Основы математической обработки информации. Учебное пособие для организации самостоятельной деятельности студентов

Сколько килограммов огурцов нужно вырастить Николаю Кузьмичу, чтобы получить при их продаже максимальную прибыль?

Постройте график функции прибыли от количества выращенных огурцов. Найдите те значения Q, при которых прибыль становится равной нулю, отрицательной.

Занятие 4.2. Функция как математическая модель.

Основное содержание.

Функция. Понятие. Способы задания. Свойства функций. Процессы и явления, описываемые с помощью функций. График функции как модель процесса и явления. Интерпретация результатов исследования функции в соответствии с условиями задачи.

Приведем фрагмент содержания занятия.

Функция является одним из важнейших понятий в математике. И как один из основных инструментов используется в других науках для изучения различных процессов, природа которых может быть различной, но математическая модель — функция — оказывается одинаковой.

Основные задачи, связанные с понятием «функция», которые решаются в школе:

•математическая задача (описание свойств функции на основании формулы или на основании графика, построение графика и т. д.).

•прикладная задача, решение которой состоит из нескольких этапов:

−конструирование функции по сюжету;

−исследование построенной функции (решение математической за-

дачи);

−интерпретация полученного результата.

В качестве примеров прикладных задач, решаемых в школе, можно привести задачи на наибольшее или наименьшее значение.

Напомним, что термин «функция» был введен Лейбницем, а символьная запись y = f (x) — Леонардом Эйлером.

Сформулируем несколько определений понятия функция, взятых из школьных и вузовских учебников.

Определение 1. Если каждому значению х из некоторого множества чисел Х поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на этом множестве задана функция у(х). При этом х называют независимой переменной, а у — зависимой переменной или функцией.

Определение 2. Говорят, что переменная у является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого х однозначно определить значение у.

Определение 3. Числовой функцией с областью определения D называется соответствие, при котором каждому числу х из множества D сопоставляется по некоторому правилу единственное число у, зависящее от х.

61

Определение 4. Функцией f(x) называется правило, которое каждому элементу х из множества Х ставит в соответствие единственный элемент у из у.

Заметим, что когда множество Х — числовое множество, речь идет о функции числового аргумента, когда У — числовое множество, то речь идет о числовой функции, когда оба эти множества числовые, то речь идет о

числовой функции числового аргумента.

Независимо от того, какое определение функции мы используем, необходимо помнить, что принципиальным является возможность существования не более одного значения зависимой величины. Поэтому, например, уравнение не задает функцию y(x) : каждому положительному значению х ставится в соответствие два противоположных значения у. Но оно задает функцию x( y) : каждому значению у как независимой переменной ставится в соответствие ровно одно значение х как зависимой переменной. Таким образом, мы видим, что без уточнения, о какой зависимости идет речь, какая переменная рассматривается как зависимая, а какая как независимая, мы не можем говорить о том, задана функция или нет.

Теперь напомним известные способы задания функций:

−табличный (нельзя задать непрерывную функцию, неограниченную функцию);

−словесный (описанием);

–аналитический (с помощью формулы); здесь можно выделить:

•явное задание функции;

•неявное задание функции (в том числе параметрическое);

•кусочно-заданные функции;

− графический (с помощью графика) тоже не позволяет задать неограниченную функцию или функцию на неограниченной области определения.

Полезная информация

Неявное задание функции. Наряду с уравнением вида y = f(x) мы можем задать функцию f(x) с помощью уравнения F(x, y) = 0 . Если изменяется значение переменной х, то изменяется и значение переменной у.

Например: уравнение xy −1 = 0 задает функцию f(x). В этом случае переменную у можно явно выразить через х. Однако так бывает не всегда. Часто выразить переменную у через х бывает затруднительно и даже невоз-

можно: (x2 y + x)arctgy − 4y = 0 .

Параметрическое задание функции. Функция может быть задана с помощью системы уравнений, содержащих некоторый промежуточный па-

62

x = 2sint

раметр: y = cost +1. Если изменяется переменная х, то изменяется значение параметра t, а это влечет за собой изменение переменной у.

К основным элементарным функциям относятся: степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции.

Все функции, которые получены из основных элементарных с помощью конечного числа арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и композиций тоже являются элементарными.

Напомним основные свойства функций.

