Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

3. Записа́ть непра́вильныедро́би:	3		1	= ?	14		2		= ?	7		3	= ?
3. Записа́ть непра́вильныедро́би:	3	2		= ?	14		3		= ?	7			= ?
		2					3			5
4. Записа́ть сме́шанныечи́сла:		4		= ?		15		= ?			34		= ?
4. Записа́ть сме́шанныечи́сла:		3		= ?	8			= ?		5			= ?
		3			8					5
5. Записа́ть си́мволами:
9 − э́тонатура́льноечисло́				101	− э́тодействи́тельное число́
(−8) − э́тоце́лоечисло́				17	– э́тоположи́тельноечисло́
0,3 − э́торациона́льноечисло́				(-9)	– э́тоотрица́тельноечисло́

Мно́жество натура́льныхчи́сел− э́то

подмно́жествомно́жестварациона́льныхчи́сел.

6. Показа́тьдействи́тельныечи́слана числово́осий́:2; − 2,5;							−3	2	; 0; −1,5;
								3
	1			1
2		;	− 5		; 1;	2
	3			2

§ 5. АБСОЛЮ́ТНАЯ ВЕЛИЧИНА́ДЕЙСТВИ́ТЕЛЬНОГОЧИСЛА́ (мо́дуль числа́)

! Определе́ние.		a	a, если	a ≥ 0
! Определе́ние.		a	=
			−a, если	a < 0
	Мо́дульчисла́a ра́венчислу́a, е́слиa ≥ 0,
	мо́дульчисла́a ра́венчислу́−a(), е́слиa < 0.
\| +9 \| = 9	\| 0 \| = 0				\| −5 \| = − (−5) = 5

Сво́йства

1.| a| ≥ 0

2.| a| = |−a|

3.| a b| = | a| | b|

x 2 =

если

х ≥ 0

x =

− х,

если

х < 0

b ≠ 0

= a 2

§ 6. ПРОСТЫ́Е И СОСТАВНЫ́ЕЧИ́СЛА

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... − просты́е чи́сла

Просто́е число́мо́жнораздели́ть то́лькона 1 и на (само́) э́точисло́.

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ... − составны́чие ́сла

Составно́числое ́мо́жноразложи́тьна просты́мное ́жители.

12 = 2 2 3 = 22 3	360	2
360 = 2 2 2 3 3 5 = 23 32 5	180	2
360 = 2 2 2 3 3 5 = 23 32 5	90	2
	45	3
	15	3
	5	5
	1

О́бщиедели́теличи́сел4, 16, 20: 1, 2 и 4.

Наибо́льшийо́бщийдели́тель− НОД (4; 16; 20) = 4

(max)

2n − чи́сла, кра́тныечислу́2: 2, 4, 6, 8, 10, ...

3n − чи́сла, кра́тныечислу́3: 3, 6, 9, 12, 15, ...

5n − чи́сла, кра́тныечислу́5: 5, 10, 15, 20, 25, ...

О́бщиекра́тныечи́сел3 и 4: 12, 24, 48, ...

Наиме́ньшеео́бщеекра́тное− НОК (3; 4) = 12

(min)

Примеры.

1. Найти́НОД и НОК чи́сел: 120; 144 и 360

Снача́ла э́тичи́слана́до разложи́ть на просты́мное́жители:

120 2	144 2	360 2	360 = 23 32 5
60 2	72 2	180 2	НОД (120; 144; 360) = 23 3 = 24
30 2	36 2	90 2	144 = 24 32
15 3	18 2	45 3	НОК (120; 144; 360) = 24 32 5 = 720
5 5	9 3	15 3	120 = 23 3 5
1	3 3	5 5

2.Найти́НОД чи́сел: 49 и 121

49 = 7 7 = 72 Чи́сла 49 и 121 не име́ют о́бщихмно́жителей.

