общей форме.

Систематическое и логически последовательное построение основ математической науки было проведено в Древней Греции. Вот имена великих древнегреческих ученых-мыслителей: Аристотель, Пифагор Самосский, Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, Эратосфен Киренский, Фалес Милетский, Диофант Александрийский, Демокрит, Птолемей Клавдий, Герон Александрийский... Созданная ими система изложения элементарной геометрии на два тысячелетия вперед сделалась образцом дедуктивного построения математической теории.

Значительных успехов добивались также китайские, индийские и арабские математики.

Сферами приложения математики постепенно становилось практически все: землемерие, строительство, гидротехнические работы, мореплавание, торговля, геодезия, картография, небесная механика, механизмы, боевые машины.

Сегодня в математике обычно выделяют следующие области: математический анализ, алгебру, аналитическую геометрию, линейную алгебру и геометрию, дискретную математику и математическую кибернетику, математическую логику, дифференциальные уравнения, дифференциальную геометрию, компьютерную геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, симплектическую геометрию и топологию, теорию чисел, функциональный анализ и интегральные уравнения, теорию функций комплексного переменного, уравнения с частными производными, уравнения и методы математической физики, теорию вероятностей, актуарную математику, математическую статистику, теорию случайных процессов, вариационное исчисление и методы оптимизации, вычислительную математику и программирование (методы вычислений, то есть численные методы), криптографию, теорию кодирования и теорию искусственного интеллекта.

Такое деление довольно условно, так как многие области математики тесно переплетаются, и новые направления часто возникают на стыке классических. В соответствии с таким делением в современном обучении организовано и преподавание математики в главных университетах мира.

Сегодня можно говорить, что современная математика — это «метанаука», объединяющая комплекс дисциплин: арифметику — теорию чисел, алгебру, геометрию, математический анализ, теорию множеств, теорию вероятностей, математическую статистику, теорию игр и многие, многие другие (насчитывают несколько десятков крупных направлений). На стыках

21

наук появляются разделы: математическая физика, математическая логика, математическая лингвистика, математическая экономика и др.

Математика — необходимый инструмент познания в любой отрасли человеческой деятельности — характеризуется высокой степенью абстрактности ее понятий и высокой степенью их обобщенности.

Математикой изучаются не только реальные отношения и формы, но и непосредственно абстрагированные из действительности (формы логического вывода, n-мерные пространства и др.) и логически возможные, определяемые на основе уже известных форм и отношений («мнимые числа», «комплексные числа», «воображаемая геометрия» Лобачевского и т. п.).

Абстракция математики достигается использованием специального символьного языка, который, освобождаясь от конкретного содержания, привносит в математику универсальность. Благодаря этому один и тот же математический аппарат можно применять в самых различных естественных и гуманитарных науках.

Так, например, колебания и в механических системах, и в электрических цепях представляются одними и теми же математическими уравнениями. Одинаковые математические подходы используются для описания сердечного кровообращения и управления зенитным огнем. Подобная же картина — при исследовании механизмов разрушения конструкций в технике и процессов образования социальных катастроф.

По меткому выражению известнейшего ученого Нильса Бора: «Математика — это больше, чем наука, это — язык». То есть язык, на котором можно ставить вопросы и отвечать на них принципиально.

Математика — это также и форма мышления. Математика — наука, которая скорее тождественна философии, чем остальным «содержательным наукам», наука инструментальная, наука, которая вступает в глубокие органические связи с целым рядом других дисциплин.

Математика все больше объясняет течение отдельных природных явлений действием общих, математически сформулированных законов природы. Математическими методами решаются проблемы практики: оптики, навигации, гидравлики, баллистики, точных механизмов (например, хронометров).

Воснове построения математической теории лежит аксиоматический метод. В основу научной теории кладутся некоторые исходные положения, называемые аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства — строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к логическим рассуждениям. Для правильной постановки задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция.

Вматематике изучаются математические модели объектов. Одна и та же математическая модель может описывать свойства далеких друг от друга реальных явлений. Так, одно и то же дифференциальное уравнение мо-

22

жет описывать процессы роста населения и распад радиоактивного вещества. Для математика важна не природа рассматриваемых объектов, а существующие между ними отношения.

В математике используют два вида умозаключений: дедукцию и индукцию.

Индукция — метод исследования, в котором общий вывод строится на основе частных посылок.

Дедукция — способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера.

Математика играет важную роль в естественнонаучных, инженернотехнических и гуманитарных исследованиях. Причина проникновения математики в различные отрасли знаний заключается в том, что она предлагает весьма четкие модели для изучения окружающей действительности, в отличие от менее общих и более расплывчатых моделей, предлагаемых другими науками. Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных областях человеческой деятельности.

Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших достижений математической мысли. Оно потребовало работы многих поколений ученых. Замечательной чертой дедуктивной системы изложения является простота этого построения, позволяющая описать его в немногих словах. Дедуктивная система изложения сводится:

1)к перечислению основных понятий;

2)к изложению определений;

3)к изложению аксиом;

4)к изложению теорем;

5)к доказательству этих теорем.

Аксиома — утверждение, принимаемое без доказательств. Теорема — утверждение, вытекающее из аксиом.

Доказательство — составная часть дедуктивной системы, это есть рассуждение, которое показывает, что истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом.

Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: 1) о смысле основных понятий, 2) об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще неразрешимы.

История естествознания свидетельствует, что возможность аксиоматического построения той или иной науки появляется лишь на довольно высоком уровне развития этой науки, на базе большого фактического материала, позволяет отчетливо выявить те основные связи и соотношения, которые существуют между объектами, изучаемыми данной наукой.

Образцом аксиоматического построения математической науки является элементарная геометрия. Система аксиом геометрии была изложена

23

Евклидом (около 300 г. до н. э.) в непревзойденном по своей значимости труде «Начала». Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день.

Одним из ярких примеров достижений науки, одним из свидетельств неограниченной познаваемости природы было открытие существования планеты Нептун путем математических вычислений — «на кончике пера». Так, сначала учеными Леверье и Адамсом (1845 г.) при помощи расчетов была определена орбита неизвестной планеты, ее масса, место на небе, где она в данное время должна была находиться. И только после этого планета была найдена с помощью телескопа на указанном месте. Аналогичным способом век спустя была открыта еще одна планета — Плутон.

История науки XIX–XX вв. также дает многочисленные примеры успехов математического прогнозирования. Некоторые из них: Дирак разработал математическую теорию движения электрона и предсказал существование позитрона (1928 г.); несколько позже (1964 г.) физикиэкспериментаторы искали частицу, указанную другой математической теорией, и открыли омега-минус-гиперон.

Причина, по которой без математических методов сейчас не обходится не только техника, механика, электроника, экономика, но и медицина, экология, психология, социология, лингвистика, история, юриспруденция и др., проста — для математических методов характерны:

−четкость формулировок и определений;

−использование точных количественных оценок;

−логическая строгость;

−сочетание индуктивного и дедуктивного подходов;

−универсальность.

Математика занимает особое место среди других наук. Математику нельзя причислять к естествознанию (так как исключает наблюдение и эксперимент), хотя и зародилась она из практики как естественная наука.

Приложения математики весьма разнообразны. Принципиально область применения математических методов не ограничена: все виды движения материи могут изучаться математически. Однако роль и значение математических методов в различных случаях неодинаковы. Никакая математическая схема не исчерпывает всей конкретности действительных процессов.

Типичным примером полного господства математических методов можно считать небесную механику, в частности, учение о движении планет. Имеющий очень простое математическое выражение закон всемирного тяготения почти полностью определяет изучаемый здесь круг явлений. При переходе от механики к физике несколько возрастают трудности применения математического аппарата (выбор предпосылок использования математики и трактовка результатов).

В других естественных науках (например, биологических) математические методы играют более подчиненную роль. В еще большей степени математика предоставляет свои возможности непосредственному анализу

24

явлений и процессов во всей их конкретной сложности в социальных и гуманитарных науках (часто математика остается лишь в форме подсобной науки — математической статистики). В окончательном же анализе социальных (и правовых) явлений и процессов математика вообще уходит на задний план, полностью уступая свое место качественному своеобразию каждого временного (исторического) промежутка.

Использование математических методов формирует так называемый математический стиль мышления, т. е. абстрактный, логический, идеально строгий и — самое главное — нацеленный на поиск закономерностей. Профессионал, грамотно и аккуратно применяющий математические методы, способен принести пользу в любой сфере деятельности, в том числе и правовой.

Вся продуктивная деятельность человека так или иначе связана с обработкой информации. Процесс развития общества неотделим от становления все более полных и эффективных методов обработки информации. Каждая область науки и в большой степени различные отрасли деятельности (образование, экономика, экология, добывающие отрасли, транспорт, связь, медицинская диагностика, управление и т. д.) представляют собой совокупность идей и методов, предназначенных для целенаправленной и эффективной обработки той информации, за которую ответственна данная область.

Идеи, принципы и алгоритмы, которые в настоящее время составляют методологию обработки информации, уже сегодня позволили сделать существенный прорыв в технологии обработки информации (наглядный пример — Internet).

