Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

− приведены правильные ответы в таблице не менее, чем к 60% задач цикла.

Студент получает за задание 0 баллов, если не выполнены предыдущие критерии.

Задание № 5. Типологический анализ комбинаторных задач (составление схемы или таблицы) (2 ч)

Тема: «Комбинаторика и комбинаторные задачи».

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения).

Провести типологический анализ комбинаторных задач для составления алгоритмического выбора комбинации для этих задач. Цель: в ходе анализа условия и требования комбинаторной задачи она должна быть отнесена к одной из основных комбинаций (перестановки, размещения и сочетания с повторением и без).

−Выберите любые 6 задач, каждая из которых решается с помощью одной из формул комбинаторики.

−Проанализируйте, чем отличаются задачи на размещения и перестановки от задач на сочетания, затем задачи на размещения от задач на перестановки, а каждая из них, в свою очередь, с повторением и без (например, размещения с повторением от размещения без повторения). Что в такой комбинации меняется, а что остается зафиксированным?

−Выделите признаки, по которым один из типов комбинаций отличается от другого.

−Полученный результат представьте в виде схемы или таблицы.

2. Методическая подсказка к выполнению.

− В качестве ориентира для выделения отличительных признаков одной комбинации от другой учитывайте следующие характеристики: 1) свойства исходного множества элементов (качественный состав и число элементов); 2) свойства получаемых комбинаций (качественный состав и число элементов); 3) значение порядка следования элементов в комбинации; 4) возможности повторения элементов в комбинации.

− Один из вариантов схемы предложен ниже (см. рис. 21). После заполнения некоторых пропущенных элементов схемы вы получите готовую типологическую схему выбора формулы. Для этого на первом этапе ответьте на вопрос: он позволит отделить схемы размещения и перестановок от схем сочетания. На втором этапе сформулируйте такой вопрос, который позволит разделить каждую из схем, и напишите соответствующие ответы. И, наконец, запишите формулы, соответствующие каждой комбинации.

91

−Один из вариантов таблицы предложен ниже (см. табл. 9). После заполнения некоторых пропущенных элементов таблицы вы получите готовую типологическую таблицу выбора формулы. Для этого заполните пропуски: определение комбинации, ее основные признаки — сколько мест, сколько элементов, могут ли они повторяться, важен ли порядок. И, наконец, запишите формулы, соответствующие каждой комбинации.

−При необходимости измените схему (таблицу) так, чтобы с ней было удобно работать именно вам.

−После составления схемы проверьте правильность ее составления на тех задачах, в решении которых вы уверены (например, на тех 6 из анализа).

−Для создания аккуратной и наглядной схемы (таблицы) используйте возможности программного обеспечения (организационные диаграммы, рисунки, таблицы в MS Word, табличный редактор MS Excel).

Формула Формула Формула Формула Формула Формула

Рис. 21

92

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.):

−Лекции и практические занятия по теме (примеры решения задач).

−Рекомендованные источники из списка основной литературы ([1]), дополнительной литературы ([2]).

−Адреса интернет-ресурсов:

http://www.math.ru/ — математический сайт, в библиотеке которого представлены полнотекстовые книги по комбинаторике и теории вероятностей (раздел «Теория вероятностей»).

http://cito-web.yspu.yar.ru/cito/cito.html — электронный ресурс для общего доступа Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского. В методических пособиях по математике представлен материал по теории вероятностей и комбинаторике.

4. Критерии оценки выполнения задания.

Студент получает 3 балла, если:

−в схеме (таблице) представлены все 6 формул комбинаторики;

−правильно установлены связи между всеми компонентами схемы (таблицы);

−схема (таблица) аккуратно выполнена, без орфографических и математических ошибок;

−для электронного варианта представления схемы (таблицы) в названии файла должны быть отражены фамилия автора работы и год ее выполнения.

93

Студент получает 2 балла, если:

−в схеме (таблице) представлены от 3 до 5 формул комбинаторики;

−правильно установлены связи между всеми компонентами схемы (таблицы);

−схема (таблица) аккуратно выполнена, без орфографических и математических ошибок;

−для электронного варианта представления схемы (таблицы) в названии файла должны быть отражены фамилия автора работы и год ее выполнения.

Студент получает 1 балл, если:

−в схеме (таблице) представлены менее 3 формул комбинаторики;

−правильно установлены связи между всеми компонентами схемы (таблицы);

−схема (таблица) аккуратно выполнена, без орфографических и математических ошибок;

−для электронного варианта представления схемы (таблицы) в названии файла должны быть отражены фамилия автора работы и год ее выполнения.

Студент получает 0 баллов, если не выполнены предыдущие критерии.

