Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2.2 Действия с одночленами и многочленами

a ; 3a 2 ;

− x 3 y ;

1 a 2 bc 3

– одночлены

коэффициент (числовой множитель)

−

– подобные члены

2b2 +3b2 =5b2

- приведение подобных членов

−5x

= −4

(+ 3a)+(− 2b)−(− 3ax2 )

= 3a −2b + 3ax2 – многочлен

( алгебраическая

сумма одночленов )

Примеры.

Раскрыть скобки, привести подобные члены:

1)3а – 2b + ( x – a + 2b) = 3a - 2b + x – a + 2b = 2a + x

2)(5a2 −x+b2 )−(3a2 +2x+b2 ) =5a2 − x +b2 −3a2 −2x−b2 =2a2 −3x

Выполнить действия:

1)(a + b) c =ac +bc

2)2ab(a2 −ab +b2 )=2a3b − 2a2b2 + 2ab3

3)(a +b)(2a −b)= 2a2 −ab + 2ab −b2 =2a2 +ab − b2

4)(a −b)(a2 +ab +b2 )= a3 +a2b +ab2 −a2b −ab2 −b3 = a3 − b3

5)(a +b): c = ac + bc = a +c b

6)	(2a2 −3a4 ): (−a)=	2a2	−	3a4	= −2a + 3a3 = 3a3 − 2a
		−a		−a

2.3 Формулы сокращенного умножения

(a +b)2 = a2 + 2ab +b2

(a −b)2 = a2 −2ab + b2

(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3

(a −b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 −b3 a2 −b2 = (a −b)(a +b)

a3 +b3 = (a +b)(a2 −ab +b2 )

a3 −b3 = (a −b)(a2 +ab +b2 )

Примеры.

–квадрат суммы двух чисел

–квадрат разности двух чисел

–куб суммы двух чисел

–куб разности двух чисел

–разность квадратов двух чисел

–сумма кубов двух чисел

–разность кубов двух чисел

1) (2a−3b)2 =(2a)2 −2 (2a)(3b)+(3b)2 =4 a2 −12ab+9b2

2) (a − 13 b)3 =(a)3 −3(a)2 (13 b)+3(a)(13 b)2 −(13 b)3 = a3 −a2b+13 ab2 − 271 b3

3)(xy+a) (xy−a)=(xy)2 −a2 =x2 y2 −a2

4)(12 a − b3 )(12 a + b3 )=14 a2 −b6

5)(c−1) (c2 +c+1)=c3 −1

2.4 Разложение многочленов на множители

а) Вынесение общего множителя (за скобки)

ab + ac = a ( b + c ) ab – a = a( b–1 )

( a + b )y – ( a + b )x = ( a + b )( y – x ) ( x + y )+a( x + y) = (x + y )( a + 1 )

a – общий одночлен

( a + b ) – общий многочлен ( x + y ) – общий многочлен

б) Группировка:

ab – a y+ bx –xy = a (b–y ) + x( b–y ) = ( b – y ) (a + x )

в) Использование формул сокращенного умножения:

a2 −6a +9 = (a −3)2 = (a −3)(a −3);

c3 −3c2 +3c −1 = (c −1)3 = (c −1)(c −1)(c −1); x3 − y3 = (x − y)(x2 + xy + y2 )

Примеры.

Разложить на множители:

1)6a3 −21a2b +2ab2 −7b3 =(6a3 +2ab 2 )−(21a2b +7b3 )=

=2a(3a2 +b2 )−7b(3a2 +b2 ) = (3a2 +b2 )(2a −7b)

2)ay2 +by2 −by −ay +cy2 −cy =(ay2 +by2 +cy2 )−(ay +by +cy)=

=y2 (a +b +c)− y(a +b +c) =(a +b +c)(y2 − y)=(a +b +c)(y −1)y

3)c4 −2c3 −c2 +2c =c3 (c −2)−c(c −2)=(c −2)(c3 −c)=c(c2 −1)(c −2)=

=c(c −1)(c +1)(c −2)

4) (1+ x)2 −(y +z)2 = [(1+x )−( y+z )][(1+x )+( y+z )] = = (1+x − y −z)(1+x + y +z )

Упростить:

1)(y − 3)(y + 3)(y2 + 9)− (y2 + 2)(y2 − 2)= (y2 − 9)(y2 + 9)− (y4 −4)=

=y4 −81 − y4 + 4 = −77

a3 + b3

a3 − b

(a + b)(a2

−ab + b2 )

(a − b)(a2

+ ab + b2 )

−

a + b

a − b

+ b)

− b)

= a2 − ab + b2 −

(a2 + ab + b2 )= a2 − ab + b2 − a2 − ab − b2 = −2ab

Сократить дроби :

x + 5 y

( x + 5 y)

3x2 +15xy

3x(x + 5 y)

x2 −4x + 4

( x − 2)2

( x − 2)(x − 2)

x − 2

= (x + 5 + 7)(x + 5 −7)=

(x +12)( x − 2)

(x + 5)2 −49

x +12

c3 −3c2 + 3c −1

(c −1)3

c −1

3cb(c2 − 2c +1)

3bc

3c3b −6c2b + 3cb

3cb(c −1)2

2.5 Действия с алгебраическими дробями

+ b

− d

= a +b −d

= ac

a + b = ac +b

ad +bc

= bc

Примеры.

