Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Приме́ры.

Найти́неизве́стный член пропо́рции:

а) 50 : 5 = 30 : x

Реше́ние.

=5 × 30 =

б) x : 2 = 60 : 3

Реше́ние

в) 28 : x = 20 : 5

Реше́ние.

x =	287	×	51	= 7
	204

г) 35 : 5 = x : 2

Реше́ние

x =	2	× 60	20	= 40
x =		31		= 40
		31

Прове́рить пропо́рцию:											2		:	5	=	4	:		5
Прове́рить пропо́рцию:											3		:	6	=		:	3
Реше́ние.											3			6	3			3
Реше́ние.
а) по определе́нию:
	2	:	5	=	2 × 6	=	4	и	4	:		5	=		4 × 3			=			4
3		:		=	3 ×5	=	5	и	3	:	3		=		3 × 5			=		5
3		6			3 ×5		5		3		3				3 × 5					5

б) по основно́му сво́йству пропо́рции:

x =	35	7 × 2	= 14
		51

45 = 45

( пропо́рцияве́рная )

2 ×	5	= 5	× 4		10		= 10		или 1 1 = 1 1
3	3	6	3		9		9		9	9
									(пропо́рцияве́рная)
С по́мощьюпропо́рциймо́жнореша́ть не́которыетекстовы́е зада́чи.
Приме́́́р. Из 20кг я́блокмо́жнополучи́ть16 кг дже́ма. Ско́лькодже́ма
			полу́читсяиз 45 кг я́блок?
20кг				16кг	Мо́́жнососта́вить пропо́рцию: 20 : 45 = 16 : x
45кг				x(кг)	Из пропо́рциинайти́неизве́стный кра́йнийчлен:
						20	=	16	x =	459 ×164	= 36 Ответ: 36 кг джема
					45		=	x	x =	204	= 36 Ответ: 36 кг джема
					45			x		204

Упражне́ния

1. Прове́рить пропо́́рции(ответить на вопрос: верные пропорции?):


а)	30,6			:	10,2		=	5,4		:	1,8	Отве́: т да
б)	8,5			:	0,5		=	6,2		:	0,2	Отве́: т нет
в)	3		3	: 0,25			= 18 : 1			1		Отве́т:	нет
		4								2

г)		5		:	1	1	=	3	:	9		Отве́т:	да
		7						8		16
					14

2. Найти́неизве́стный член пропо́рции:

а)	24 : x				=		36 : 5
б)	1,2		:	0,04		=			3,7			: x
в)	81		:	0,5		=			y :		0,75
г)	y : 3			1	= 4			1	: 2			1
г)	y : 3			5	= 4		2		: 2		4
				5			2				4
д)	6	1	: 3		1 = x : 2					1
		2			4						3
ж)	5	3	: 3,5 = 5				1		: x
ж)	5		: 3,5 = 5				4		: x
	5						4

3.Реши́ть текстову́ю зада́чу.

В 100кг морско́водый́соде́ржится 2,5 кг со́ли. Ско́лькосо́лисоде́ржится в 5 кг воды́?

Отве́: т 3 13

Отве́т: 30037

Отве́т: 121,5

Отве́т:	6	2
		5

Отве́: т 4 23

Отве́т: 3 329

Отве́т: 0,125 кг

8.2Проце́нты ( % )

а) Каку́ючасть составля́ют3 от 21?																							21				1
а) Каку́ючасть составля́ют3 от 21?																							21				1
	3 : 21 =										3			=	1								3							x
											3				1
										21
										21				7																				3 × 1			1
																							21 : 3 = 1 : x x =											3 × 1		=	1
																							21 : 3 = 1 : x x =											21		=	7
																																		21			7
б) Ско́лькобу́дет3										от 20 ?													20						1


		5
20 : 5 = 4 (							1			от 20 )													x							3
							1																							3
																										5
		5																								5
4 3 = 12 (								3				от 20 )										20 : х = 1 :									3		х = 20			3	= 12
4 3 = 12 (												от 20 )										20 : х = 1 :											х = 20			5	= 12
		5																								5										5
или	20		3	=					20 3					= 12
			3						20 3
		5
		5								5
в) Найти́число́е́, сли3														его́равны́ 12.												12								3
в) Найти́число́е́, сли3														его́равны́ 12.												12								3
						1							5																					5
12 : 3 =	4	(								числа́ )																		x						1


