Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Упражнения

1. Решить квадратные уравнения:

а)

6x2 + x −1 = 0

Ответ :

1 1

−

;

б)

3x2 −7x +4 = 0

Ответ :

1; 1

в)

3x2 −14x −80 = 0

Ответ :

−

; 8

г)

x 2 + 8x −105 = 0

Ответ :

{−15; 7}

д)

5x 2 − 2x + 7 = 0

Ответ:

{Ø}

2. Решить квадратные уравнения с помощью теоремы Виета:

а)	x2 − x −12 = 0
б)	x2 + 4x − 5 = 0
в)	x2	+ 5x + 4 = 0
г)	x2	− 3x −10 = 0

3. Составить квадратные уравнения, если:

а)	x1 = −2,	x2 = −1
б)	x1 = −1,	x2 = 7
в)	x1 = 2 + 5,	x2 = 2 − 5

4. Разложить на множители:

а)	x 2 + 4x − 21
б)	2x 2	+13x +18
в)	6x 2	+ x −1

Ответ: {−3; 4}

Ответ: {−5; 1}

Ответ: {−4; −1}

Ответ : {−2; 5 }

Ответ : x2 +3x +2 = 0

Ответ : x 2 −6x − 7 = 0

Ответ : x 2 − 4x −1 = 0

Ответ : (x − 3)(x + 7)

Ответ : (2x + 9)(x + 2)

Ответ: (3x −1)(2x +1)

5. Сократить дроби:


а)		y2	−5 y − 36
			81 − y2
б)	b2		−8b +15
г)		b2 − 25
г)		2 x 2 − 7 x + 3
			9 − x 2
д)		6 x2 + x − 1
		1 + 4 x + 4 x2

6. Решить уравнения:

а)		x	+	1		=			7
	x	2		2x − x	2		x	2	+ 2x
		−4

б)

3x − 3

2(x2 + 4)

x −1

2( x +1)

x2 −1

в)

−

x +5

5 − x

x2 −25

г)

−

− 25

− 10x

+ 5x

д)

x + 1

−

+ 1

x − 2

x + 2

x2 − 4

ж)

x + 3

6 − x

x + 5

− x

1 −

x +

з)

х4

+ 21 х2

− 100 = 0

Ответ : − y + 4 y + 9

Ответ : b − 3 b + 5

Ответ : 1 − 2x x + 3

Ответ : 3x −1 2x + 1

Ответ: {6}

Ответ : {3 }

Ответ : {0; 2,5 }

Ответ: {−1,5}

Ответ: {Ø}

Ответ : {2;4 }

Ответ: {− 2; 2}

3.5 ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение. Уравнение называется показательным, если неизвестная величина находится в показателе степени.

Методы решения: 1) уравнивание показателей степеней одинаковых оснований;

2) введение новой переменной.

Примеры.

1) 5x −6	= 515 −2 x		ОДЗ: x Є R	Проверка.
x − 6 = 15 − 2x				57−6 = 515 −2×7
3x = 21				5 = 5 − верное числовое
x = 7 Є ОДЗ					равенство
		Ответ: {7 }
Примеры	№ 2), 3), 4)
проверьте самостоятельно !
				3) 49x	= (	1	)x 2
				3) 49x	= (	7	)x 2
				(72 )x = (7−1 )x 2
2) 3x	= 27			72 x	= 7−x 2
2) 3x	= 27			2x	= − x2
3x	=	33		2x	= − x2
3x	=	33		x2 + 2x = 0
x	=	3		x2 + 2x = 0
x	=	3		x ( x +2) = 0
				x ( x +2) = 0
				x = 0 или x = − 2
4) 7 x +2 + 4 ×7 x−1			= 347
7 x −1 ( 73		+ 4 )	= 347
7 x −1 × 347			= 347
7 x −1 = 1 7 x −1 = 70
			x − 1= 0 x = 1
			63

5) 4x + 2x − 6 = 0
( 22 )x + 2x − 6 = 0	2x = 2	или 2x = − 3
( 2 x )2 + 2x − 6 = 0	x = 1	(нет решения,
Пусть 2x = t t 2 + t − 6 = 0		так как 2x > 0 x)

t =−3 или t = 2	Ответ : {1	}
(по теореме Виета )