Упростить:

1+b

−

1−b

(1+b)−(1−b)

1+b−1+b

2 b

b 2

2)ab2 − a1 = ba−2a

3)m − n = m((m+n))(−n(m−)n) = m2(+mn)(−mn+)n2 m−n m+n m−n m+n m−n m+n

x2 −4

1 (x−2)(x+2)

x−2

x+2

(x+2) 3x

a+b

a2 −b2

(a+b) 3a

6b (a−b)(a+b)

2b(a−b)

=m2 +n2 m2 −n2

Выполнить действия:

2ab

a−b

− (ответ)

a2 −b2

2a+2b

a+b

b−a

2ab

a−b

2ab

a−b

4ab+(a−b)2

a2 −b2

2a+2b

(a−b)(a+b)

2(a+b)

2(a−b)(a+b)

4ab+a2 −2ab+b2

a2 +2ab+b2

(a+b)2

a+b

2(a−b)(a+b)

2(a−b)

a +b

(a +b) 2a

2(a −b)

a +b

2(a −b)(a +b)

a −b

−

a −b

b −a

a −b

Выделить квадрат двучлена ( полный квадрат ) :


1)	x 2	− 2x + 3 = ( x 2 − 2 1 x + 1) + 2 = ( x − 1)2 + 2
2)	x 2	− 4x = ( x 2 − 2 2 x + 22 ) − 22 = ( x − 2 )2 − 4
3)	x2 + 6x + 1 = ( x2 + 2 3 x + 32 ) − 9 +1 = ( x + 3 )2 − 8
4)	x2 − x − 2 = ( x2 − 2		1	x + (	1	)2 ) −	1	− 2 = (x −	1	)2 − 2	1
4)	x2 − x − 2 = ( x2 − 2		2	x + (	2	)2 ) −	4	− 2 = (x −	2	)2 − 2	4

5) x2 + 3x −1 = ( x2 +2 32 x + ( 32 )2 ) −( 32 )2 −1 = = ( x + 32 )2 − 94 −1 =

=( x + 32 )2 − 2 14 −1 =

=( x2 + 32 )2 − 3 14

Упражнения

1. Вычислить:

а) (−4)+ (−18)

б)

(− 0,6) (− 0,9)

в)

26 −(−5)

1812 −612

(−7)−(−4,9)

−

3192 −2092

0 (−1,1)

Ответ

32 +

−1

− 5,1 : (−17)

− 3,3 −9,6

− 4 (− 5)− (− 30): 6

2. Упростить и найти числовое значение выражений:

a − 0,75a −a

при a = 0,1

Ответ :

− 0,1

б)

1,2(3a − 2b)+ 8,6a

при a = −0,5; b = −2

Ответ :

−1,3

в)

(7,8m − 2,6n)−(2,3m − 3,1n) при m = 2; n = 4

Ответ :

г)

(a −b)(a −b)

при a = 4,5; b = 3,6

Ответ :

2ab

3. Найти область определения выражений:

a) x2 −8x +9

Ответ:

{x |

x R}

б )

Ответ:

{x | x ≠ 0}

в)

Ответ:

x ≠

6x −3

4. Упростить:

a) (y2 +1,75 y − 3,2)−(0,3 y2

+ 4)−(2 y −7,2)

Ответ :

0,7 y2 −0,25 y

б) (− 3xa y3 z2 )2 (− xa y2 z6 )3

Ответ : −9x5a y12 z 22

в)

(− 2a

Ответ :

−

3(x+2)

)

2a+9

г)

Ответ :

−

5. Использовать формулы сокращенного умножения:

a )

б)

в)

г) д)

	1	y		2
3 x −	2	y
	2
(2a + 3b)3
	1	b	2			1	b	2
xy +	3	b			xy −	3	b
	3					3
(x + 1) (x 2 − x + 1)
(y 2 + y + 1) (y − 1)

6.Выделить квадрат двучлена:

а) x 2 + 2 x + 8

б) y2 −10 y +21

в) x2 −12x −4

г) −4x 2 + 8x − 7

д) 0,5x 2 − x + 2,5

7. Разложить многочлены на множители: a) 4x4 + 8x 3 − 2x 2

б) y(x −1)−(x −1)

в) 12с(c − y)−6 y(y −c)

г) (a + y)2 − 2a(a + y)

