Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

3)

2. Выберите формулы, которые задают функцию у(х):

1)|y| = x – 3;

2)y = |x – 3|;

3)y4 = x –3;

4)y = |x – 3| – |x + 4| (+);

5)|y| = |x + 3|;

6)y2 = x2 – 4.

3.Решите задачу 2, изменив условие: а) в шахте А добывалось 100 т, в шахте В — 200 т; б) в шахтах А и В добывалось по 200 т.

4.Расстояние между заводами А и В равно 40 км. Потребность завода

Асоставляет 80 т нефти в сутки, а завода В — 70 т в сутки. Перевозка одной тонны нефти на расстояние 1 км для завода А стоит 8 руб., а для завода В — 10 руб. Где нужно строить нефтебазу для обеспечения заводов А и В горючим, чтобы расходы на перевозку были наименьшими?

5.Пусть функция y = f(x) задана таблицей:

а) используя линейное интерполирование, найти f(1, 155);

б) используя обратное интерполирование, найдите значение х, при котором f(x) = 4.

Занятие 4.3. Уравнения и неравенства как математические модели.

Основное содержание.

Понятие уравнения и неравенства. Уравнения и неравенства как математические модели. Интерпретация результатов решения уравнений и неравенств.

Тема 7. Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

Приступая к изучению этой темы целесообразно начать со следующих вводных замечаний.

71

В нашей повседневной жизни мы, сами о том не догадываясь, постоянно занимаемся статистикой. Хотим ли мы спланировать бюджет, рассчитать потребление бензина автомашиной, оценить усилия, которые потребуются для усвоения какого-то курса, с учетом полученных до сих пор отметок, предусмотреть вероятность хорошей и плохой погоды по метеорологической сводке или вообще оценить, как повлияет то или иное событие на наше личное или совместное будущее, — нам постоянно приходится отбирать, классифицировать и упорядочивать информацию, связывать ее с другими данными так, чтобы можно было сделать выводы, позволяющие принять верное решение.

Все эти виды деятельности мало отличаются от тех операций, которые лежат в основе научного исследования и состоят в синтезе данных, полученных на различных группах объектов в том или ином эксперименте, в их сравнении с целью выяснить черты различия между ними, в их сопоставлении с целью выявить показатели, изменяющиеся в одном направлении, и, наконец, в предсказании определенных фактов на основании тех выводов, к которым приводят полученные результаты. Именно в этом заключается цель статистики в науках вообще, особенно в гуманитарных. В последних нет ничего абсолютно достоверного, и без статистики выводы в большинстве случаев были бы чисто интуитивными и не могли бы составлять солидную основу для интерпретации данных, полученных в других исследованиях.

Статистика содержит три главных раздела, к которым относятся: описательная статистика, индуктивная статистика и корреляционный анализ.

1.Описательная статистика позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения и его размах и дисперсию.

2.Задача индуктивной статистики заключается в проверке того, можно ли распространить результаты, полученные на отдельной выборке, на всю популяцию, из которой взята эта выборка. Иными словами, правила этого раздела статистики позволяют выяснить, до какой степени можно путем индукции обобщить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении их ограниченной группы в ходе како- го-либо наблюдения или эксперимента. Таким образом, при помощи индуктивной статистики делают какие-то выводы и обобщения, исходя из данных, полученных при изучении выборки.

3.Корреляционный анализ позволяет узнать, насколько связаны между собой две переменные, с тем чтобы можно было предсказывать возможные значения одной из них, если мы знаем другую.

(http://window.edu.ru/window/library/pdf2txt?p_id=18331)

72

В целях активизации учебно-познавательной деятельности студентов на практических занятиях необходимо, чтобы актуализацию теоретического материала по некоторым темам проводили сами студенты, в виде небольшого сообщения. В связи с этим изменяется роль преподавателя — она состоит в определении основных вопросов рассмотрения изучаемого объекта, а также в оказании консультативной помощи по вопросам, возникающим в ходе подготовки сообщения студентом.

Так, например, на первом практическом занятии по теме «Дискретные случайные величины. Нормальное распределение» студентам могут быть предложены следующие вопросы для подготовки сообщений:

1.Понятия «случайная величина», «значения случайной величины». Примеры обозначения случайных величин, значений случайной величины.

2.Виды случайных величин.

3.Понятие «закон распределения дискретной случайной величины».

4.Способы задания закона распределения дискретной случайной величины. Примеры.

Подготовку к такому сообщению студент должен начинать как минимум за 2 занятия до изучения темы, с тем чтобы оставалось время на личную или виртуальную консультацию с преподавателем по возникающим вопросам. Кроме того, в ходе выполнения данного задания студенты могут обратиться к методическим рекомендациям по выполнению вариативной части самостоятельной работы, в частности, к заданию № 7 «Подготовка сообщения к занятию. Преподавателю стоит время от времени напоминать обучающимся, какими источниками информации они могут воспользоваться в ходе освоения данной дисциплины, где найти методическую помощь или получить консультацию.