		5																						3
4 5 = 20			(		5		= 1 - все́число́)																	3	x = 12 х = 12 :								3	=	12 5		= 20
4 5 = 20			(				= 1 - все́число́)																5		x = 12 х = 12 :							5		=			= 20
		5																					5									5		3
и́ли		12 :								3			=	12 5		= 20
и́ли		12 :								5			=	3		= 20
										5				3

		1% =											0,01			(и́ли1					) -		одна́со́тая часть
																		100
																5		1
5% = 0,05													(и́́ли				=			)						0,07 =						7%
5% = 0,05													(и́́ли				=	20		)						0,07 =						7%
																100		20
25% = 0,25													(и́ли25				=	1	)							0,62 = 62%
25% = 0,25													(и́ли25				=	4	)							0,62 = 62%
																100		4

Нахожде́ние% ( от ) числа́

Найти́3% от числа́ 150(М) (Р)

3% = 0,03	(М)	150			100%

150 0,03 = 4,5			х		3% (Р)


(смотри́(б ) )	(А) х =		150 3	= 4,5		А =	МР
		100					100

Нахожде́ние числа́по ( его́ ) %

Найти́число́если, 3% его́равны́4,5

(А)

(Р)

3% = 0,03

(А)

4,5

3% (Р)

4,5 : 0,03 = 150

(М)

100%

(смотри (в) )

(М)

x =

4,5 × 100

= 150

М =

А × 100

Проце́нтное отноше́ние

Како́й % (ско́лько%) составля́етчисло́ от3 15 ?

	3 × 100%	= 20%
15		= 20%
15
(смотри (а) )			15		100%
			3		x%
			x =	3 ×100%	= 20%
			x =	15	= 20%
				15

Упражне́ния

1.	Найти́% от числа́
	а)	7%	от	12	Отве́: т0,84
	б)	12%	от	36	Отве́: т4,32
	в)	32%	от	12,5	Отве́: т 4
2.	Найти́число́е́, сли5% его́равны́ 32.				Отве́: т 640
3.	Найти́число́е́, сли13% его́равны́ 260.				Отве́: т2000
4.	Ско́лько% составля́ют12 от 40?				Отве́т: 30%
5.	Найти́проце́нтноеотноше́ние чи́сел:
	а) 14 и 280				Отве́т: 5%
	б) 0,5 и 50				Отве́т: 1%
6. Найти число, если 4,5 % его составляют 12% от 45.					Отве́т: 120

ГЛАВА II

ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ

§ 1. СТЕПЕНИ И КОРНИ

1.1 Степень с натуральным показателем

Определение. a n = a a ... a , n N n

Теоремы . Примеры.

Ian am =an+m

IIa n : a m =a n−m

a ≠ 0, n > m

III		( a n )m = a nm

IV		(a b)n = an an


	(	a	)n =	a n
V	(	b	)n =	n
V		b		b
			b ≠ 0

32 33 = 35 = 243

x5 x4 = x9

57 : 54 = 53 =125

yy128 = y12−8 = y4

(32 )3 =36 =729

(z5 )7 = z35

(2 3 )3 =23 33 =8 27 =216

(−2x2 y3 )3 =(−2)3 (x2)3 (y3)3 =−8x6 y9

( 53 )2 = 53 22 = 259

1.2Степень с целым показателем

Определения.

				Примеры.
a0 = 1	a −n =	1	50 = 1												5	= 1
		an													5
		an													5
											51	=51−1=50
a n : a m = a n−m											51
a n : a m = a n−m											1
									5
n Є Z, m Є Z
			7−2 =			1	=		1
			7−2 =			2	=		49
						7			49
			(	3	)−2	=		1		=			1		=25=2		7
			(		)−2	=		2		=			9		=25=2
			5				(53)								9 9
			5				(53)							25	9 9

a5 ×a−3 = aa53 =a2

a3:a−9 = a3−(−9) = a12

Пример.

