Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

кое-то фиксированное число, а в какое-то число раз (в 10). Таким образом, на графике, при изображении которого используется логарифмическая шкала, нет 0. В нашем случае, поскольку рост расходов и сбережений граждан России рос в период с 1991 по 1994 г., шкала начинается с единицы. В тех случаях, когда значения переменной могут принимать значения, в десятки раз меньшие принятого за 1, возникает необходимость включения в шкалу значений, меньших 1: 10−1,10−2 ,...,10−n . Но число 0 по-прежнему будет отсутствовать.

Вопрос: почему числа 0 нет на логарифмической шкале?

Изображая на одном чертеже два графика, можно наглядно представить себе изменение значения величины, являющейся, например, разностью или суммой соответствующих значений.

Например, на графике, изображенном на рисунке 16, отражены изменения затрат на производство некоторого продукта (нижний график) и цены на единицу продукции (верхний график), которая остается постоянной (в тыс. рублей).

1,5

1,0

0,5

Рис. 16

Область между графиками наглядно демонстрирует величину прибыли, полученной от продажи одной единицы продукции. Из графика можно получить следующую информацию:

−начальная величина прибыли составила примерно 250 рублей;

−прибыль возрастала при увеличении выпуска продукции от 10 до 50 единиц продукции за месяц;

−при величине выпуска 50 единиц прибыль от продажи одной единицы продукции составила максимальное значение — 2 тыс. рублей;

−после этого прибыль начала уменьшаться.

Существует ряд простых рекомендаций по построению графиков. В частности, Л. В. Куликов дает следующие советы начинающим исследователям:

1. График и текст должны взаимно дополнять друг друга.

41

2.График должен быть понятен «сам по себе» и включать все необходимые обозначения.

3.На одном графике не разрешается изображать больше четырех кривых.

4.Линии на графике должны отражать значимость параметра, важнейшие необходимо обозначать цифрами.

5.Надписи на осях следует располагать внизу и слева.

6.Точки на разных линиях принято обозначать кружками, квадратами

итреугольниками.

Пример задачи для решения

Ответьте на вопросы по графику (рис. 17):

1)работа начала приносить прибыль, когда величина заказа достигла примерно ___ тыс. листов;

2)при величине заказа примерно ___ тыс. прибыль составила максимальное значение — ___ тыс. рублей;

3)производство перестало приносить прибыль, когда величина заказа достигла примерно ___ тыс. листов;

4)величина общей суммы затрат на производство:

−растет;

−остается постоянной;

−уменьшается.

Рис. 17

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

Заметим, что в зависимости от предметной области, в которой в дальнейшем придется работать студентам, могут быть расставлены разные приоритеты при изучении материала данной темы. Например, у студентов,

42

обучающихся по профилю «Физическое образование» или «Химическое образование», необходимо сформировать и умения, связанные с анализом и преобразованием формул, и умения построения и работы с графиками. В то время как со студентами, например профиля «Художественное образование», более целесообразно направить внимание на работу с графиками, диаграммами, то есть визуальным способом представления информации.

В рассмотренных нами примерах большее внимание было уделено задачам, соответствующим профилю «Экономическое образование». Целесообразно в зависимости от профиля обучения корректировать содержание задач, предлагаемых студентам как на занятии, так и для самостоятельного решения.

Тема 3. Использование элементов теории множеств для работы с информацией

Занятие 3.1. Понятие множества и способы его задания.

Основное содержание.

Множество. Понятие. Элементы множества. Способы задания. Характеристическое свойство множества. Изображение множеств с помощью диаграмм Эйлера.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Есть в математике одно понятие, которое охватывает самый широкий, который можно представить, класс объектов. Это понятие «множество». Оно обозначает совокупность объектов любой природы.

Понятие множества в математике не определяется, так же как вы в геометрии не определяли, например, точку. Такое понятие называется основным понятием.

Вместо слова «множество» можно использовать другие, близкие по смыслу, слова. Так, можно сказать, что множество — это «совокупность», «собрание», «семейство», «система», «класс» и т. д. Однако такие утверждения не являются строгими математическими определениями. При этом мы можем пояснить, что такое множество. Множество — это совокупность каких-либо предметов, объектов, которые рассматриваются как еди-

ное целое.

Таким образом, понятие множества в математике является основным (неопределяемым) понятием.

Множества в математике обозначают заглавными буквами латинского алфавита.

В жизни мы часто встречались со словами, которые обозначают множества конкретных объектов. Например, стая (птичья) — множество птиц.