Упражнения

Решить показательные уравнения:

а) 23 x2 + 3 = 210 x
б)	102 x		= 0,1		1000
	1 4			3 x−1		−	2

в)		9			= 27 3
	27
г)	( 0,2 )		x − 0,5		= 5 0,04x − 1
			5
г)	4 x+1	+ 4 x			= 320
д)	2x = 3x

ж) 4 x + 2 x +1 − 24 = 0

Ответ : {13 ;3 }

Ответ : {14 }

Ответ : {1 }

Ответ : {3 }

Ответ : {0 }

Ответ : {2 }

3.6 ЛОГАРИФМЫ. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

a x

= Ν

x = loga Ν

aloga Ν = Ν

a > 0

( основное логарифмическое

a ≠ 1

Ν > 0

тождество)

Определение.

Логарифмом числа N по основанию а называется

число x

такое, что

a x = Ν .

log

2 8 = 6,

так как

= 8

−3

= 2

3 = log2 8

= 8

log

= −3

2 8

= 3

x = 6

2log2 8

= 8

log5

5 = 1

loga a = 1

3log3 9

= 9

log10 10 = 1

(основное логарифмическое

тождество)

log2 1 = 0, так как 20 =1

loga 1 = 0

log5 1 = 0

Свойства логарифмов

log

N =

log N a

loga (Ν1 Ν2 )= loga Ν1 + loga Ν2

log a Νm = m log a Ν

log

−log

log

m Ν =

log

= log

Ν2

log

n N =

log

N n = log

Логарифмы по различным основаниям

loga b

a − произвольное основание

(a > 0, a ≠ 1)

log10 b = lg b ( а = 10 − десятичный логарифм)

lg10 = 1

ln e = 1

loge b = ln b ( е ≈ 2,7 − натуральный логарифм)

е = 2,718281828459045…

loga Ν =

logb Ν

или loga Ν =

logb Ν

log2

3 =

lg 3

≈

0.4771

≈ 1.585

logb a

lg 2

0.3010

Логарифмирование и потенцирование

Прологарифмировать по основанию « а » :

x =	132	3	140	loga x =	loga	132 3 140
	5 67		98			5 67	98

loga x = loga (132 3 140)−loga 5 67 98

loga x = 2loga 13 + 13 loga 140 − 15 loga 67 − 15 loga 98

Потенцированием найти х, если:

loga x = 2loga 10 − 12 loga 7 − 3loga 3 + 13 loga 19

loga x = loga	102 3 19		x =	100 3	19
	7	33		27	7

Примеры. Вычислить: а)

log 2 1 = 0									log2 32 = 5															log3	1	= −2							lg 0,01 = −2										lg1000 = 3
																									1
																									9
20	= 1							25 = 32																3−2 =		1	=		1				10−2 =			1			=0,01			103			=1000
20	= 1							25 = 32																3−2 =		2	=		9				10−2 =			2			=0,01			103			=1000
																						3													10
																						3													10
б)	log6 2 + log6 3											= log6 ( 2×3 ) = log6 6 = 1
в)	log3 7				− log3					7		= log3									7 27			= log3 27 = 3
в)	log3 7				− log3					27		= log3									7			= log3 27 = 3
г)	10lg 3 − lg 2								= 10lg 3 2 =								3			= 1,5
г)	10lg 3 − lg 2								= 10lg 3 2 =								2			= 1,5
д) 10−lg 4 = 10lg 4−1 = 4−1 =																							1
д) 10−lg 4 = 10lg 4−1 = 4−1 =																							4
ж)	101 + lg 8							= 10 10lg 8 = 10 8 = 80
Выразить в виде логарифма по основанию « 2 » :
		log			4	a + log							8	3						a		+ log 1						2	a				a +		1					=
					4								8															2						log a 8
= log					2	2		a + log						2				3 a13 + log											2	−1		a3 2 + log								2	3 a =
					2									2															2											2
=		1	log 2 a +									1			1					log2 a −								3	log 2 a +								1	log 2 a =
=		2	log 2 a +									3			3					log2 a −								2	log 2 a +								3	log 2 a =
= (			1	+			1		− 1		1	+				1			) log 2 a = −												5		log 2 a = log 2									(		1	)
= (			2	+			9		− 1		2	+				3			) log 2 a = −												9		log 2 a = log 2									(	9	5	)
																																												a