1.Область определения (область задания) функции.

2.Множество значений (область значений) функции.

Если мы выбираем определение понятия функции как переменной величины и рассматриваем зависимость, например, переменной у от переменной х, то множество значений, которые может принимать переменная х, называется областью определения функции у(х), а множество значений, которые может принимать переменная у, называется множеством значения

этой функции.

Рассмотрим несколько примеров. Пример.

Найдите область определения функции, заданной аналитически:

Решение.

Обратим внимание на те ограничения, которые формируют область определения данной функции. Во-первых, выражение содержит корень четной степени, поэтому выражение, стоящее под знаком корня, должно быть неотрицательным. Во-вторых, выражение содержит логарифм, поэтому выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным. В-третьих, решая неравенство для функции, стоящей под знаком логарифма, нельзя забыть о знаменателе, который не должен равняться нулю. Таким образом, получаем систему ограничений:

Результат решения этой системы и является областью определения данной функции.

63

Для того чтобы найти область определения второй функции, вспомним, что функция арккосинус определена на отрезке [–1; 1]. Кроме того, выражение содержит корень четной степени, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Получаем систему ограничений:

Выразите зависимую переменную и найдите область определения и множество значений этой функции.

Решение.

Очевидно, во-первых, что функция, предложенная в данном примере, задана неявно. Поскольку ни одна из переменных не выражена явным образом.

Во-вторых, проанализировав выражение, мы увидим, что для каждого

значения 0;1 можно найти два значения для переменной у, что не по-

x 3

зволяет говорить о функции у(х).

1

Таким образом, попробуем рассмотреть функцию х(у): x = | y −1| +3 .

Видно, что эта функция определена для всех значений переменной у, то есть область определения этой функции — все множество действительных

Корни (нули) функции

Определение. Число х0 из области определения функции y = f(x) называется нулем (или корнем) этой функции, если f(x0) = 0.

Таким образом, для нахождения нулей функции необходимо решить уравнение f(x0) = 0.

Пример.

Найдите нули функции.

1)y = x2 − x − x2 − 0,5 ;

2)log3 (3x + y)− 2x + y −1= 0.

Решение.

1. Поиск корней данной функции можно начать с поиска области ее определения, но можно сначала решить соответствующее уравнение и проверить найденные корни. Так и поступим.

64

водя обе части этого уравнения в квадрат (это приводит к уравнению, равносильному на ОДЗ данного уравнения), получаем: x2 − x = x2 − 0,5 или х = 0,5. Теперь нужно проверить, удовлетворяет ли полученное решение области определения нашей функции. Простая проверка показывает, что при х = 0,5 выражение под знаком первого корня меньше нуля и поэтому найденное нами число не принадлежит области определения. Вывод, который мы получили: данная функция нулей не имеет.

2. Вторая функция задана неявно. В этом случае мы можем подставить

тоды решения логарифмических уравнений, получаем: 32x+1 = 3x , или 2х + 1 = х, решением которого является число х = –1. Поскольку областью определения уравнения (*) является любое действительное число, то найденное значение х нас устраивает. Вывод. Функция обращается в 0 при х = –1.

Промежутки знакопостоянства

Промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Заметим, что поиск промежутков знакопостоянства как правило сводится к поиску точек, в которых функция меняет свой знак (как правило это ее нули и границы области определения), и расстановке знаков на найденных промежутках с помощью метода интервалов. В некоторых случаях можно воспользоваться некоторыми известными свойствами функций. Это особенно полезно, когда речь идет о сложных функциях.

Пример.

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1)y = arcsin(x2 − x);

2)y = 2x + 3 − x . x − 4

Решение.

1. К выполнению данного задания можно подойти двумя разными способами.

1. Для определения промежутков знакопостоянства найдем нули нашей функции, а для этого решим уравнение: arcsin(x2 − x)= 0 , или x2 − x = 0 . Его решениями являются числа х = 0 и х = 1. Они разбивают числовую прямую на три промежутка: (–∞; 0); (0; 1); (1; +∞). При х = –1 получаем: arcsin((−1)2 − (−1))= arcsin1> 0 . Таким образом, на самом левом промежутке функция имеет знак «+». Учитывая чередование знаков, получаем три промежутка знакопостоянства: (–∞; 0); (1; +∞), на которых функция положительна, и (0; 1), на котором функция отрицательна. Но для окончательного

65

решения необходимо найти область определения функции. Она, как вам известно, определяется двойным неравенством: −1≤ x2 − x ≤1, решая кото-

на котором функция отрицательна.

