Основы математики. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y = sin wx

y = cos wx

y = sin 2x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

§ 6. ПЕРИОДИЧНОСТЬ ФУНКЦИЙ

Определение

Функция y = f ( x ) называется периодической с периодом T ≠ 0,

если f ( x ± T ) = f ( x ) для любых допустимых значений x.

Теорема. Если T – период функции, то n T – тоже период этой функции: f ( x + n T ) = f ( x ), n Є N

Наименьший положительный период функции y = f ( x ) называют основным периодом – T0 .

Основные периоды функций:	sin α	и	cos α	T0 = 2π

	tg α	и	ctg α	T0 = π

Пример. Определить основные периоды функций:

y = cos	x	T =	2π
			1
2		0
		2

= 4π (растяжение)

§ 7. СУММА И РАЗНОСТЬ УГЛОВ

y			y
		A	A2
			A2	γ ß
	αß		α	γ ß
o	αß	x	o
0 < α < 2π
− ∞ < ß < + ∞	ß = α + 2πk, k = 1,2,3,…			или

α= γ + ß γ = α - ß

γ= α + ( - ß)

101

Синус (косинус) суммы и разности двух аргументов

sin(α+β) =sinα• cosβ+cosα•sinβ

sin(α−β) =sinα• cosβ −cosα• sinβ

cos (α+β) =cosα• cosβ −sinα• sinβ

cos (α−β) =cosα•cosβ+sinα•sinβ

Тангенс (котангенс) суммы и разности двух аргументов

tg(α + β) =		tgα + tgβ
tg(α + β) =	1	− tgα • tgβ
	1	− tgα • tgβ

tg(α − β) =		tgα − tgβ
tg(α − β) =	1	+ tgα • tgβ
	1	+ tgα • tgβ

ctg(α + β) = ctgα • ctgβ −1 ctgα + ctgβ

ctg(α − β) = ctgα • ctgβ +1 ctgβ −ctgα

Примеры.

1) sin () = sin cos cos sin = 0 · cos (-1) sin = - sin

sin (

) =

sin cos

cos

sin

1· cos

0 · sin

cos

cos (

) =

cos

− sin

sin

= 0 · cos

− (−1) sin

= sin

cos 15°

= cos ( 45° − 30°)

= cos 45° cos 30°

sin 30° sin 45° =

6 + 2

cos 25° sin 65°

sin 25° cos 65°

sin ( 25°

65°)

sin 90° =

tg30o + tg15o

= tg ( 30o +15o )= tg 45o = 1

1 − tg30 × tg15

( cos t

sin t )2

( cos t

sin t )2

= cos2 t

2 sin t · cos t

sin2 t

+ cos2 t 2 sin t · cos t

sin2 t

= 2 ( cos2 t

sin2 t ) = 2

sin2 t

sin4 t

cos4 t = sin2 t ( 1

sin2 t )

cos4 t

= sin2 t · cos2 t

cos4 t = cos2 t ( sin2 t cos2 t )

= cos2 t

=	=	1 + tg α
		tg α − 1

102

§ 8. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Сходными тригонометрическими функциями будем называть:

синус угла	косинус угла;
тангенс угла	котангенс угла;
секанс угла	косеканс угла

Углы α и β будем называть дополнительными до 2 , если

α + ß = π2 или α = π2 − ß

Теорема. Сходные тригонометрические функции дополнительных углов равны между собой:

sin( π2

− α ) = cosα

cos( π2

− α ) = sinα

tg ( π2

−α ) = ctgα

ctg ( π2

− α ) = tgα

Фо́рмулы приведе́ния

3π

π + α

π – α

2 +

2π + α

2π −α

+ α

– α

функции

sin t

cos α

sin α

cos α

sin α

cos t

sin α

cos α

sin α

cos α

tg t

ctg α

tg α

ctg α

tg α

ctgt

tg α

ctg α

tg α

ctg α

Примеры.

sin (

135°) =

sin 135° = sin ( 90° + 45°) =

cos 45° =

sin ( 1050 °) =

sin (1050 °) =

sin ( 360°· 3

30°) =

sin ( 30° ) =

3) 2tg y tg (y π) ctg (y = 2tg y + tg (π

				= sin 30° =		1
						2
3π	) =2tg y		tg ( (π y))	ctg ( (	3π		y)) =
2					2
y) + ctg (		3π	y) = 2tg y	tg y + tg y = 2tg y
		2

