Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Примеры. Построить графики функций:

	y =		2		y =−
	y =		x		y =−

x	y
				y		y
– 4	– 0,5			y		y
				I	II
– 2	– 1			I	II

– 1	– 2
				0	x	0
– 0,5	– 4			0	x	0

0,5	4
		III
1	2	III
		х = 0		─ вертикальная асимптота
2	1	х = 0		─ вертикальная асимптота
		у = 0		─ горизонтальная асимптота
4	0,5	у = 0		─ горизонтальная асимптота
		Точка О( 0; 0 )			─ центр гиперболы
		Точка О( 0; 0 )			─ центр гиперболы

Общий вид дробно-линейной функции:	y = ax +b
		cx +d

cx + d ≠ 0

Если выделить целую часть дроби, то можно функцию представить в

виде:

y =

+ y

О′ ( – х 0 ; у0 ) ─ центр гиперболы

x + x0

y =

х = – х0 ─ вертикальная асимптота

(сначала надо построить этот график)

у = у0

─ горизонтальная асимптота

Пример. Построить график функции:

y =

x + 3

x ≠ – 1

x + 1

x + 3

( x +1) + 2

y =

+ 1

x + 1

y =

x + 3

x + 1

x +1

О′ ( – 1 ; 1) ─ центр гиперболы

О′(-1;

у = 1

х = – 1

─ вертикальная асимптота

у = 1

─ горизонтальная асимптота

y =

х = –1

§ 11. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ

Общий вид показательной функции:

y = a x

> 0, a ≠ 1

D ( y ) = R

E ( y ) = R +

–2

–1

График функции всегда проходит

y = 2x

через точку А (0; 1) , так как при

1 x

х = 0 значение функции у = а 0 = 1.

y =

Функция общего вида .

+ ∞

+ ∞ у

y =2x

y = (

)

( a =2 >1)

(0 < a < 1)

• А(0;1)

•

А(0;1)

– ∞

+ ∞

Функция монотонно

возрастает

убывает

Общий вид логарифмической функции:

y =loga

a > 0, a ≠ 1

D ( y ) = R +

E ( y ) = R

x				1		1	1	2	4
				4		2

y =log2		x	–2		–1		0	1	2

y =log1		x	2		1		0	–1	–2
	2

y		+ ∞

График функции всегда проходит через точку А (1; 0) , так как при х = 1 значение функции у = 0. Функция общего вида .

y + ∞

y =log2

y =log 1

a >1

0< a <1

A(1;0)

•

A(1;0)

+ ∞

- ∞

+ ∞

- ∞

Функция монотонно возрастает

Функция монотонно убывает

Показателбная и логарифмическая функции взаимно обратные.

§ 12. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

При решении показательных и логарифмических неравенств необходимо помнить свойства аналогичных функций и определения возрастания и убывания функции на интервале.

Общий вид показательного неравенства:

a f ( x ) > a g( x )

(или меньше).

a > 1

функция возрастает f ( x ) > g (x) ─ знак неравенства

не менять !

0 < a

< 1 функция убывает

f ( x ) < g (x ) ─ знак неравенства

изменить !!!

Аналогично решаем логарифмические неравенства.

Примеры.

23 x +7

< 22 x −1

ОДЗ: x Є R

a = 2 > 1 3x + 7 < 2x – 1

x < – 8

Ответ: x Є ( – ∞; – 8 )

(

)2 x −1 < (

ОДЗ:

x Є R

a =

<1 2x – 1 > x

x > 1

Ответ: x Є ( 1; + ∞ )

log2 ( x +5 ) < 3

ОДЗ:

х + 5 > 0 x > – 5

a = 2 > 1

log2 ( x +5) < 3log2 2

log2 ( x +5) < log2 23

х + 5 < 23 x < 3

– ∞

– 5

+ ∞

Ответ: x Є ( – 5; 3 )

Упражнения 1. Построить графики функций:

y = −3 x

= (x + 3 )2 − 5

y = x

= − ( x − 1 ) 2 + 3

y = ± x

y =

= x 2 − 4 x + 5

y = 3 x

y = − x 2 + 4

y = x 2 − 4 x + 8

= x 2 − 2 x + 5

y = log3 x

y = −

y = 3x

y = log 1 x

y =

x +1

y = (

y =log2 ( x −3 ) + 2

x − 1

Найти область определения функции:

y =

x − x2

Ответ:

x Є [ 0; 1 ) U ( 1; 3 ]