д) mx + my +10x +10 y

ж) xy2 −by 2 −ax +ab + y2 −a

з) − p6 − p5 + p4 + p3

к) (x − 5)2 −16

л) (1 − y)2 − (y + z)2

м) x2 + 2xy + y2 −a 2

Ответ : (x +1)2 + 7

Ответ : (y − 5)2 − 4

Ответ : (x − 6)2 − 40

Ответ : − 4( x −1)2 − 3

Ответ : 0,5( x −1)2 + 2

Ответ: 2x2 (2x2 +4x −1)

Ответ : (x −1)(y −1) Ответ : 6(c − y)(2c + y) Ответ : (a + y)(y − a)

Ответ : (x + y)(m +10)

Ответ : (x − b +1)(y2 − a)

Ответ : p3 (p +1)2 (1 − p) Ответ: (x −9)(x −1)

Ответ: (1 + z)(1 − 2 y − z)

Ответ :(x + y − a)(x + y + a)

8. Сократить дроби:

15a 2

−10ab

8b2

−12ab

б)

(2a − 3b)2

12ab − 8a 2

в)

3 y − 2 y2

4 y2

−12 y + 9

г)

1 − x3

3 + 3x + 3x2

д)

5b −10

4 −4b + b2

ж)

(a − 4)2

−1

a 2

− 6a + 9

з)

x 2

−4x + 4

(x + 5)2

−49

к)

x 2

−16

(2x −7)2 −1

9. Упростить выражения:

a) (a 2 + b2 )2 − (a − b)(a 2 + b2 )(a + b)

б) (x−1 + y−1 )−2 : (x + y)−2

в)

x 2

− 81

x 2 − 9x

2x +10

(x + 5)2

г)

−

x + y

x − y

+ 3 y

y + 3

д)

−

3 − y

2 y +

3 y

− 3 y y

−9

ж)

−

x − 6

2x − 6

2 + 6x

x 2

− x

x 2

− 36

+ 6x

Ответ :

−

Ответ :

3b − 2a

Ответ :

3 − 2 y

Ответ :

1 − x

Ответ :

b − 2

Ответ :

a −5

a − 3

Ответ :

x − 2

x +12

Ответ :

x + 4

4(x − 3)

Ответ: 2b2 (a2 +b2 )

Ответ : x2 y2

Ответ : (x +9)(x +5)

Ответ : 1

Ответ : −1

§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

3.1 ТОЖДЕСТВО. УРАВНЕНИЕ. КОРНИ УРАВНЕНИЯ.

Тождество − это равенство,	Уравнение − это равенство, верное
верное при любых значениях	только при определенных значениях
параметров.	параметров.
Примеры.

1) ( a +b )2 = a2 +2ab +b2

a = 3	(3 +0)2 =32 +2 3 0+02
b = 0	9 = 9 − верное

Корень уравнения − это значение параметра, которое обращает это уравнение в верное числовое равенство.

	числовое
	равенство
a = 1	(1 +2)2 =12 +2 1 2+22
b = 2	32 = 1 + 4 + 4
	9 = 9

sin2 α + cos2 α = 1

a = 30 º

(

)2 + (

)2 = 1

= 1

1 = 1

a = 90 º

12 + 02 = 1

1 = 1

aloga b =b

2log 2 8

= 8

8 = 8

Решить уравнение − это значит найти все его корни (или определить,

что корней нет).
Примеры.
1)	3x = 27	Проверка
	x = 9	3 · 9 = 27
	корень	27 = 27
	уравнения
2)	2x − 1 = 5	Проверка
	2x = 6	2 · 3 − 1 = 5
	x = 3	5 = 5
3)	x2 = 25	Проверка
	x1,2 = ± 5	(±5)2=25 25=25
4)	x2 = − 16	x Є Ø

( нет действительных корней ! )

3.2ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

a)Уравнение первой степени с одной неизвестной (переменной)

Общий вид:

ax + b = 0

ОДЗ : x Є R ( x − переменная)

имеет единственный корень

Если a ≠ 0 , то уравнение

x = −

Если

a = 0 и b ≠ 0 , то уравнение не имеет корней.

Если

a = 0 и b = 0 , то уравнение имеет бесконечно много корней.

Примеры.

1) 5x + 4 = 0

ОДЗ : x Є R

Проверка

5x = − 4

5 (−

)+ 4 = 0

x = − 4 Є ОДЗ

0 = 0 − верное числовое

равенство

Ответ: −

или x = −

(элемент множества)

2)	3x + 2	= 5 ОДЗ: x R		2x −5
			3)		= 0 ОДЗ: x ≠ − 3
	7
				3 + x
	3x + 2 = 35			2x −5 = 0
	3x = 33			x = 2,5 ОДЗ
	x = 11 ОДЗ

	Ответ: { 11 }			Ответ: { 2,5 }

Проверку в примерах предлагается выполнить самостоятельно.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]