Основы математики. Учебное пособие

y = f (x )

( нуль функции )

Возрастание и убывание функции на интервале

y

y

y = f ( x )

•

•

y = f ( x )

•y1

y2

y1

y2•

0

a x1

x2

b x

0 a x1

x2 b

x

x2 > x1 y2 > y1

x2 > x1 y2 < y1

( функция возрастает )

( функция убывает )

Четность и нечетность функции

Если

x Є D(y)

f (− x ) = f ( x )

,

то функция четная

( график функции симметричен относительно оси Оу );

если

x Є D(y)

f (− x ) = − f ( x )

, то функция нечетная

а)

у = х

.

f (x) = x

f (−x) = − f (x) ─ функция

у

f (−x) = − x

нечетная

(симметрия

относительно начала

− ∞ .

х

0(0;0)

+ ∞

координат)

Функция монотонно возрастает во всей

области определения.

Можно легко видеть,

что с возрастанием аргумента значение

функции возрастает.

б)

y = x 2

y

f ( x ) = x 2

f (−x) = f (x)

f (−x) = ( − x )2 = x 2

─ функция четная

•

•

(симметрия относительно оси Оу)

y1 •

•

y4

x

− ∞ x1 x2

o x3 x4

+ ∞

Функция имеет два интервала монотонности:

х Є ( − ∞; 0 ]

функция убывает

( x 2 > x 1

y 2 < y 1 )

х Є ( 0; + ∞ )

функция возрастает

( x 4 > x 3

y 4 > y 3 )

§ 7. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

Общий вид: у = кх + в

D ( y ) = R E ( y ) = R

у

I

а)

у = х

( к = 1, в = 0 )

к > 0

•

х

0

2

А(2;2)

х

у

0

2

О(0;0)

О(0;0)

и A(2;2)

− ∞

+ ∞

III

б)

у = − х

( к = − 1, в = 0 )

II

у

х

0

2

у

0

– 2

х

О(0;0) и А(2;– 2)

− ∞

О(0;0)

+ ∞

• А(2;-2)

к < 0

в) у = х + 1

IV

у

у = х + 1

у

г) х = − 2

• А(2;2)

1

1

у = 1

х

–1

у = 0

− ∞

О(0;0)

+ ∞

у = х

− 2

0

х

х = 0

у = 1

у = 0 х = − 1

х = 0

Общий вид линейного уравнения:

ax + b = 0

ОДЗ : x Є R

1. Если a ≠ 0 x = −

b

.

a

a1 x + b1 y = c1

(1)

l1 и l2

− графики уравнений (1) и

(2)

a2 x + b2 y = c2

( 2 )

(прямые линии)

y

l1

y

l1

y

l1; l2

l2

l2

•

A(x0; y0)

0

x

0

x

0

x

Единственное решение:

Нет решений

Бесконечно много

{(x0; y0)}

решений

(прямые параллельны)

(прямые пересекаются)

(прямые совпадают)

Примеры.

1.

Решить уравнение графически:

у

4

5x + 4 = 0

ОДЗ : x Є R

у = 5x + 4

─ линейная функция

у = 5x + 4

График функции ─ прямая линия.

Для построения графика выберем

х

следующие две точки: А(0; 4) и В(-1;-1)

– 1 −

4

0

5

– 1

х = 0

у = 5 • 0 + 4

у = 4

х = – 1 у = 5 (– 1) + 4 у = – 1

Ответ:

4

−

5

2.

Решить систему уравнений графически:

Упражнения

Ответ: { (5; – 2 ) }

Построить графики функций:

y = 2x

y =

1

x

y = 3x + 1

y =

x

2

y = −3x

y =−

2

x

y =− x − 2

y =

x

± 1

5

Общий вид:

y = a x2 + bx + c

D ( y ) = R

а ≠ 0

График функции ─ парабола ( а > 0 парабола направлена вверх;

а < 0 парабола направлена вниз ).

1.

у = х 2

( а = 1, b = c = 0 )

y

4

x

−2

−1

0

1

2

1

x

y

4

1

0

1

4

– 2 – 1

1 2

− ∞

+ ∞

a = 1 > 0

парабола направлена вверх

О(0;0)

D ( y ) = R

E ( y ) = [ 0; + ∞ )

Функция четная

график симметричен относительно оси Оу.

х Є ( − ∞; 0 ]

функция убывает

х Є ( 0; + ∞ )

функция возрастает

При x = 0 функция имеет

Точка О ( 0; 0 ) ─ вершина параболы.