103

§ 9. НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТРИГОНОМЕТРИИ

Формулы двойного аргумента	Формулы половинного
	аргумента

sin 2α = 2sinα • cosα

cos 2α = cos2 α −sin2 α

α = 2tgα tg2

1 − tg 2α

α = ctg2α −1 ctg2

2ctgα

sin	α	= ±	1 −cosα
	2		2

cos	α	= ±	1 +cosα
	2		2

tg α = ±			1 −cosα
2			1 +cosα

ctg	α	= ±	1 +cosα
	2		1 −cosα

Примеры.

Упростить:

sin α · cos 3α cos α · sin 3α = sin (α

3α) =

sin ( 2 α) =

sin 2α

1 4sin2 α cos2 α = 1

( 2 sin α · cos α ) 2 = 1 ( sin 2 α ) 2 =

cos2 2α

Выразить через половинный аргумент :

1 + cos α = 1 + cos ( 2· α2

) = sin 2 α2

+ cos 2

α2 + cos 2 α2

− sin 2 α2 =

= 2 cos 2

Формулы преобразования произведения

тригонометрических функций в сумму

Следствия:

cosα • cos β =

[cos(α − β ) + cos(α + β )]

α = β

sinα • cosα =

sin 2α

sinα • sin β =

[cos(α − β )−cos(a + β )]

cos2 α =

1 +cos 2α

1 −cos 2α

sinα • cos β = 1 [sin(α − β )+ sin(α + β )]

sin2 α =

104

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

cosα +cos β

2cos

α + β

• cos

α − β

sinα +sin β

2sin

α + β

• cos

α − β

cosα −cos β

= − 2sin α + β • sin α − β

sinα −sin β

2cos α + β

• sin

α − β

tgα + tgβ

sin(α + β )

cosα • cos β

tgα − tgβ

sin(α − β )

cosα • cos β

ctgα + ctgβ

sin(α + β )

sinα • sin β

ctgα −ctgβ

= −

sin(α − β)

sinα • sin β

1 + cosα = 2cos2 α2

1 − cosα = 2sin2 α2

( 1 = cos 0 )

Примеры.

Выразить через половинный аргумент :

+α

0−α

1 + cos α = cos 0 + cos α = 2 cos

· cos

= 2 cos α2 · cos (

−α

= 2 cos 2

Упростить:

sin( π6 +α) − cos( π3 +α )

sin( π6 +α) − sin( π6 −α)

sin( π +α ) +сos( π

+α)

sin( π

+α) +sin( π

−α)

2cosπ6 sinα

2sin

cosα

cos(π3 +α) =sin[π2

−(π3

+α)]=

= ctg π6 tgα =

3 tgα

= sin (π6 −α)

105

§ 10. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

y= sin x						синусоида
		y	1			синусоида
		y	1
-2π 3π	-π	π	0	π	π	3π	2π 5π	3π	x
2		2	0	2		2	2
2		2		2		2	2

-1

Cвойства функции :

1.D (y) = R

2.E (y) = [ ]

3.Функция периодическая ( период Т = 2 ).

4.Функция нечетная (график функции симметричен относительно начала координат).

5.	sin x = 0		при	х = kπ , k Є Z
6.	sin x	0	при	x Є ( 2kπ ; π + 2kπ ),	k Є Z
7.	sin x	0	при	x Є ( 2kπ – π ; 2kπ ),	k Є Z

8. Функция монотонно возрастает от () до 1

при х Є [ −	π	2kπ;	π	+ 2kπ ] , k Є Z
	2		2

9. Функция монотонно убывает от 1 до ()

при х	[	π	2kπ ;	3π	+ 2kπ ] , k Є Z
		2		2

y = cos x
			y	1
-2π 3π	-π	π	0	π	π	3π	2π 5π	3π x
2		2		2		2	2

-1

106

y = tg x

-3π	-π	-π	0
		2
2

Ось

тангенсоида

асимптота

I • М( x1 ; y1 )