Определить « x » (икс) :

x = 49 x = (7

1	− log 7 2 + 5 − log 5 4
2	)1 − log 7 2 +	1
	)1 − log 7 2 +	log 5 4
	5

x =	72 − 2 log 7 2					+		1
x =	72 − 2 log 7 2					+		4
x =		72		+	1		x =		49	+	1	= 50	= 12,5
x =	7	log	4	+	4		x =		49	+		= 50	= 12,5
	7	7			4				4	4		4

Логарифмические уравнения

Определение. Если неизвестная величина находится под знаком логарифма или в основании логарифма, то уравнение называется логарифмическим.

loga x = b x = ab

ОДЗ: x > 0 a > 0 a ≠ 1

Примеры.

1) log3 x = 2 ОДЗ : x > 0 x = 32 = 9 ОДЗ Ответ : {9 }

2) log 2(3 − x)= 0 ОДЗ: 3 − x >0 3 − x = 20

3 − x =1 x = 2 ОДЗ Ответ: {2}

3) log x 8				= 3	ОДЗ : x > 0
x3	= 8					x ≠ 1
x	= 2 ОДЗ
Ответ : {2 }
4) log x 3 −log x 5 = 2						ОДЗ: x >0
log		x	3	= 2		x ≠ 1
		x	5
x2		=	3
			5
x1 =				0,6	ОДЗ
x2		= −		0,6	ОДЗ
Ответ : {					0,6 }

Упражнения 1. Вычислить:

а)

log

log2 2

log

3log3 9

Ответы: {−1}

{

}

{3 }

{6 }

б)

log

2 3

Ответ:

{729 }

в)

log2 3 + log2

Ответ:

{2 }

г)

log5 100 − log5 4

Ответ:

{2 }

д)

lg40 + lg 25

Ответ:

{3 }

Найти число « в » ,

если :

а)

log3 в = 2

log

в = − 1

lg в = − 2

Ответы:

{9 }

{2 }

{0,01}

Прологарифмировать по основанию 10 ( а > 0,

b > 0 ):

3 a2b ;	a 3 b
	a

4.Потенцированием найти « x »

a)lg x = lg 24 − lg 1,5 − 3 lg 2 б) lg x = 13 ( lg 72 + lg 3 )

5.Решить уравнения:

;3 5

(икс) :

a a

Ответ:	{2 }
Ответ:	{6 }

а)	lg x = 2 − lg 5	Ответ: {20}
б)	log5 (2 − x)= 0	Ответ: {1}
в)	lg(3x +1)= lg 2x	Ответ:	Ø
г)	log x ( x + 6 ) = 2	Ответ:	{3 }

§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД

							МНОЖЕСТВАМИ. НЕРАВЕНСТВА
4.1 Сравнение чисел
	а и в												а = в	или			а < в,			или а > в
Примеры.
		9 > 3									+ 5 > 0					5 > − 2					− 3 > − 10
		3 < 5									− 2 < 0				− 9 < + 1						− 9 < − 2
	1	<		2										0, 3		<	0, 7
3		<	3
3			3
1			1			3					2			0, 3		>	0, 07		( 0.30 > 0, 07 )
		>				(			>				)
	2	>	3			(		6	>			6	)	10	2	<	10	3	(100 < 1000 )
	3	>			2	(	21			> 1035 )				10		<	10		(100 < 1000 )
	3				2		21							10−2		>10−3 (			1	>	1	или 0, 01 > 0, 001,
	5				7		35												1		1
	5				7		35												102		103
																						или 0,010 > 0, 001)
a = 1, 2 ( 37 )												1, 23 < a < 1, 24					( с точностью до 0,01)
						( c недостатком )									( с избытком )

4.2 Числовые неравенства

Определение.

а> в , если ( а − в ) − положительное число;

а< в , если ( а − в ) − отрицательное число.

Некоторые свойства числовых неравенств:

1.любое положительное число больше 0 ;

2.любое отрицательное число меньше 0 ;

3.любое положительное число больше любого отрицательного числа;

4.из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 147 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]