Занятие 7.2. Первичная обработка опытных данных при изучении случайной величины.

МЕТОДИЧЕСКИЙ КОММЕНТАРИЙ

Значимость практических занятий состоит в возможности совместного обсуждения студентов и преподавателя тех вопросов, разрешение которых требуют постановки новых проблем, проведения обобщений полученных результатов. Это могут быть вопросы чисто теоретического характера или представляющие практическую значимость. Именно на практических занятиях при непосредственном общении необходимо акцентировать внимание студентов, соответствующего направления подготовки, на связи математики с их профессиональной сферой. Это становится важным в связи с тем, что для понимания поставленной задачи необходимо находить точки соприкосновения наук, поскольку научный понятийный аппарат не всегда является универсальным. Для построения математической модели профес-

73

сиональной задачи требуется производить интерпретацию профессиональной терминологии на математический язык и наоборот, устанавливать межпредметные связи и т. д. Все это требует обсуждения и определенных договоренностей.

На одном из первых занятий по теме «Элементы математической статистики. Статистическое распределение выборки» студентам (профиля «Историческое образование») может быть предложено следующее задание:

Задание «Президентские выборы».

Во время президентских выборов в 1936 г. журнал «Литрери Дайджест», успешно прогнозировавший события нескольких предшествующих выборов, ошибся в своих предсказаниях, разослав десять миллионов пробных бюллетеней своим подписчикам; людям, выбранным по телефонным книгам всей страны; и людям из регистрационных списков автомобилистов. В 25% вернувшихся бюллетеней (почти 2,5 млн) голоса были распределены следующим образом:

57% отдавали предпочтение кандидату-республиканцу Альфу Лэндону;

40% выбрали действующего в то время президента-демократа Франклина Рузвельта.

На действительных же выборах, как известно, победил Рузвельт, на-

брав более 60% голосов.

Объясните, чем обусловлена ошибка журнала при прогнозировании результатов президентских выборов. Учитывайте тот факт, что большинство подписчиков журнала «Литрери Дайджест» считали себя республиканцами.

Решение.

Данная выборка не является репрезентативной. Несмотря на то что, желая увеличить репрезентативность выборки (так как журналу было известно, что большинство их подписчиков считают себя республиканцами), была расширена выборка за счет людей, выбранных из телефонных книг и регистрационных списков автомобилистов. Однако не были учтены условия того времени, и в действительности было набрано еще больше республиканцев. В начале ХХ в. (время Великой депрессии) обладать телефонами

иавтомобилями могли себе позволить в основном представители среднего

иверхнего класса, то есть большинство республиканцев, а не демократов.

На первый взгляд кажется, что данное задание не имеет математической значимости, и его не стоит рассматривать в ходе изучения дисциплины «Основы математической обработки информации», оставив для предметной области социологии. Тем более что чаще всего в ходе изучения математической статистики предлагаются задачи, в которых выборка из генеральной совокупности уже произведена и полученные данные необходимо обработать. Однако ситуации, связанные с разрешением такого типа задач, обладают общекультурной ценностью.

74

На этом задании студентам может быть продемонстрирован пример того, что математическая модель, адекватная с точки зрения математики, но построенная на заведомо ложном предположении (нерепрезентативная выборка), приводит к неверному результату. Поэтому преподавателю крайне важно донести до студентов мысль о том, что, несмотря на универсальность математической науки, в профессиональной области она выступает только в качестве инструмента. И как любой инструмент она имеет определенную сферу применимости. Поэтому применение математических методов для изучения и исследования объектов реальной действительности представляет собой построение модели, которая при всей математической строгости имеет ограничения, накладываемые самой реальностью. Необходимость учета этих ограничений при интерпретации полученных математических результатов оказывается напрямую связанной с уровнем профессиональной компетентности будущего специалиста.

75

ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Цель самостоятельной работы — обеспечить условия для формирования опыта использования математических знаний для решения учебных и практических (профессиональных) задач.

Основным средством организации самостоятельной работы студентов является разработанная система заданий для студентов и методические рекомендации по их выполнению.

Для организации самостоятельной работы студентов преподавателю необходимо создать банк тем, которые будут предлагаться для выполнения вариативных самостоятельных заданий. Среди таких тем могут быть, например:

•Математика в современном мире.

•Метод математического моделирования.

•Математические функции в естественных и гуманитарных науках.

•Что изучает комбинаторика?

•Наглядность в статистике.

Основная функция преподавателя по руководству самостоятельной работой при наличии соответствующих материалов состоит в консультировании на всех этапах выполнения самостоятельной работы и в оценивании ее результатов. При этом консультирование может осуществляться как при личных встречах, так и с помощью общения через Интернет.

Кроме того, результаты выполнения самостоятельной работы будут являться основным показателем при проведении аттестации по дисциплине «Основы математической обработки информации».

При проведении текущей и итоговой аттестации студентов по данной дисциплине преподаватель должен учитывать ожидаемые результаты изучения дисциплины и требования к уровню освоения дисциплины, представленные в программе.