Методы обработки и принципы их реализации для каждой области имеют свои специфические особенности, которые, прежде всего, обусловливаются конкретным видом носителя информации, методами кодирования и способами представления результатов обработки. Вследствие этого устройства обработки информации для различных областей часто оказываются внешне непохожими друг на друга. Но за этой внешней непохожестью скрывается одинаковая методология и принципы построения систем обработки, что является для нас определяющим и составляет предмет изучения в данном курсе.

Основу методов обработки информации составляют вычислительная математика, теория информации и математическая статистика. Современные методы математической статистики и теории информации используют сложный математический аппарат, но базируются тем не менее на простых исходных положениях, вытекающих из практических задач.

Практически всегда при получении информации (человеком или системой) возникает потребность ее обработки. Приведем три типичные ситуации:

− Как правило, особенно в технических системах, перед анализом полезной информации необходимо зафиксировать факт ее поступления,

25

поскольку какой-то поток данных на приемное устройство всегда поступает. В этом случае задача обработки состоит в определении факта поступления полезной информации (задача обнаружения).

−Часто поступающие данные помимо полезной составляющей (информационная компонента) содержат некоторую дополнительную искажающую составляющую (в технике говорят помеху), которая мешает правильно выделить полезную часть. Задача часто осложняется тем, что полные сведения о помехе отсутствуют. В данном случае задача обработки состоит в наиболее полном исключении помехи (задача выделения).

−Другая ситуация — это анализ полученной информации с целью принятия какого-либо решения (то есть факт поступления информации зафиксирован, полезный сигнал выделен), причем в полученной информации нет всего необходимого, чтобы решение можно было принять с полной уверенностью. В данном случае задача обработки состоит в осуществлении такого анализа информации, чтобы решение было наиболее правильным (задача принятия решения).

Условие воздействия помех и отсутствия полной информации является чрезвычайно важным в проблеме понимания необходимости применения обработки, а следовательно, и информационно-измерительных систем (ИИС), одной из основных задач которых является обработка информации.

При исследовании могут использоваться теоретические и эмпирические методы познания. Каждое из этих направлений обладает относительной самостоятельностью, имеет свои достоинства и недостатки. В общем случае теоретические методы в виде математических моделей позволяют описывать и объяснять взаимосвязи элементов изучаемой системы или объекта в относительно широких диапазонах изменения переменных величин. Однако при построении теоретических моделей неизбежно введение каких-либо ограничений, допущений, гипотез и т. п. Поэтому возникает задача оценки достоверности (адекватности ) полученной модели реальному процессу или объекту. Для этого проводится экспериментальная проверка разработанных теоретических моделей. Практика является решающей основой научного познания. В ряде случаев именно результаты экспериментальных исследований дают толчок к теоретическому обобщению изучаемого явления.

Экспериментальное исследование дает более точное соответствие между изучаемыми параметрами. Но не следует и преувеличивать результаты экспериментальных исследований, которые справедливы только в пределах условий проведенного эксперимента.

Таким образом, теоретические и экспериментальные исследования дополняют друг друга и являются составными элементами процесса познания окружающего нас мира.

Как правило, результаты экспериментальных исследований нуждаются в определенной математической обработке. В настоящее время процедура обработки экспериментальных данных достаточно хорошо формализо-

26

вана и исследователю необходимо только ее правильно использовать. Круг вопросов, решаемых при обработке результатов эксперимента, не так уж велик. Это (вопросы подбора эмпирических формул и оценка их параметров, вопросы оценки истинных значений измеряемых величин и точности измерений, вопросы исследования корреляционных зависимостей и некоторые другие.

Целью любого эксперимента является определение качественной и количественной связи между исследуемыми параметрами, либо оценка численного значения какого-либо параметра.

В некоторых случаях вид зависимости между переменными величинами известен по результатам теоретических исследований. Как правило, формулы, выражающие эти зависимости, содержат некоторые постоянные, значения которых и необходимо определить из опыта.

Другим типом задачи является определение неизвестной функциональной связи между переменными величинами на основе данных эксперимента. Такие зависимости называют эмпирическими.

Однозначно определить неизвестную функциональную зависимость между переменными невозможно даже в том случае, если бы результаты эксперимента не имели ошибок. Тем более не следует этого ожидать, имея результаты эксперимента, содержащие различные ошибки измерения.

Поэтому следует четко понимать, что целью математической обработки результатов эксперимента является не нахождение истинного характера зависимости между переменными или абсолютной величины какой-либо константы, а представление результатов наблюдений в виде наиболее простой формулы с оценкой возможной погрешности ее использования.

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

Указанный фрагмент занятия целесообразно организовать в формате лекции-беседы, по ходу которой преподаватель задает студентам вопросы.