2. Знак функции y = arcsin(x2 − x) определяется знаком выражения x2 – x, поскольку знак функции арксинус совпадает со знаком ее аргумента. Поэтому для ответа на вопрос задачи требуется определить промежутки знакопостоянства функции y = x2 – x на отрезке [–1; 1].

нателя. Поэтому нужно найти точки, при которых происходит изменение

2x + 3 = x , или 2x + 3 = x2 , решением которого являются числа х = –1 и х = 3. Число х = –1 не является решением исходного уравнения 2x + 3 = x и это значит, что данная функция не изменяет знак в точке х = –1. Поэтому найденные две точки разбивают числовую прямую на три промежутка: (–∞; 3); (3; 4); (4; +∞). Теперь для определения знака подставим, например, число х = 0. При этом значении наша функция отрицательна. Дальше ее знак изменяется в точке х = 3 (с «–» на «+») и в точке х = 4 (с «+» на «–»). Учиты-

функция положительна.

1. Четность или нечетность функции.

Определение. Функция f(x) называется четной (нечетной), если для любого значения х независимой переменной из области определения функции выполняется равенство f(–x) = f(x) (f(–x) = –f(x)). Из этого определения следует, что необходимым условием четности или нечетности функции является симметричность ее области определения относительно нуля!

2. Периодичность.

Определение. Функция f(x) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что для любого значения х независимой переменной из области определения функции выполняется равенство: f(x + T) = f(x).

66

3. Монотонность.

Определение. Функция f(x) называется монотонно возрастающей (убывающей) на промежутке < a; b >, если для любой пары значений х1 и x2 независимых переменных из этого промежутка выполняется следствие: x1 > x2 f (x1 ) > f (x2 ) ( x1 > x2 f (x1 ) < f (x2 ) ).

4. Экстремумы.

Определение. Точка х0 из области определения функции называется точкой максимума (минимума) этой функции, если существует такая окрестность <a; b> этой точки, что для любого x <a; b> выполняется неравенство: f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x)).

5. График функции.

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x; f(x)), где x Df.

Линейная функция служит основой большого количества математических моделей, которые позволяют исследовать многие реальные процессы. Было бы неправильно утверждать, что все эти процессы линейны. Просто для эффективного их изучения достаточно линейного приближения.

Рассмотрим простейший пример. Задача 1.

Затраты на перевозку одного и того же груза разными видами транспорта определяются формулами:

y1 = 1500 + 3x; y2 = 3000 + 1,5x,

где х — расстояние в километрах, y1, y2 — стоимость перевозки в рублях. Постройте графики этих функций. На каких расстояниях выгодно пользоваться первым видом транспорта? Начиная с какого расстояния экономичнее становится второй вид транспорта?

Решение.

Напомним, что для построения графика линейной функции достаточно двух точек на плоскости. (Из геометрии: через две точки проходит прямая и притом только одна, что означает, что прямая однозначно определяется двумя точками.) Поэтому предполагаем, что с первой частью задания вы справитесь самостоятельно. Сделаем лишь два замечания.

1.Очевидно, что областью определения линейной функции является все множество действительных чисел. Однако, как уже говорилось выше, в первой части этого занятия, на практике известные функции рассматриваются не на естественной, а на искусственной области определения, которая часто определяется соображениями здравого смысла. В нашем случае такой областью определения является только множество положительных чисел (расстояние не может быть выражено отрицательным числом). Таким образом, график будет располагаться только в первой координатной четверти.

2.Для того чтобы максимально эффективно расположить и показать график любой функции, нужно правильно выбрать масштаб. Поскольку

67

свободный коэффициент наших функций значителен, целесообразно в качестве единичного отрезка на оси ординат выбрать две клетки, каждая из которых равна 500 единицам стоимости перевозки. Единичный отрезок по оси ординат также может быть выбран равным двум клеткам, в каждой из которых содержится 500 км.