121 =11 11 =112

49 и 121 - взаи́мно просты́е НОД (49;121)=1

Упражне́ния
1.	Найти наибольший общий делитель чисел:
	а) НОД (42;324)	Ответ:	6
	б) НОД (30;42;66)	Ответ:	6
	в) НОД (108;144)	Ответ:	36
2.	Найти наименьшее общее кратное чисел:
	а) НОК (7;11)	Ответ:	77
	б) НОК (30;84)	Ответ:	420
	в) НОК (150;180; 240)	Ответ:	3600
3.	Найти НОД и НОК чисел:
	а) 324 и 504	Ответ:	36 и 4536
	б) 504 и 540	Ответ:	36 и 7560

§ 7. ДЕ́ЙСТВИЯС ДРОБЯ́МИ

7.1 Основно́свое́йстводро́би

					3				6
	p	=	p t			=					− мо́жночисли́тельи знамена́тельумно́житьна	t ≠ 0
	q		q t	5				10

t ≠ 0,q ≠ 0					8		=			2	− мо́жночисли́тельи знамена́тельраздели́тьна	t ≠ 0

				12					3

											24										24		12	(сократи́тьдробь)
Сократи́тьдробь													( на				2 ):					=		(сократи́тьдробь)

											36									36			18
											36									36			18
													(		на		4 ):				24	=	6
													(		на		4 ):			36		=	9
																				36			9
													(	на			12 ):			24		=	2
НОД (24;36) = 12																				36			3
НОД (24;36) = 12
Упражне́ния
1. Прочита́тьто́льконепра́вильныедро́би:
	1	;	7	;	9	;	4	;	23	;		15	;		12	;		101	;	235
2		;	7	;	8	;	13	;	23	;	14		;	17		;	101		;	148
2			7		8		13		23		14			17			101			148

2.	Записа́тьсме́шанныечи́сла:	13	=?			22	=?			34	=?			118		=?	215	=?
		2			7					5							2
													5
3.	Записа́тьнепра́вильныедро́би: 4			1	= ?			7	2	= ?		1	4		= ?
				8					5				13

4.	Записа́тьси́мволами: 25			− натура́льноечисло́
		(−31) − це́лоечисло́
		3		− рациона́льноечисло́
		8
5.	Сократи́тьдро́би:		12	= ?	25	= ?	12	= ?	32	= ?	105	= ?
5.	Сократи́тьдро́би:	48		= ?	45	= ?	42	= ?	100	= ?	225	= ?
		48			45		42		100		225

6. Отве́тьтена вопро́сы:

а) 25 − э́тодействи́тельноечисло́? (−31) − э́торациона́льноечисло́? (−108) − э́тонатура́льноечисло́?

б) (−3,502) − како́эе́точисло́?

в) Чему́ра́венНОД ( 8; 16; 24 )?

г) Чему́равно́НОК ( 3; 5; 15 )?

7.2			Сложе́ние
1 +		2		= 1			2			1	+	1	=		2	=	1	0,8071
1 +				= 1							+		=			=		0,8071
	5					5				8		8	8				4	3,203
					2				2		4		1					4,0101
12	+ 3				2	= 15			2	1	+	1	=	4 +1			=	5
12	+ 3					= 15				2	+	8	=				=	8
	1		3			1		3		2		8	8					8
11	1		+ 3			1		= 15		( 4 и 1 − дополни́тельныемно́жители;
11	2		+ 3			2		= 15		( 4 и 1 − дополни́тельныемно́жители;
	2					2
3	7		+1			1		= 5			8 − о́бщийзнамена́тель- НОК)
	8					8

	3		5		3		5		3	7	5	5	21 + 25		46		11
1	3	+ 3	5	= 1 +	3	+ 3 +	5	= 4 +	3	+	5	= 4	21 + 25	= 4	46	= 5	11
	5		7		5		7		5		7		35		35		35