43

Задание. Придумать по 3 примера множеств объектов, с которыми вы встречались. Желательно, чтобы они назывались особым словом. На-

пример, гербарий — множество собранных и засушенных растений.

Каждый объект, который входит в данное множество, называется его элементом. Элементы множества в математике принято обозначать прописными буквами латинского алфавита. При этом, чтобы записать, что некий объект а является элементом множества А, используют знак (принадлежности), т. е. пишут а А.

Читают эту запись по-разному: «а является элементом множества А» или «элемент а принадлежит множеству А».

Для того чтобы записать, что объект b не является элементом множества А, используют знак , т. е. пишут b А.

Эту запись читают: «b не является элементом множества А» или «элемент b не принадлежит множеству А».

Отсюда понятно, что множество можно задать, перечислив все элементы, которые в него входят. Такой способ задания множества называется способом перечисления элементов множества.

Например, множество А состоит из трех чисел: 1, 2 и 3. Эту фразу в математике записывают короче с помощью знака «фигурные скобки», т. е. А = {1, 2, 3}.

Есть еще один способ задания множества — заданием характеристического свойства элементов, т. е. такого свойства, которым обладает любой элемент множества, и ни один из элементов, не входящих в множество, им не обладает. Именно это характеристическое свойство позволяет воспринимать совокупность элементов как единое целое.

Например, каждый элемент приведенного выше множества обладает следующим характеристическим свойством — они являются натуральными числами, меньшими четырем. Это записывают так: A = {x, х N| x<4}.

Расшифруйте следующую запись: B= {x, х R | x<4}. Здесь записано, что В — множество действительных чисел, меньших четырех. Это означает, что здесь характеристическим свойством задано множество, которое является следующим числовым промежутком В = (–∞; 4).

Задача. В группе 40 студентов. Из них 23 любят болтать на занятиях, 13 — решать задачи, 11 любят на занятиях спать. Среди тех, кто болтает на занятиях, постоянно засыпают — 7, а среди тех, кто решает задачи, засыпают только 3. Болтать и решать задачи умеют 8 человек, а 2 человека успевают на одной паре делать все три дела. Сколько

студентов вообще ничего не любят?

Множество всех студентов группы — это объединение множества студентов, которые любят хоть что-то, и множество тех, кто не любит ничего.

Решение: С помощью диаграммы Эйлера.

44

Задание. Расставьте числа, которые соответствуют числу студентов, находящихся в каждом множестве, изображенных на рис 18.

Рис. 18

Проверьте ответ. 9.

При этом количество студентов, которые любят хоть что-то = 11 + 13 + 23 – 3 – 7 – 8 – 2 = 31. Количество студентов, которые не любят ничего — (количество студентов в группе) — (количество студентов, которые что-то любят), т. е. 40 – 31 = 9.

Примеры задач для решения

1.Можно ли задать перечислением его элементов бесконечное множество? Почему?

2.Запишите множество, которым является множество 31-го июня в

году.

Занятие 3.2. Отношения в множествах. Алгебра множеств.

Основное содержание.

Отношения в множествах: принадлежность, включение, равенство. Подмножества. Действия с множествами: пересечение и объединение множеств, разность множеств, дополнение множеств. Декартово произведение.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Между элементом и множеством можно установить отношение принадлежности. Об этом мы говорили в первом пункте лекции. Как мы знаем, элемент может принадлежать или не принадлежать данному множеству.

Пример. А = {1,3, 9}. 3 A, 10 A.

Отношения можно установить и между двумя множествами. Рассмотрим два отношения: включения и равенства.

Определение. Говорят, что множество В включается в множество А и пишут В А, если всякий элемент множества В является элементом множества А. В этом случае множество В называется подмножеством множества А.

45

Например, множества А и В и отношение между ними можно изобразить в виде множеств точек соответствующей замкнутой области (в частности, круга). Такие изображения называются диаграммами Эйлера— Венна.

Можно привести и другой пример. Пусть даны множества М= {2,3,4,5.6} и N={2, 6}. Ясно, что N М. Это можно записать и так М N.

Заметим, что иногда множество в качестве элемента может содержать другое множество. Например, в множестве К = { 1, {2}, 3} три элемента, два из них числа — 1 и 3, и один элемент — множество, состоящее из одного числа {2}.

Задание. В учебниках математики можно встретить понятие «несобственное множество». Найдите в рекомендованном вам учебнике, какое множество называется несобственным подмножеством данного множества. Приведите примеры несобственных подмножеств для опре-

деленного множества.

Определение. Говорят, что множества A и B равны, и пишут A=B, если одновременно имеет место A B и B A, то есть каждый элемент множества A является элементом множества B, и каждый элемент множества B является элементом множества A.