Задание № 6. Первичная обработка опытных данных при изучении случайной величины (2 ч)

Тема: «Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки».

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения).

Для представленной выборки провести первичную обработку данных:

−Определить тип случайной величины (дискретная, непрерывная).

−Определить объем и размах выборки.

−Для дискретной случайной величины построить дискретный вариационный ряд, для непрерывной — интервальный вариационный ряд. Представить результат в виде таблицы (см. табл. 10).

94

−Построить для дискретного вариационного ряда полигон частот, для интервального гистограмму частот.

−Вычислить числовые характеристики случайной величины (выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение).

2. Методическая подсказка к выполнению:

•Для определения типа случайной величины проанализируйте множество значений случайной величины: если оно конечно (или каждый его элемент можно пересчитать), то она дискретная, в противном случае — непрерывная (множество значений является конечным или бесконечным промежутком).

•В случае большого объема выборки дискретной случайной величины используйте интервальный вариационный ряд. Для этого определите максимальное и минимальное значение случайной величины и выберите шаг интервала одним из способов:

при объеме выборки от 20–30 значений, то весь объем выборки делят на 5 интервалов; от 30 до 100 — на 7 интервалов, от 100 до 1000 — на 10 и более интервалов. В этом случае шаг определяется по формуле

количество интервалов

• В ходе построения дискретного или интервального рядов учитывайте следующее:

−результаты наблюдений расположите в порядке неубывания;

−для интервального ряда возможны различные способы разбиения на промежутки;

−определите абсолютные и относительные частоты;

−после составления ряда проверьте себя: сумма представленных абсолютных частот, должна быть равна объему выборки, а сумма относительных частот равна 1.

−Для вычисления числовых характеристик непрерывной случайной величины (выборочное среднее, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение) постройте дискретный вариационный ряд. Для этого каждый промежуток замените его средним значением (т. е. сложите левую и правую границу промежутка и полученный результат разделите на 2. Это и будет середина промежутка), а абсолютные частоты оставьте без изменения.

Приведем пример выполнения данного задания.

95

Задача № 1. Дана выборка: 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Провести первичную обработку представленной выборки данных.

Решение: Дискретная случайная величина. Упорядочиваем по неубыванию: 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10.

Объем выборки (количество данных) равен 15. Размах выборки: 10 – 2 = 8.

Заполняем таблицу 11: всего вариант 6: 2, 3, 4, 5, 7, 10, определяем для них абсолютную (сколько раз встретились варианты в выборке) и относительную частоты (частное абсолютной частоты и объема выборки).

Далее строим полигон частот. Для его построения в прямоугольной системе координат на оси абсцисс отмечаем варианты, а по оси ординат соответствующие относительные частоты (рис. 22).

0,30

0,25

0,20

0,15

0,10

0,05

0,00

Рис. 22

Вычисляем выборочную среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение:

Дисперсия равна:

D(Х ) = (2 − 5,3)2 3+ (3− 5,3)2 1+ ...+ (10 − 5,3)2 2 = 6,4,9 , 15

тогда σ (Х ) = D(X ) ≈ 2,55.

96

3. Описание ресурсов, необходимых для решения (тексты, фрагменты документов, образовательных программ и т. д.).

−Лекции и практические занятия по теме (примеры решения задач).

−Рекомендованные источники из списка основной литературы ([1, 3, 4]), дополнительной литературы ([2]).

−Адреса интернет-ресурсов:

http://www.math.ru/ — математический сайт, в библиотеке которого представлены полнотекстовые книги по комбинаторике и теории вероятностей (раздел «Теория вероятностей»).

http://window.edu.ru/window — информационная система «Единое окно доступа к образовательным ресурсам». В библиотеке этого ресурса представлены полнотекстовые источники по всем основным разделам математики.

Варианты выборок:

а) 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5. 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11. б) 38, 60, 41, 51, 33, 42, 21, 53, 60, 45, 52, 47, 41, 60, 33.

в) 1,03 1,05 1,16, 1,21, 1,05, 1,08, 1,03, 1,28, 1,21, 1,15, 1,08.

4. Критерии оценки выполнения задания.

Студент получает за выполнение задания 3 балла, если:

−правильно выбран тип случайной величины;

−правильно, без погрешностей выполнены все действия, приводящие к решению задачи.

Студент получает за выполнение задания 2 балла, если:

−правильно выбран тип случайной величины;

−правильно выполнены все действия, приводящие к решению задачи, возможно, с некоторыми небольшими погрешностями.

Студент получает за выполнение задания 1балл, если:

−правильно выбран тип случайной величины;

−действия, приводящие к решению задачи, выполнены с ошибками. Студент получает за выполнение задания 0 баллов, если им непра-

вильно выбран тип случайной величины.