7.3		Вычита́ние
	1			1			2		1
1 −	1		=	1			1	−	1	=	2 −1		=	1		3 , 028
1 −	2		=				4	−	8	=		8	=	8		1	, 943
	2		2				4		8			8		8		1	, 943
							3			2						1	, 085
3 −		1	= 2			3	1	− 1		=		3 − 2		=	1	1	, 085
3 −		1	= 2			3	1	− 1		=		3 − 2		=	1
	4				4		2		3			6			6


													2		7
5 −	7	= 4			1				1	1				−	1			=1		2 −7			=		14 + 2 −7					=	9
5 −	8	= 4		8					1	7				−	2			=1		14			=				14			=
	8			8						7					2					14							14			14
7 −	2		= 6		3				4		2		−1			3		= 3	2 − 3				=		2	5 + 2 − 3				= 2		4
7 −	5		= 6	5					4	5			−1		5			= 3					=		2					= 2		5
	5			5						5					5					5							5					5
7 −1		2 =		6 −		2	= 5	3	5			1		−1			1	= 5		2	−	1		3	= 4		8	−1	3	= 3			5
7 −1		2 =		6 −		5	= 5	5	5					−1				= 5		6	−	1	6		= 4		6	−1	6	= 3		6
		5				5		5		3					2					6			6				6		6			6

7.4 Умноже́ниеделе́ниедробе́й


									a				c			=		ac									a	:	c	=	aк
													k			=		bk									b	:	k	=	bс
									b				k					bk									b		k		bс

1								2 1								2					1
1								2 1								2					1							0 ,3 0 5
2					=									=					=
2				8	=		8							=			8		=		4									1 ,2
3 2 10															1 3 2 102										4			6 1 0
										=													=					6 1 0
5		9				13				=					1 5 93 13								=		39			3 0 5
1					1							1 7 15									15					1	0 ,3 6 6 0
3			2					=												=				= 7			0 ,3 6 6 0
3	2		2			7		=			2 71									=		2		= 7		2

	2				3				2		4					8										2,25 : 5 = 0,45
	2	:			3	=			2		4		=			8										2,25 5
5		:	4			=		5			3		=		15											2,25 5
5			4					5			3				15											2 0 0,45
1		: 2						1		:		2			1 1			1								2 0 0,45
						=							=						=							25
	3					=		3				1	=		3 2				=	6						25
2 :			1			=		2		:		1	=		2 3				= 6							25
2 :			3			=		1		:		3	=		1 1				= 6							0
		1	3					1				3			1 1											0
3		1		:1			2			=		7	:	5		=	7 3				=	21	= 2	1	= 2,1	4,2 : 0,6 = 42 : 6 = 7
3		2		:1			3			=		2	:	3		=	2 5				=	10	= 2	10	= 2,1	4,2 : 0,6 = 42 : 6 = 7
		2					3					2		3			2 5					10		10

7.5 Обраще́ние дробе́й

Что́бы де́латьде́йствия, где есть одновреме́ннои обыкнове́нные, и десяти́чные дро́би, необходи́мознать, как обраща́тьодну́дробь в другу́.ю

Обрати́тьобыкнове́ннуюдробь в десяти́чную:


1	=		1	5		=		5	= 0,5		(коне́чная десяти́чнаядробь)								1	: 2 = 0,5
2	=		2	5		=		10	= 0,5		(коне́чная десяти́чнаядробь)								1	: 2 = 0,5
2			2	5				10
1	=		1	2	=			2	= 0,2										1	: 5 = 0,2
5	=		5	2	=			10	= 0,2		3 52		3 52						1	: 5 = 0,2
5			5	2				10
3		=		3			=		3	=		=		=	3 25	=	75	= 0,075	3	: 40 = 0,075
40		=		5	8		=		23	=	23 5 52	=	53 23	=	(10)3	=	1000	= 0,075	3	: 40 = 0,075
40				5	8			5	23		23 5 52		53 23		(10)3		1000