Другими словами, два множества равны, если их элементы совпадают. Например, множества букв слов «множества» и «жеманство» равны, т. е.

{м, н, о, ж, е, с, в, а} = {ж, е, м, а, н, с, т, в, о}.

Из примера ясно, что для множества важно, какие элементы в него входят, а вот порядок элементов не имеет значения. Еще важно: в множестве не записывают один и тот же элемент несколько раз.

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

Здесь целесообразно обратить внимание на то, что множество для другого множества может являться подмножеством или элементом.

Над множествами можно выполнять следующие действия (операции): пересечение, объединение, находить разность и декартово произведение.

Определение. Пересечением множеств A и B называется новое множество, которое обозначается A∩B и состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам A и B, то есть A∩B={x x A и x B}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то A∩B={1, 3}.

Определение. Объединением множеств A и B называется новое множество, которое обозначается A B и состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B, то есть A B={x x A или x B}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то A B={1, 2, 3, 4}.

46

Определение. Разностью множеств A и B называется новое множество, которое обозначается A\B и состоит из всех элементов множества A, не принадлежащих множеству B, то есть A\B={x x A и x B}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то A\B={2}.

С разностью связано такое понятие, как дополнение одного множества до другого.

Определение. Дополнением множества А до множества В, если А В, называется множество, которое обозначается В(А) и состоит из всех элементов В, не принадлежащих А, т. е. В(А) = В\А при условии, что А В.

Определение. Декартовым произведением множеств A и B называется новое множество, обозначаемое A B, элементами которого являются всевозможные пары (a, b), где a A, b B, то есть A B={(a, b) a A, b B}.

Например, если A={1, 2, 3}, B={1, 3, 4}, то A B={(1, 1), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 3), (3, 4)}.

Кстати, с декартовым произведением связано понятие координатной плоскости. Ведь если рассматривать множество координат точек координатной плоскости, то оно является декартовым произведением R R, где R — координаты точек оси х и оси у соответственно.

Задание. Выполняется ли переместительный закон умножения для декартова произведения двух множеств, т. е. верно ли, что А В = В А?

В качестве множеств А и В возьмите множества: А = {2}; B = {1, 3}.

Задача. Привести пример множеств A, B, C таких, что A B, B C, но A не является элементом множества С.

Пример рассуждений при решении задачи. По условию известно, что множество А должно являться элементом множества В. При этом в множество В могут входить и другие элементы, не являющиеся множествами, например, А ={1}, а В = {{1};2}. Аналогично построим множество С = {{{1};2}, 3}. В этом случае множество А не является элементом множества С. Это можно установить, выделив все элементы множества С и сравнив их с элементами множества А.

Задача. Выписать все собственные подмножества множества {1, 2, 3, 4}. Выбрать среди них четыре различных подмножества A, B, C, D таких, что A B, C D, D B.

При анализе текста и решения первой задачи можно выделить следующие понятия: 1) множество, элемент множества, собственное (несобственное) подмножество множества.

Кроме того, обратите внимание на запись собственных подмножеств в пункте b): {{1;2}}, {{1;2};1}, {{1;2};2}, {1;2}.

Вторая задача опирается на вывод, полученный в первой задаче, а именно, что одно множество может быть элементом другого множества.

47

Для решения третьей задачи также используется понятие собственного подмножества, а также способ построения таких подмножеств. Далее из всех построенных подмножеств нужно выбрать четыре, которые бы удовлетворяли требованию задачи. Следует выяснить, можно ли найти несколько вариантов решения задачи или решение единственное.

Запишите результаты работы с сериями задач данного цикла в таблицу. Обратите внимание на правильное употребление знаков ( ) и ( ). Первый знак используется в случае, когда устанавливается соответствующее отношение (принадлежности) между множеством и его элементом, второй — отношение включения между двумя множествами, т. е. в случае, когда одно множество является (не является) подмножеством другого множества.

Примеры задач для решения

1.Проверьте на примере множеств А = {2}; B = {1,3} и С = {4,5} выполняется ли сочетательный закон для декартова произведения, т. е. верно ли, что (АВ)×С = А×(В×С).

2.Верно ли сделаны записи: 1 А, {2,3} А, 4 А, если А = {1,{2,3}, 4}.

3.Пересечением или объединением множеств А = {5,7,8} и В ={1, 5, 6} является множество С = {1, 5, 6, 7, 8}?

4.Сколько элементов содержат следующие множества? Для пунктов а) и b) выписать все собственные подмножества данного множества:

a) {1;2};

b) {{1;2};1;2}; c) {{1}};

d) {{1};1}; e) {{1};2;1}.