Ответить на вопросы задачи с помощью графиков достаточно просто. Напомним, что значения одной из функций меньше на тех промежутках области определения, где график ее расположен ниже. Поэтому использование первого вида транспорта будет выгоднее до тех пор, пока график первой функции будет располагаться ниже графика второй функции, то есть до того момента, пока они не пересекутся.

Однако для ответа на вопросы задачи необязательно строить графики функций. Достаточно найти решение неравенства: 1500+3х<3000+1,5х (значения первой функции меньше, чем значения второй). Решением этого неравенства является x < 1000, что означает: первым видом транспорта выгоднее пользоваться, когда расстояние перевозок не превышает 1000 км. Дальше выгоднее пользоваться вторым видом транспорта. На 1000 км везти груз можно любым видом транспорта. Затраты будут одинаковыми.

Теперь рассмотрим применение линейной функции к решению задач оптимизации.

Задача 2.

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссейной дороге 60 км. На шахте А добывают 200 т руды в сутки, а на шахте В — 100 т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение.

Под тонно-километрами понимается количество тонн руды (к), перевезенное на определенное количество километров (у). Таким образом, количество тонно-километров равно произведению ку.

Предположим:

1)завод строится на шоссе, в некоторой точке С, то есть сумма расстояний АС + ВС = 60;

2)все количество руды, добытое в шахтах, подлежит переработке на этом заводе.

Очевидно, что суммарное количество тонно-километров зависит от расположения завода на шоссе.

Обозначив расстояние АС = х, получим формулу, выражающую количество тонно-километров: 200х + 100(60 – х) = 100х + 6000. Таким образом, мы получили функцию зависимости количества тонно-километров от удаленности завода от шахты А.

Полученная функция является монотонно возрастающей и определена на отрезке [0; 60]. Поэтому наименьшее свое значение она принимает на

68

левом конце области определения, т. е. при х = 0. Значит, наименьшее количество тонно-километров равно 6000. Завод нужно строить около шахты А.

Еще одним важным аспектом является использование функций как математических моделей — использование функций, заданных с помощью таблиц.

Очевидно, с помощью таблицы, как уже отмечалось во второй части нашего занятия, можно задать только дискретную функцию. Мало того, в таблице обычно указан набор значений в фиксированных точках с выбран-

Если требуется определить значение функции в точке х, равной, например, 1,25, приходится прибегать к интерполированию, то есть к приближенному нахождению неизвестных значений функции по ее известным значениям.

Наиболее простым является случай линейного интерполирования, то есть приближения неизвестной функции к линейной.

Допустим, что в результате изучения некоторого явления и произведенных измерений получены значения некоторого параметра р, которые отражены на графике в виде точек с координатами (t; p(t)). Все эти точки почти ложатся на прямую (рис. 20). Это значит, что, допуская некоторую погрешность, можно считать, что зависимость p(t) — линейная.

1

Рис. 20

Пусть известно значения функции y = f(x) y1 и y2 в точках x1 и x2 соответственно. Предполагаем, что между этими точками функция примерно совпадает с линейной, имеющей такие же значения. Уравнение линейной

69

x = x2 − x1; y = y2 − y1 . Таким образом, считают, что на промежутке (x1; x2)

помощью дополнительной таблицы.

Если по заданным значениям функции нужно найти приближенной значение аргумента, то используют обратное интерполирование.

Приведем пример.

Задача.

Пусть функция y = f(x) задана таблицей:

Используя линейное интерполирование, найти f(1, 055). Решение.

Имеем: y1 = 1,85 и y2 = 2,55 в точках x1 = 1,05 и x2 = 1,1 соответственно.

x = x2 – x1 = 1,1 – 1,05 = 0,05 и y = y2 – y1 = 2,55 – 1,85 = 0,7. Подставим найденные величины в интерполяционную формулу и получим:

ние х = 1,055, получим приближенное значение функции: f(1,055) = 1,85 + 14(1,055 – 1,05) = 1,85 + 0,07 = 1,92.

Если точность нахождения неизвестных значений функции с помощью линейного интерполирования по каким-то причинам не устраивает, оказывается недостаточной, то используются другие методы интерполирования,

например, квадратичное интерполирование.

Задачи для решения

1. Из функций, заданных с помощью таблицы, выберите ту, которая

удовлетворяет данному уравнению, и закончите таблицу. y = x2 + 1.

1)

70