!	a	=	a	=	a		То́лько в э́томслу́чаемо́жнополучи́ть
	10n		(2 5)n		2n	5n

коне́чнуюдесяти́чнуюдробь

Е́слизнамена́тель дро́бине соде́ржитмно́жителей 2 и́ли5 (и́лисоде́ржит други́е, кроме 2 и 5), то при обраще́нииобыкнове́нной дро́бив десяти́чнуюмо́жно получи́тьтолько́ бесконе́чную периоди́ческуюдробь. Для э́тогонеобходи́мо вы́полнитьде́йствиеделе́ние.

1	= 1 : 3 = 0,333… = 0,(3)	1	=		1
3	= 1 : 3 = 0,333… = 0,(3)	6	=	2	3
3		6		2	3
1	≈ 0,3	1	= 1:6 = 0,1666…= 0,1(6)
3	≈ 0,3	6	= 1:6 = 0,1666…= 0,1(6)
3		6
		1	≈0,2 или			1	≈0,17;	1	≈ 0,167
		6	≈0,2 или			6	≈0,17;	6	≈ 0,167
		6				6		6

7	=	7	→	7		= 7:12 = 0,58333… = 0,58(3)
12		22 3		12

2	=	2	→		2	= 2:35 = 0,057142857…= 0,0(571428)
35		5 7		35

Приближе́нные чи́сла получа́ютсяв результа́те измере́ния, деле́ния, округле́ния.

Обрати́тьдесяти́чнуюдробь в обыкнове́нную:

0,3 =	3						0,(3) =	3		=			1
0,3 =							0,(3) =			=		3
10							9					3
0,07 =		7					0,(25) =		25
0,07 =							0,(25) =
100							99
0,025 =		25		=	1		1,2(5) = 1			25 − 2				= 1		23
0,025 =		1000		=			1,2(5) = 1					90		= 1	90
		1000		40								90			90
3,05 = 3			5	= 3	1		3,41(6) = 3				416 −41				= 3		375	= 3	5
3,05 = 3		100		= 3	20		3,41(6) = 3								= 3			= 3	12
		100			20							900			900				12
Округле́ние чи́сел
Округли́ть с то́чностьюдо 0,1:
3,28 ≈ 3,3						51,23 ≈ 51,2								3,15 ≈ 3,2
(8 > 5)						(3 < 5)								3,4501 ≈ 3,5
Округли́ть с то́чностьюдо 0,01:
12,307 ≈ 3,31						0,622 ≈ 0,62								5,035 ≈ 5,04
Округли́ть с то́чностьюдо 1:
105,701 ≈ 106						25,1 ≈ 25								207,5042 ≈ 208

7.6 Поря́докде́йствий

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

28 : 2 − 3 4 + 15 : 3 = 14 − 12 + 5 = 7

Правило 1: 1) умноже́ниеделе́ние(сле́ванапра́во); (нет ско́бок) 2) сложе́ниевычита́ние(сле́ванапра́во)

(4) (3) (2) (1) (5)

15 − 2 (7 − 9 : 3) + 6 = 15 − 2 (7 − 3) + 6 = = 15 −2 4 + 6 =15 − 8 + 6 = 13

Пра́вило2: 1) де́латьв ско́бкахпо пра́вилу1; (есть ско́бки) 2) де́латьза ско́бкамипо пра́вилу1.

(9)		(7)		(6) (3) (1)	(4)	(2)
a +		−	c + d − e f		+ g	: k
a +	b	−	c + d − e f		+ g	: k

Пример. Вы́полнитьде́йствия:

(5)	(8)
	m	+		=...
	m	+	n	=...

		(1)		(4)	(6)		(2)		(5)	(3)	(7)	(8)
			47			6		17					19

7
		−		:1,25 +			−		: (0,358	−	0,108) 1,6	−		=	1	→ отве́т
	9		72			7		28					25

Решение.