Задание № 7. Разработка и защита проекта «Методы статистической обработки исследовательских данных»

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения).

Разработать проект по обработке результатов некоторого педагогического эксперимента. Для получения информации об итогах проведенного эксперимента необходимо осуществить следующие действия:

97

−Провести эксперимент или воспользоваться готовыми данными (см. пример).

−Определить цель проекта в соответствии с проблематикой эксперимента.

−Сформулировать задачи проекта, которые позволят достичь цели.

−Построение математической модели обработки результатов эксперимента, соответствующей цели эксперимента и проблеме проекта.

−Проинтерпретировать полученные математические результаты в терминах поставленной задачи.

−Определить возможные направления дальнейшего изучения и решения профессиональной задачи.

−Подготовить публичную защиту с представлением полученных результатов эксперимента (возможно с презентацией).

План защиты проекта:

1. Формулирование цели проекта.

2. Постановка задачи (задач) проекта.

3. Представление математической модели.

4. Интерпретация полученных результатов и формулирование выво-

дов.

5. Постановка новых профессиональных задач.

2. Методическая подсказка к выполнению.

−Для определения случайной величины проанализируйте ситуацию, описанную в эксперименте, и определите, какая величина изменяется, она

иесть случайная величина.

−Для наглядной геометрической интерпретации используйте полигоны и гистограммы.

−Публичную защиту целесообразно подготовить в виде электронной презентации, где будут отражены все компоненты плана защиты.

Приведем пример разработки одной профессиональной задачи:

Задача № 1. В настоящее время многие подростки оказываются социально незащищенными, значительная часть из них поддается негативному влиянию окружающих и отдаляется не только от школы и сверстников, но и от семьи. Остро стоит проблема того, чем заняты подростки в свободное от учебы время. Многие исследователи уверены в отрицательном воздействии средств массовой информации, а именно телевидения. С этой целью в двух классах школы №… был проведен эксперимент. 50 учащихся 7-х классов попросили ответить, сколько в среднем они проводят время перед телевизором в выходные дни. В результате анкетирования были получены следующие результаты (в часах):

98

Представьте эту информацию в наглядной форме, обработайте математическими средствами с тем, чтобы можно было сделать некоторые выводы по полученным данным и с ними выступить на одном из педагогических советов школы, посвященных использованию свободного времени подростками.

Решение: Цель эксперимента — получение обобщенной информации о количестве проведенного времени 7-классников перед телевизором в выходные дни.

Проблема проекта состоит в наглядном представлении результатов анкетирования школьников, а также получения содержательных выводов о результатах эксперимента.

Случайной величиной является количество часов, проводимых 7-клас- сником перед телевизором в выходной день. Несмотря на то что дана дискретная случайная величина в силу большой выборки (50 человек), построим интервальный вариационный ряд. Минимальное значение 1, максимальное значение 11, тогда по формуле шаг интервала равен

h = 117−1 ≈1,5. Абсолютная частота находится как количество данных, ко-

торые попали в этот ряд. Так, количество школьников, проводящих перед телевизором 1−2,5 часа равно 5 и т. д. для всех интервалов. Относительная частота находится как частное абсолютной частоты и объема выборки. Тогда получаем интервальный вариационный ряд:

Таблица 12

Далее строим гистограмму. Для ее построения в прямоугольной оси координат на оси абсцисс откладываем отрезки, изображающие промежутки интеравлов, и на этих отрезках как на основаниях строятся прямоуголь-

99

ники высотой, равной отношению абсолютных частот к длине шага (плотность частот), т. е. получаем таблицу (табл. 13).

Второй и последний столбец задают гистограмму частот (рис. 23).

По гистограмме видно, что большинство учащихся проводит перед телевизором от 5,5 до 7 часов в выходные. Для того чтобы определить среднее значение проводимого времени, используем формулу для выборочного

среднем 7-классник смотрит телевизор в входные дни 5,2 часов. Кроме того, вычислим выборочную дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

D(Х ) = (1,75 − 5,2)2 5 + (3,25 − 5,2)2 10 + ...+ (10,75 − 5,2)2 1 = 4,07, 50

тогда σ (Х ) = D(X ) ≈ 2,02.

Таким образом, в среднем учащиеся 7-го класса смотрят телевизор по выходным более чем 5 часов, а рассеивание (разброс) наблюдаемого значения времени составляет 2,02 часа.

Постановка новых проблем: для изучения использования свободного времени подростками целесообразно провести анкетирование, в котором учащиеся распределят свое свободное время в выходные дни по основным видам отдыха: перед телевизором, за компьютером, занятия спортом, за чтением и др. После этого провести первичную обработку полученных

100