π+ α α

y1 = tgα

3π

III

ось

x = 1

тангенсов

tgα =

tgα = y1

Oy параллельна оси тангенсов

tg 90° и tg 270°

не существуют;

0 тангенсы углов I и III четвертей положительны.

y = ctg x

x1 =ctgα

ось

М( x1 ; y1 )

котангенсов

•

π+α

-π

π 3π

2π

III

rr
	=1	y = 1
	=1	y = 1
		1
	ctgα =		x1
			x1	ctgα = x
			y	ctgα = x
		1		1

Ось Ox параллельна оси котангенсов ctg 0°; ctg 180°

и ctg 360° не существуют; x1 0 тангенсы углов I и III четвертей положительны.

107

§ 11. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

	y =sin x							y
						y [−1;1]		1
			π	;	π	y [−1;1]	−	π	x
x −			2	;	2	−1 ≤ y ≤ 1		2
			2		2	−1 ≤ y ≤ 1			π
−	π	≤ x ≤			π	↓		1	π
	π				π	↓		1	2
	2				2	sin x			2
						sin x
							Функция монотонно возрастает от ( −1 )
							до ( + 1) в интервале		x [− π2 ; π2 ]

Введём обратную функцию:

y = arcsin x

По свойству обратной функции:

−1 ≤ x ≤ 1

−π2 ≤ y ≤ π2

↓

arcsin x

-1

0 1

− π2

Если sin α = m,		sin (arc sin m ) = m
то α = arc sin m		arc sin (sin α) = α

Примеры. arcsin 0 = 0 arcsin 12 = π6 arcsin 1 = π2

	−	2	= −	π
arcsin	−		= −
		2		4
		2		4
	−	3	= −	π
arcsin	−		= −
		2		3
		2		3

arcsin ( – m ) = – arcsin m

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов

108

y = cos x

0 ≤ x ≤ π

− 1 ≤ y ≤ 1

cos x

cos (arccos m) = m

arccos (cos α) = α

Примеры.

arccos 1 = 0

arccos 0 = π2 arccos 12 = π3

y = tg x

−	π	< x <	π	− ∞ < y < +∞
	2		2
				tg x

tg (arctg m) = m

arctg (tg α) = α

Примеры.

arctg 0 = 0
arctg 1	= arctg	3	=	π
3		3		6
arctg1 =	π
	4

Введем обратную функцию:

y = arccos x

− 1 ≤ x ≤1

0 ≤ y ≤π

arcos x

Если cos α = m, то α = arccos m

arccos ( – m ) = π – arccos m

arccos (−1) =π −arccos1 =π −0 =π
	−	1	=π −arccos	1	=π −	π	=	2π
arccos		2		2		3		3

Введем обратную функцию:

y = arctg x

− ∞< x < + ∞	−	π	< y <	π
		2		2

arctg x

Если tg α = m, то α = arctg m

arctg ( – m ) = – arctg m

arctg(−1) = −arctg1 = −π4

arctg(− 3) = −arctg 3	= −	π
		3

109


	y = ctg x			Введем обратную функцию:

0 < x < π		− ∞ < y < +∞			y = arcctg x
			ctg x	− ∞< x < + ∞		0 < y < π

ctg (arcctg m) = m

arcctg (ctg α) = α

arcctg x

Если ctg α = m, то α = arcctg m

arcctg ( – m ) = π – arcctg m

Примеры.
arcctg 0 =	π	arcctg(− 3) =π −arcctg	3 = π −	π	=	5π
arcctg 0 =	2	arcctg(− 3) =π −arcctg	3 = π −	6	=	6
arcctg 1 =	π
	4

§ 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

sin x = m

m ≤ 1 m [−1;1]

cos x = m

m ≤ 1 m [−1;1]

x = (−1)k arcsinm + kπ, k Ζ

Частные случаи:

m = 0	x = kπ,		k Ζ
m = 1 x = π		+ 2kπ, k			Ζ
	2	π
m = −1 x = −		π	+ 2kπ	,	k Ζ
		2

x = ±arccos m + 2kπ,	k Ζ

Частные случаи:
m =0	x = π	+kπ,		k Ζ
	2
m =1 x = 2kπ, k Ζ
m = −1 x =(2k +1)π,					k Ζ

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]