1)79 − 4772 = 5672− 47 = 729 = 18

2)76 − 1728 = 2428−17 = 287 = 14

3)_ 0,358

			0,108

			0,250
4)	1	: 1,25 =		1	: 1		1		=	1 4	=	1	= 0,1	или	0,125 : 1,25 = 12,5 : 125 = 0,1
4)	8	: 1,25 =		8	: 1				=	8 5	=	10	= 0,1	или	0,125 : 1,25 = 12,5 : 125 = 0,1
	8			8		4				8 5		10
5)	1	: 0,25 =		1	:	1		= 1			или		0,25 : 0,25 = 1
5)	4	: 0,25 =		4	:	4		= 1			или		0,25 : 0,25 = 1
	4			4		4

6)	0,1 +1	= 1,1							7) 1,6 ×1,1 = 1,76
8)	1,76 −		19	= 1,76	− 0,76	= 1	или	1		19	−	19	= 1
		25							25			25

При выполне́нииде́йствийдробя́мива́жнопонима́,тькако́й результа́́(тот́чный(=) и́ли приближе́нный(≈)) на́дополучи́,тьчто́быпра́вильновы́брать, каку́юиспо́льзоватьдробь (обыкнове́ннуюи́лидесяти́чную). Э́тозави́ситот усло́виязада́чи.

Упражне́ния

1. Сократи́тьдро́би:

21	=?	28	= ?	77	= ?	126	= ?
66		42		462		210

2.Обрати́ть десяти́чные дро́бив обыкнове́нные (записа́ть в ви́де обыкнове́нных дробе́):й

0,07 = ?

3,42 = ?

102,35 = ?

23,102 = ?

3.Обрати́ть обыкнове́нные дро́бив десяти́чные(записа́ть в ви́де десяти́чных дробе́й):

4	= ?	3	= ?	5	7	= ?	3	7	= ?	3	= ?	2	= ?	5	= ?
5		4			10			20		40		7		6

4. Вы́полнитьде́йствия:

а)					3 +					1		= ?					б)				1 −			3	= ?
										8														8
		2 1 +								1		= ?							7 −4					1	= ?
					2					2														2
7			1		+		4			1		= ?		Отве́: т11		7			17			−		5	= ?
		12								2					12				18					9
15				3	+		3			1		= ?		Отве́: т18	14		7		13 −6 3							= ?
				5						3					15				16					4
1		1		+ 2				3				= ?		Отве́: т 3	11		3		1		−	1		5		= ?
1		4		+ 2			10					= ?		Отве́: т 3	20		3	18			−	1		24		= ?
		4					10								20			18						24
в)					2		×			4		= ?					г)		6				:	3	= ?
					3					5									7					8
					5		×4 = ?												15					:5 = ?
					8					6									16					1
		22 ×								6			= ?						3 :					1	= ?
		22 ×						11					= ?						3 :					6	= ?
								11																6
	7			×		5			×		2		= ?	Отве́: т	1				10 1				:2 2			= ?
10				×	49				×		3		= ?	Отве́: т	21				10 1				:2 2			= ?
10					49						3				21				3					3
				1	2 ×1						1		= ?	Отве́т: 1	17					4			:0,2 = ?
				1	2 ×1						4		= ?	Отве́т: 1	28				25				:0,2 = ?
					7						4				28				25
					1,2×						2		= ?	Отве́: т	4				3 : 0,375 = ?
											3				5				8

Отве́: т 187

Отве́т: 1161 Отве́: т1 7261

Отве́т: 2 72

Отве́: т 163

Отве́: т 18

Отве́: т3 78 Отве́: т 45

Отве́т: 1

5. Вы́числить:

а)	1,5 − 3 3													×0,2
		1							4																			1
б)	3	1		×0,3 +12: 0,4																				×				1
б)	3			×0,3 +12: 0,4																				×			4
	3						3										3										4
в)	( 57						3	+ 1									3		− 0,125 ) : 0,59
в)	( 57					8		+ 1						4					− 0,125 ) : 0,59
						8								4
г) 10 −3									3				× ( 2							1			+	1			2 ):1 5
									4											3							5						9
д)	7		1			: 2				1			× 3							2			−	5				1			×		1				3		×			5
			1							1										2								1									3					13
									2											3							5									8						13
	2								2											3							5									8
ж)	(7− 1								4						× 3						5		+	3					1		×				3					):	2			−		2
ж)	(7− 1								23						× 3								+	3							×		19							):	3			−	3
									23											6							6						19								3				3
з)	( 156,6 : 18 − 8,6 ) × 100 : 0,1 − 99
к)		3				×1					3			: (7								1	×		1						−			3				)		−3			1		: 4		2
к)	16					×1								: (7									×	10							−							)		−3					: 4		3
	16								5											2				10									5								2						3
л)	( 2					1			: 1							2		+ 1,75) : 1														1				− 0,25
л)	( 2				12				: 1					3				+ 1,75) : 1																		− 0,25
					12									3																	3
м)	(0,8 ×											3		+ 0,26 :												1				) :			3			+ 4					1
м)	(0,8 ×													+ 0,26 :																) :			8			+ 4					3
									5															2									8								3

н)	(204,12 : 40,5 − 3,2×1,2)×6																1	+ 7: 2	1
																	2		3
п)	(9	3	−1,24): 2						1	+(			3	+ 2	5	): 0,625
п)	(9		−1,24): 2						3	+(		4		+ 2	8	): 0,625
	20								3			4			8
р)	( 5,05 :				1		−2,8 ×			5 ) × 3 + 16 × 0,1875
р)	( 5,05 :						−2,8 ×			5 ) × 3 + 16 × 0,1875
	40									6
с)	0,2 × ( 6,2:0,31 −										5	× 0,9 )
с)	0,2 × ( 6,2:0,31 −									6		× 0,9 )
				4						6
	2 +1			4			× 0,22 : 0,1
	2 +1						× 0,22 : 0,1
	11
т)	20 : 2		2			+ 25		5	:	2		2
	15							7				35
	20 7 : 4 2							−	5
	9						5		9

Отве́т: 0,75

Отве́т: 8,5

Отве́: т 100

Отве́: т 1

Отве́: т 8 14

Отве́: т 3 56

Отве́: т 1

Отве́: т 1 14

Отве́: т 2

Отве́: т 7

Отве́: т10 45

Отве́: т8,79

Отве́: т602

Отве́: т0,77

Отве́: т 5 14

§ 8. ПРОПО́РЦИИ. ПРОЦЕ́НТЫ

8.1 Пропо́рции

!Определе́ние. Пропо́рция– э́тора́венстводвух отноше́ний.

15 : 3 = 20 : 4 - э́то пропо́рция

5 = 5

Приме́ры ве́рных(пра́вильных) пропо́рций:

12 : 6 = 30 : 15	3 : 6 = 4 : 8				2 :	1	= 3 : 0,3
						5
		1		1
2 = 2			=		10 = 10
	2			2

(пропо́рции верны́по определе́нию)

кра́йние чле́ны

		a		c	,	где b ≠ 0, d ≠ 0
a : b = с : d	и́ли		=
		b		d

сре́дние чле́ны

! Основно́е сво́йство(ве́рной) пропо́рции:

произведе́ние кра́йнихчле́новпропо́рции равно́́произведе́ниюсре́дних

чле́новпропо́рции.

a : b = с : d

a × d = b × c

Приме́р.

15 : 3 = 20

: 4

15 × 4 = 3 × 20

60 = 60

x : b = c : d x × d = b × c

xc = ad

неизве́стный

x =

неизве́стный

x =

кра́йнийчлен

сре́днийчлен

<<< < Предыдущая 1 23 / 143 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]