минимальное значение.

2.

у = – х 2

( а = – 1, b = c = 0 )

y

О(0;0) x

a = – 1 < 0 парабола направлена вниз

–4

D ( y ) = R

E ( y ) = (– ∞; 0 ]

Функция четная график симметричен относительно оси Оу.

х Є ( − ∞; 0 ]

функция возрастает

х Є ( 0; + ∞ )

функция убывает

При x = 0 функция имеет

Точка О ( 0; 0 ) ─ вершина параболы.

максимальное значение.

а) у = х 2 ± 3

б) у = ( х ± 1 ) 2

у = х 2 + 3

у

у

у = (х + 1)2

3

у = (х – 1)2

у = х 2

у = х2

х

–1

1

х

О(0;0)

О(0;0)

у = х 2 – 3

– 3

Записать координаты вершины параболы:

1)

у = х 2 + 3

О′(0; 3)

5)

у = – х 2 + 5

О′( 0; 5)

2)

у = х 2 – 3

О′(0; – 3)

6)

у = – ( х –1 ) 2

О′( 1; 0)

3)

у = (х + 1)2 О′( – 1; 0)

7) у = ( х –1 ) 2 – 2

О′( 1; – 2)

4)

у = (х – 1)2 О′( 1; 0)

8) у = – ( х +1 ) 2 + 9 О′( – 1; 9)

o′( −

b

; −

b2

− 4ac

)

2a

4a

записать свойства этой функции:

y = x 2

− 2x − 3

1. a =1 > 0

парабола направлена вверх

2.

y = x 2

− 2x − 3 у = ( х – 1 ) 2 – 4 О′( 1; – 4 ) ─ вершина

параболы

3.

Точки пересечения графика функции с осями координат:

а) х = 0 у = – 3

y

б) у = 0 х 2 – 2х – 3 = 0 (нули функции)

х 1 = – 1, х 2 = 3 (по теореме Виета)

y>0 x

Свойства функции:

y>0

– ∞ -1 0

1

3 + ∞

D ( y ) = R

E ( y ) = [ –4; + ∞ )

-3

f( – х) = (– х)2

– 2(– х) – 3 = х 2 + 2х – 3

-4

O ′( 1; −4 )

f( – х) ≠ f( х) и f( – х) ≠ – f( х) функция общего вида

х Є ( − ∞; 1 ]

функция убывает

х Є ( 1; + ∞ )

функция возрастает

2. Решить неравенство графически:

x2 − 3x + 6 > 0

D = (– 3)2 – 4• 1• 6 = – 15 < 0

y

у

D < 0 (нет нулей функции)

6

у > 0

a = 1 > 0 (парабола направлена вверх)

0

х

Точка пересечения с осью Оу:

х = 0 у = 6

a x2 + bx + c = 0

a x2 + bx + c > 0 a x2 + bx + c < 0

D < 0

D > 0

D = 0

y

y

y

y> 0

y > 0

y > 0

y > 0

0

x

a > 0 – ∞ x1

x2 + ∞ x

0

x

0

Y<0

y

y

y

0

x

a < 0

y > 0

0

x

y< 0

0

y< 0

y< 0

y< 0

имеет два разных

имеет два равных

не имеет

корня ( x1 ≠ x2 )

корня ( x1 = x2 )

действительных

корней ( x € Ø )

Примеры.

Решить уравнения:

а) log x (x2 – 3x + 6 ) = 2

ОДЗ: x2 – 3x + 6 > 0 (смотри стр. 89)

x Є R

x > 0

x > 0

x ≠ 1

x ≠ 1

x

– ∞

0

1

+ ∞

x Є ( 0; 1 ) U ( 1; + ∞ )

x 2 = x 2

– 3x + 6

3x = 6

x = 2 Є ОДЗ

Ответ: { 2 }

б) lg ( x 2 – 17 ) = lg ( x + 3 )

ОДЗ: x 2 – 17> 0

x Є ( – ∞; − 17 ) U (

17 ; + ∞ )

x + 3 > 0

x > – 3

x

– ∞

−

17 –3

17

+ ∞

x 2 – 17 = x + 3

x Є ( 17 ; + ∞ )

x 2 – x – 20 = 0

x1 = – 4 Є ОДЗ (посторонний корень)

x2 = 5 Є ОДЗ

Ответ: { 5 }

§ 10. ОБРАТНАЯ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

Общий вид функции:

y =

k

D ( y ) = R { 0 }

x