Тема 4. Математические модели в науке как средство работы с информацией. Функция как математическая модель

Занятие 4.1. Математическое моделирование.

Основное содержание. Определение математической модели. Для чего нужны математические модели. Простые и сложные модели. Примеры математических моделей. Этапы моделирования. Схема процесса математического моделирования.

Приведем пример фрагмента содержания занятия.

Некоторые ученые отмечают, что вся математика может быть сведена к двум типам деятельности: моделированию и систематизации.

По мнению крупнейших математиков, предметом математики являются модели. «Математика — область человеческой деятельности (человече-

48

ского знания), в которой изучаются математические модели, то есть логические структуры, у которых описан ряд отношений между элементами структуры» (по словам Л. Д. Кудрявцева).

«Математика — наука о схемах моделей окружающего мира. Примером схем моделей служат математические понятия» (М. М. Постников).

Итак, поговорим о моделировании.

Можно сформулировать следующее очень общее определение моделирования и модели.

Моделирование — общенаучное понятие, имеющее философский смысл.

Как вы видите, это определение не говорит нам ничего. А что значит — определить понятие?

Полезная информация

Понятие является объектом рассмотрения различных наук, поэтому существуют различные трактовки этого понятия. В логике понятие рассматривается как форма абстрактного

мышления, отражающая существенные признаки класса однородных предметов или отдельного предмета. С точки зрения философии понятие

— это форма мышления о целостной совокупности существенных и несущественных свойств объектов реального мира. Свойство — это то, что ка- ким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи (Н. Ф. Талызина).

Существенными свойствами понятия являются такие, без которых понятие (объект для понятия) не существует. При их помощи выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества. Например, можно выделить следующие существенные свойства ромба. Быть параллелограммом, являться четырехугольником, иметь равными все стороны, иметь равными противоположные углы; диагонали в точке пересечения делятся пополам, диагонали лежат на биссектрисах углов ромба и т. д.

Конечно, таких свойств у объекта может быть достаточно много, поэтому часто обращаются к достаточному набору свойств. Достаточные свойства или точнее достаточный набор существенных свойств — набор существенных свойств, который позволяет однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных. Так, например, для ромба достаточный набор свойств могут образовывать свойства: быть параллелограммом и иметь все равные стороны. Другой достаточный набор: быть параллелограммом и иметь диагонали, делящие углы ромба пополам. Таких наборов может быть несколько. Они образуют либо определение понятия, либо его признаки.

Определить понятие — выделить достаточный набор его существенных свойств.

Таким образом, мы сталкиваемся с проблемой выделения существенных свойств процесса моделирования.

49

Модель — это такой материальный или мысленно представленный объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты.

Modulus по латыни — мера, образец.

Модели нас окружают с детства: машинки, конструкторы, кукольные домики, да и сами куклы — все это модели реальных объектов окружающего нас мира. Подрастая, мы узнавали о моделях одежды, моделях поведения, на экранах телевизоров мелькали фотомодели — все это некоторые идеализированные образы.

При проектировании сооружений, различных конструкций или механизмов используются их модели, которые позволяют изучить свойства проектируемого объекта, понять, каким должно быть оптимальное с точки зрения желаемых свойств объекта соотношение пропорций, качество используемых материалов и т. д.

Принципиально иной характер имеют модели фундаментальных теорий. В них реальным объектам природы соответствуют идеализированные понятия и схемы, которые отражают вполне определенные свойства этих объектов.

Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект.

С помощью модели выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта.

Моделирование свойственно всем областям знания. Однако в рамках той или иной области моделирование позволяет выделить наиболее характерные особенности объектов, существенные именно с точки зрения конкретной науки, отвлекаясь от множества второстепенных в области данной науки свойств.

Модель позволяет научиться правильно управлять объектом, апробируя различные варианты управления на модели этого объекта. На реальном объекте, как правило, экспериментировать в этих целях неудобно, а зачастую просто невозможно.

Если объект исследования обладает динамическими характеристиками, то особое значение приобретает задача прогнозирования динамики состояния такого объекта под действием различных факторов.

Таким образом, можно выделить следующие функции модели:

1.Облегчает понимание устройства реального объекта: его структуры, основных свойств, законов развития и взаимодействия с окружающим миром.

2.Способствует пониманию управления реальным объектом (или процессом) и определению наилучших способов управления им при заданных целях и критериях.

3.Облегчает прогнозирование прямых и косвенных последствий реализации заданных способов и форм воздействия на объект.

50