− 1

Решить неравенства:

а)	x 2 − x − 20 < 0
б)	− x 2 + 2x −5 < 0

в)	(0,04)5 x − x 2 − 8 ≤ 625
г)	lg ( x + 1 ) > lg ( 5 – x )
д)	log 5( 3 − x ) < −1

Ответ: x Є ( – 4; 5 )

Ответ: x Є R

Ответ: x Є [ 2; 3]

Ответ: x Є ( 2; 5 )

Ответ: x Є ( 2,8 ; 3 )

ГЛАВА III

ЭЛЕМЕНТЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

§ 1. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЙ УГЛА И ДУГИ

→

AB – вектор (→ – направление)

А– начало вектора

В– конец вектора АВ – длина вектора

y А(х;у)

O x

ОА - радиусвектор (подвижный радиус)

Координа́тыто́чкиА явля́ются прое́кциямира́диуса-ве́ктора на о́сикоордина́. т

Любой угол можно рассматривать как фигуру, которая образована вращением луча вокруг своей начальной точки.

Луч описывает угол, а точка (кроме начальной) описывает дугу окружности. Луч можно вращать вокруг начальной точки в двух направлениях: по часовой стрелке (отрицательные углы) и против часовой стрелки (положительные углы).

За единицу измерения угла принимаем угол в 1 градус (1°), за измерение дуги – дугу в 1 градус (угловые и дуговые градусы).

Угол, который образован двумя радиусами данной окружности –

центральный.

1° – один градус – это центральный угол, которому соответствует дуга,

равная 3601 части окружности.

1 радиан – это центральный угол, которому соответствует дуга, равная по длине радиусу.

Полный угол содержит 360° или 2π радиан.

Градусы	30 °	45 °	60 °	90 °	180 °	270 °		360 °

Радианы	π	π	π	π	π		3π	2π
	6	4	3	2			2

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ УГЛА

y
	А(x;y)	Угол α образован радиусом ОВ и
о	α	подвижным радиусом ОА.
о	α
	В x

Определения.

1.Синус угла α – это отношение ординаты конца подвижного радиуса к

длине этого радиуса:

sin α = ry

2.Косинус угла α – это отношение абсциссы конца подвижного радиуса

к длине этого радиуса:

cosα = xr

3. Тангенс угла α - это отношение синуса угла к косинусу этого угла:

tg α = sin α cos α

4. Котангенс угла α - это отношение косинуса угла к синусу этого угла:

ctg α = cossinαα

5.	Секанс угла α – это величина, обратная cos α :	secα =		1
5.	Секанс угла α – это величина, обратная cos α :	secα =	cosα
			cosα
6.	Косеканс угла α – это величина, обратная sin α:	cosec α =		1
				1
				sinα
				sinα

Замечания

1.Значения тригометрических функций не зависят от длинны радиусавектора.

Из определения tg α и ctg α следует, что

tgα

secα =

ctgα =

cosecα =

Если

= 1 (единичная окружность), то формулы можно записать так:

sinα = y

tgα = x

secα = x

cosα = x

ctgα =

cosecα =

§ 3. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Из определения тригонометрических функций следует, что они имеют следующие знаки (в зависимости от четверти, в которой оканчивается угол

α):

( смотри Замечания – пункт 3 )

–

III

cosα

III

tgα

sinα

cos ecα

secα

ctgα

Чётность и нечётность тригонометрических функций

sin (–α) = – sin α	tg (–α) = – tg α	sec (–α) =	sec α
cos (–α) = cos α	ctg (–α) = – ctg α	cosec (–α) =	– coseс α

§ 4. ЗНАЧЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ НЕКОТОРЫХ ОСНОВНЫХ УГЛОВ

α	0			π			π	π	π	π	3π		π
				π									π
Функции			6			4		3	2		2		2
			6			4		3	2		2

sin α	0				1	2		3	1	0	−1		0
			2
						2		2
						2		2
cos α	1		3			2		1	0	−1	0		1
								2
			2			2
			2			2
tg α	0			3		1		3	―	0	―		0
tg α	0		3			1		3	―	0	―		0
			3
ctg α	―		3			1		3	0	―	0		―
ctg α	―		3			1		3	0	―	0		―
								3
Примеры.
1. Углом какой четверти является угол, равный:
а) α=73°		б) α=94°				в) α=327°			г) α= − 98°		д) α= 405°
(I)		(II)					(IV)		(III)			(I)
2. Углом какой четверти является угол α, у которого:
а) sin α < 0,		а cos α > 0 ?					― (IV)
б) tg α < 0	и cos α < 0 ?						― (II)