Напомним их с указанием тех форм учебной деятельности, в рамках которых преподаватель может отслеживать достижение соответствующих результатов и выполнение требований по освоению дисциплины всеми студентами в целом и отдельными студентами.

Напомним, что к ожидаемым результатам изучения дисциплины в программе относят фактически три группы умений.

Первая группа определяет владение студентами:

− содержательной интерпретацией и адаптацией научных (математических) знаний для решения образовательных задач в области гуманитарных знаний;

76

−основными методами решения задач из выделенных разделов, относящихся к дискретной математике, и простейших задач на использование метода математического моделирования.

Вторая группа — выделяет способности:

−включаться в совместную деятельность с коллегами, работая командой;

−владеть профессиональными основами речевой коммуникации с использованием элементов формального математического языка;

−нести ответственность за результаты своих действий;

−организовывать подгруппы студентов своей группы для овладения ими опытом взаимодействия при решении предлагаемых учебных задач.

Третья группа определяет умения:

−проектировать отдельные фрагменты учебных занятий с использованием математического содержания;

−использовать базовые методы решения задач из рассмотренных разделов математики;

−осуществлять первичную статистическую обработку данных;

−реализовывать отдельные (принципиально важные) этапы метода математического моделирования;

−отбирать информационные ресурсы для сопровождения учебного процесса.

Первая группа умений, относящихся к предметным умениям, формируется в основном на лекциях и практических занятиях. Вторая и третья, представляющая в большей степени общие учебные умения — в ходе самостоятельной работы студентов.

Требования к уровню освоения дисциплины важно осмыслить с точки зрения возможности их формирования и выявления.

Сначала напомним их.

В результате изучения дисциплины студент должен:

знать:

−основные способы представления информации с использованием математических средств;

−основные математические понятия и методы решения базовых математических задач, рассматриваемые в рамках дисциплины;

−этапы метода математического моделирования;

−сферы применения простейших базовых математических моделей в соответствующей профессиональной области;

понимать:

−особенности и специфику представления информации с использованием рассматриваемых средств;

−особенности интерпретации информации, представленной с использованием рассматриваемых средств с учетом профессиональнопредметной области;

77

−сущность метода математического моделирования и особенности его использования в соответствующей области;

−специфику математических моделей, соответствующих области профессиональной деятельности;

−возможности, условия и ограничения в использовании статистических методов при решении различных задач, в том числе в области профессиональной деятельности;

уметь:

−осуществлять поиск и отбирать информацию, необходимую для решения конкретной задачи;

−осуществлять перевод информации с языка, характерного для предметной области, на математический язык;

−подбирать задачи для реализации поставленной учебной цели;

−определять вид математической модели для решения практической задачи, в том числе из сферы профессиональных задач;

−использовать метод математического моделирования при решении практических задач в случаях применения простейших математических моделей;

−использовать основные методы статистической обработки экспериментальных данных.

При этом вопрос о том, через какие формы работы и виды заданий преподаватель может установить этот уровень, является здесь определяющим. Приведем таблицу, в которой выделены соответствующие формы работы и виды заданий (табл. 6).

78

79

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Ваша работа при изучении данной дисциплины складывается из аудиторной работы (на практических занятиях) и самостоятельной работы, которая по объему рассчитана на 50% часов, отводимых на освоение дисциплины.

Самостоятельная работа оценивается в 1 кредит (36 часов).

На практических занятиях вам необходимо быть готовым выступать с результатами самостоятельного выполнения заданий или при обсуждении работы, выполненной другим студентом; выполнять индивидуальные задания или участвовать в выполнении коллективных заданий, предложенных преподавателем на самом занятии.

Нужно учесть, что преподаватель оценивает вашу работу на каждом практическом занятии. При этом оценка вашей работы на практическом занятии складывается из оценки представлений результатов внеаудиторной самостоятельной работы и оценки тех видов работ, которые будут вам предложены на самом занятии.

В самостоятельной работе можно выделить обязательную и вариативную составляющие.

Обязательная часть состоит из восьми заданий, каждое из которых должен выполнить каждый из вас. Содержание заданий конкретизируется преподавателем. Обязательная часть самостоятельной работы оценивается в 16 часов (24 балла).

Вариативная часть самостоятельной работы состоит из семи заданий, некоторые из которых могут выполняться на различном содержании. Из этих заданий вы должны выбрать несколько заданий так, чтобы оговоренное в программе время работы на их выполнение было не меньше 20 часов (30 баллов).

Ниже вам предлагаются методические указания по выполнению некоторых заданий, включенных в самостоятельную работу.

ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

Задание № 1. Отбор ситуаций соответствующих предметной области для представления с помощью математических средств.

Осуществление соответствующего перевода

Тема: «Математические средства представления информации. Формулы. Таблицы. Графики. Диаграммы».

1. План действий при выполнении задания (алгоритм выполнения):

− Отберите ситуации), в которых описано то или иное соотношение частей целого, динамика изменения той или иной величины, состав и изменение нескольких величин и т. п.

80