(4x2 y5)2 ×(−xаy−2 )3 = 16x4 y10 ×(−x3аy−6 ) = −16x3а+4 y4

1.3 Степень с рациональным показателем

			a	3		= 5 a 3
Определение.			a	5		= 5 a 3

a	n	= m an	3	2		= 5 32	= 5 9
	m
	m				5
		n Є Z, m Є N
						1	8	5
						1		5
				3 = 32				x5 = x 8

1.4	Корни

	Определение.	n a =b bn =a
		n Є N, n ≥ 2

1)	n Є N	n 0 = 0 0 n = 0

2)n = 2k + 1 (n - нечетное число), где k Є N

a ЄR существует единственное значение корня степени n

3 8 = 3 23 = 2 23 = 8

3 −8 = 3 (−2)3 = −2 ( −2)3 = −8

3)n = 2k (n – четное число), где k Є N

−4

	( a < 0 )	– невозможно вычислить в {R},
	4 −16	так как a2k > 0	всегда
a > 0 корень имеет два значения
4 = 2 22 = 4	или	4 = −2 (−2)2	= 4

арифметический корень – положительное значение корня четной степени из (единственный) положительного числа

(−3)	2	= − 3	= 3	a 2 =	a	a, если	a ≥ 0
(−3)		= − 3	= 3	a 2 =	a	=
						−a, если	a < 0

Теоремы.

( a ≥ 0, b ≥ 0 )

I	n ab = n a n b

n a	= n a
II b	n b

b ≠ 0

III ( n a )m = n am

IV	n m a = nm a

V	nm am = n a

VI	n anp = a p

Примеры.

8 = 4×2 = 4 × 2 = 22 × 2 = 2 2

121×64 = 121× 64 = 112 × 82 =11×8 = 88

4 1681 = 44 1681 = 23

(4 3 )2 = 4 32 = 4 9

3	64 = 6 64 = 6 26 = 2

8 a6 = 2 4 a2 3 = 4 a3

3 64 = 3 26 = 3 23 2 = 22 = 4

1)	(0,1×	18 )2 = (0,1)2 × (	18 )2		= 0,01×18 = 0,18
2)	(−5)4 = ((−5)2 )2 = (−5)2 = + 25 =25
3)	2 3 4 6 2 = 6 23 6 (22 )2 6 2 = 6 23 ×24 ×2 = 6 28 =3 24 = 3 23 ×2 = 23 2
		×	5		5
4)	51 =	15×55 = 552 =		=
			52			5

Упражнения
1. Вычислить:
а)	108 10−5 10−6									Ответ:	0,001
б)	2		10		2	−12				Ответ:			1
б)	2				2					Ответ:			4
в)		3−3 42 7−4								Ответ:	1
												84
		3−2 43 7−3										84
			2−2 53 10−4
г)	(2			−3	)	2		2	−5	Ответ:	800
	(2				)		5	10


	2 4	1
		2 2
д)		3
	2		4

ж) ( 12 )−10 ( 18 )4 + ( 73 )0 :( 12 ) −1

з)	90 6,4
к)	3 3 4 9 6 81

2. Упростить:

а)	24
б)	a3
в)	( 2)2
г)	4 16
д)	12 − 50 − 0,5

Ответ: 8 4 8

Ответ: 4

Ответ: 24

Ответ: 3 3

Ответ: 2 6

Ответ: a a

Ответ: 2

5 6

Ответ: 6

Ответ: −5 2

3. Освободить дробь от иррациональности в знаменателе:

	1		3	2		б) 3
	2
а)		б)		Ответ: а)
			3		2

§2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. ДЕЙСТВИЯ

СОДНОЧЛЕНАМИ И МНОГОЧЛЕНАМИ

2.1Алгебраические выражения

		a;				−5a 2 c ;							a2 −3a +5
−		ab		;			x3 + y3										a −b						– алгебраические выражения
−	3xy			;					a − b			;				3(c +d )							– алгебраические выражения
	3xy								a − b							3(c +d )
Примеры.
Найти числовое значение алгебраического выражения:
а) 9а • (а – 8) + 135													при а = 3
	9 • 3 • (3 – 8) + 135 = 9 • 3 • (–5) + 135 = 27 • (–5) +135 = –135 + 135 = 0
б) k +				2	(k −			2		) ,	если k =					1
б) k +				3	(k −					) ,	если k =
				3			3								6
1			2		1				2			1		2	1			−4		1		2		3		1		2		1	=−	1
		+					−				=		+						=		+		−		=		+		−
6		+	3				−		3		=	6	+	3				6	=	6	+		−		=	6	+		−	2		6
6			3		6				3			6		3				6		6		3		6		6		3		2		6

Область определения:

(область допустимых значений – ОДЗ )

2b	b − 3	≠0	b ≠3
b − 3

Область определения этого выражения – это те значения, которые может

принимать b: {b| b ≠ 3} или

b Є R 3

Примеры.

Найти область определения выражений:

	5	x − y ≠ 0	x ≠ y	{(x, y)	x ≠ y }
а)	x −y
			или
б)	3x 2 + 1 x Є R

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 144 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]