Приведем примеры таких вопросов:

1.Известна цитата М. В. Ломоносова: «Математику уже затем учить нужно, что она ум в порядок приводит». Как вы думаете, не утратила ли свою актуальность эта цитата?

2.В чем, по вашему мнению, заключается ценность математики? Чем она может помочь, например, химику (экономисту, социологу, филологу)?

3.Приведите пример ситуаций, возникающих в вашей жизни, при решении которых вам приходилось использовать математику.

4.Какие знания и умения, кроме вычислительных, приходилось вам использовать в вашей жизни?

5.И. А. Гете писал: «Математики, как французы: все, что вы им говорите, они переводят на свой язык, и это тотчас же становится чем-то совершенно иным». Как вы прокомментируете это высказывание? В чем специфика математического языка?

27

Поскольку занятие является практическим, целесообразно дополнить его примерами ситуаций, демонстрирующими некоторые аспекты применения математики в конкретной предметной области.

Приведем пример такой ситуации.

Клиент взял в банке ссуду, величина которой составляет 100 000 руб. За пользование этой ссудой ежемесячно он должен выплачивать по 100 рублей на каждую 1000. Определите процентную ставку и сумму, которую должен выплатить клиент в течение года, если кредит взят сроком на год.

Решение.

Поскольку за каждую 1000 рублей, которой пользуется клиент, он должен ежемесячно выплачивать по 100 рублей, то процентная ставка составляет:

20

a% = 1000 100% = 2% ежемесячно, что в год составляет 24%.

Таким образом, в данной ситуации, если клиент взял ссуду на год, то он ежемесячно должен выплачивать банку проценты в количестве 2000 рублей. За год сумма процентов составит 24 000 рублей за пользование ссудой.

Если при той же процентной ставке проценты не выплачиваются ежемесячно, а выплачиваются по окончании срока ссуды в конце года, то сумма возврата составит 124 000 рублей.

Учитывая, что следующие два занятия будут посвящены математическим средствам представления информации, в качестве домашнего задания по результатам первого занятия можно предложить студентам выполнить следующее:

1.Выделяя специфику положения математики среди других наук, часто говорят о том, что она является одновременно «царицей и служанкой» других наук. Попробуйте доказать или опровергнуть это утверждение.

2.Подберите примеры ситуаций из жизни, или из той предметной области, которой вам предстоит заниматься, в которых необходимо использовать математические знания.

3.Подумайте, какие математические средства представления информации вам известны. Постарайтесь вспомнить не менее трех примеров. Для каждого средства сконструируйте ситуацию, в которой его применение обоснованно.

Далее рассмотрим более подробно организацию деятельности студентов при изучении некоторых тем дисциплины.

В содержании абсолютного большинства практических занятий должны быть представлены как математические задачи на выработку умений оперировать основными математическими понятиями и фактами, представленными в программе дисциплины, так и прикладные задачи, на кото-

28

рых вырабатывается умение использовать метод математического моделирования при их решении. При этом рассматриваются теоретико-множест- венные модели, функциональные модели, стохастические (вероятностные и статистические) модели.

Занятие целесообразно начинать с актуализации знаний, которые будут необходимы для работы на занятии. Затем переходить к обсуждению результатов самостоятельной работы студентов и решению выделенных задач.

Целесообразно шире практиковать наряду с индивидуальной работой коллективные формы деятельности студентов на занятиях. Опять же это могут быть задания из вариативной части самостоятельной работы, например, подготовка фрагмента лекции с выступлением, подбор, изучение, анализ и конспектирование рекомендованной литературы с публичным представлением аннотаций наиболее интересных источников.

Тема 2. Математические средства представления информации. Таблицы. Диаграммы. Формулы. Графики

Занятие 2.1. Диаграммы и таблицы.

Основное содержание.

Диаграмма как средство представления информации. Виды диаграмм. Целесообразность использования того или иного вида диаграммы для решения определенного вида задач.

Таблица как средство представления информации. Способы структурирования информации на основе таблицы. Чтение таблиц. Обобщение данных на основе таблицы.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Диаграмма — графическое изображение статистических данных при помощи линий или геометрических фигур. Диаграммы знакомы вам со времени обучения в начальной школе. Как вы знаете, диаграммы бывают, например:

−круговые или секторные;

−столбчатые;

−гистограммы;

−точечные;

−кольцевые;

−лепестковые.

Круговые (секторные) диаграммы и составные столбчатые диаграммы удобно использовать в том случае, когда необходимо представить структуру целого, состоящего из непересекающихся частей. В этом случае целое чаще всего принимается за 100%. Таким образом, сумма составляющих его частей должна быть равна 100%.

Например, диаграмма на рис. 1 показывает состав атмосферы Земли.

29