3. Найти значения тригонометрических функции угла α = −π3

				π						π	= −	3			π			= −ctg			π	= −		3
sin −				3			= −sin				= −	2	ctg −		3			= −ctg			3	= −		3
				3						3		2			3						3			3
				π					π		1				π					π
cos		−					= cos			=			sec	−		3		= sec		3		= 2
cos		−			3		= cos		3	=	2		sec	−				= sec				= 2
					3				3		2
	−		π			= −tg		π	= −		3					−	π						π	= −	2
tg	−		3			= −tg		3	= −		3		cos ec			−	3		= −cos ec				3	= −	2
			3					3									3						3		2

4. Установить чётность (или нечётность) функции

f ( x) = tgx ctg2x − 2cos x cos 2x

f (−x) =		tg (−x) ctg(−2x)−2cos(−x)			=
		cos(−2x)
=	−tgx (−ctg2x)−2cosx		=	tgx ctg2x−2cos x		= f (x)
		cos2x
					cos2x

f (−x) = f ( x) −чётная функция

§ 5. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла

sin 2 α + cos2 α = 1

tgα =	sinα		,	где cosα ≠ 0	α ≠	π	+ kπ (k = 0,±1,± 2,...)
	cosα					2

ctgα =		cosα	,	где sinα ≠ 0	α ≠ kπ (k = 0,±1,± 2,...)
		sinα

secα =

где cosα ≠ 0

α ≠

+ kπ (k = 0,

±1,± 2,...)

cosα

cos ecα =

где sinα ≠ 0

α ≠ kπ (k = 0,±1,± 2,...)

sinα

tgα =

u ctgα =

tgα ctgα =1

ctgα

tgα

(sinα ≠ 0, cosα ≠ 0 )

1 + ctg2α = cosec2α

(sinα ≠ 0 )

1 + tg2α = sec2 α

(cosα ≠ 0 )

Примеры

1. Могут ли sinα и cosα одного и того же угла α быть равными:

sin α =	1	и cos α= −	2	?	1	2			2	2	не могут, так как
					3		+	−	3	≠ 1
	3		3

sin2 α +cos2 α =1

2. Упростить:

cos4 α (1 +tg2 α) +sin2 α =

=cos4 α sec2 α +sin2 α =

=cos4 α cos12 α +sin2 α =

=cos2 α +sin2 α =1

(α ≠	π	+ kπ, k ≠ 0, ±1, ± 2,... , так	как tgα =	sinα	, где cosα ≠ 0)
	2			cosα

3. Доказать тождество:

tgα

ctg2α −1

= 1

1 − tg 2α

ctgα

−sin

cos

sinα

sin

α −sin

cosα

cos

cosα

cos

sinα cosα

(cos2 α −sin2 α)

1= 1

(cos2 α −sin2 α)

sinα cosα

Упражнения

1. Упростить:

sinα cos2 α(1 + tg 2α) +cosα sin2 α(1 + ctg2α)

									Ответ: sinα +cosα,						α ≠	kπ	, k = 0, ±1, ± 2,..
									Ответ: sinα +cosα,						α ≠		, k = 0, ±1, ± 2,..
															2			3
2.	Вычислить sin α,				tg α, ctg α, если известно, что										cos α = −			3
2.	Вычислить sin α,				tg α, ctg α, если известно, что										cos α = −			5
	и 180° < α < 270°																	5
	и 180° < α < 270°										4		4		3
									Ответ:	−	4	,	4	,	3
									Ответ:	−		,	3	,	4
3.	Докажите тождество:									5			3		4
3.	Докажите тождество:
	sin2 α +tg2α =			1		−	1
	sin2 α +tg2α =			2	α	−	2	α
			cos		α		sec	α
4.	Установить чётность функции:
	y =	2sin 3x − tg3 x							Ответ:	функция нечётная
	y =	cos x							Ответ:	функция нечётная
		cos x

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]