Основы математики. Учебное пособие

4)

6x

=

2x −1

ОДЗ : x ≠0 и 3x +4 ≠0

3x + 4

x

x R {−

; 0 }

6x2 = ( 2x − 1 ) ( 3x + 4 )

4

3

6x 2

− (2x −1)(3x + 4)= 0

6x 2

− 6x 2 + 3x − 8x + 4 = 0

− 5x = −4

x =

4

= 0,8 ОДЗ

5

5)

y +1

−

5

=

12

+1

ОДЗ: y2 − 4 ≠ 0 или

y +2

y

2 −4

y −2

(y +1)( y +2) −5(y −2)

( y −2)( y + 2) ≠0 y ≠−2; y ≠2

=

12 + y2 −4

(y −2)(y +2)

y2 −4

Общий вид:

ax + by = c

Пример.

3x + 2y = 5

Решим это уравнение относительно переменной y :

2y = − 3x + 5

y = − 1,5x + 2,5

Можно подобрать множество пар ( x ; y ), которые

будут корнями данного уравнения:

(− 1; 4 ), ( 1; 1 ),

(

1

; 2 ), ( 2; − 0,5 ) и другие.

3

Уравнение имеет бесконечно много решений.

a1 , a2

− коэффициенты при переменной x

a1 x + b1 y = c1

b1 , b2

− коэффициенты при переменной y

a2 x + b2 y =

c2

c1 ,c2

− свободные члены

(знак системы)

Если

a1

≠

b1

система имеет единственное решение:

a2

b2

{( x0 ; y0 )}.

Если

a1

=

b1

≠

c1

система не имеет решений − Ø .

a2

b2

c2

Если

a1

=

b1

=

c1

система имеет бесконечно много

a2

b2

c2

решений:

{( x; y )

ax +by +c = 0; x, y R}

Если система имеет единственное решение {( x0 ;

y0 )}, то значения

параметров x0

и

y0

должны удовлетворять каждому уравнению системы.

Пример.

x + 2 y

=1

x =1 −2 y

x =1 −2 y

2x +5 y =

0

+5 y = 0

2x

2(1 − 2 y)+5 y = 0

x =1 − 2 y

x =1

− 2 y

x

= 1 − 2 y

x = 5

+ y

= 0

= −2

= −2

2 −4 y + 5 y = 0

2

y

y

Проверка

5 + 2(−

2)= 1

5 −

4

= 1

1 = 1

верные числовые

2 5 + 5(− 2)= 0

−10 = 0

= 0

равенства

10

0

{( 5;−2 )}

Ответ :

б) Метод алгебраического сложения

Пример.

2x +5y =0

2x +5y =0

2x +5y =0

x =5

x +2y =1

(−2)

+

y =−2

y =−2

−2x −4y =−2

a

b

=

a · d

− b ·

c

a11

a12

строка

c

d

a21

a22

( число, которое получается из

диагональ

квадратной таблицы)

столбец

ai j − элемент определителя

Если определитель имеет две строки

i − номер строки

и два столбца − это определитель

j − номер столбца

второго порядка.

Примеры.

Вычислить:

1)

3

−5

= 3 · 8 − 2 · (− 5 ) = 24 + 10 = 34

2 8

2)

0 −5

= 0 · 8 − 2 · (− 5 ) = 0 + 10 = 10

2 8

3)

3

−5

= 3 · 0 − 0 · (− 5 ) = 0

0 0

a 1

b1

c1

a 2

b2

c2

=

a b c

3

+ a

b c +a

b c

2

− ( a b c + a b c

3

+ a b c

2

)

a3

b3

c3

1

2

2

3

1

3

1

3

2

1

2

1

1

3

( определитель третьего порядка )

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

• =

•

•

•

−

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

•

=

a1

b1

=

c

b

=

a

c

a2

b2

x

1

1

y

1

1

c2

b2

a2

c2

x =

x

y =

y

≠ 0

Если

, то система имеет единственное решение,

если

= 0

и хотя бы один из определителей

x или y не 0,

то система не имеет решений;

если

= 0

и

x =

y = 0 ,

то система имеет бесконечно много

решений.

=

1

2

= 5 − 4 = 1 ≠ 0

система имеет единственное решение

2

5

x =

1 2

= 5 − 0 = 5

x =

5

= 5

0

5

1

y =

1 1

= 0 − 2 = − 2

y =

−2

= −2

А ( 5 ; − 2 )

2

0

1

3.4 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Общий вид:

a x 2

+ bx + c = 0

− полное квадратное уравнение

a − первый коэффициент

( a ≠ 0 )

( x − переменная)

b − второй коэффициент

( b ≠ 0 )

ОДЗ : x Є R

c − свободный член

( c ≠ 0 )

D = b2 − 4a c

− дискриминант

D > 0 уравнение имеет два корня ( x1

≠ x2 )

D = 0 уравнение имеет два равных корня

( x1 = x2 )

D < 0 уравнение не имеет действительных корней ( x Є Ø )

Формулы корней квадратного уравнения:

x =

−b ± b2 − 4ac

1,2

2a

x1,2 =

−k ±

k2 − ac

Если b = 2k ( b − четное число )

a

x1,2 =

14 ±

36

=

14 ±6

10

10

x1 =

14 + 6

= 2

x2 =

14 − 6

=

8

=

4

10

10

10

5

Ответ:

{

4

; 2 }

5

или

5 x2 − 14 x + 8 = 0

b = − 14

k = − 7

x

=

−k ± k2 − ac

x =

7 ± 49 − 40

=

7 ± 3

1,2

a

1,2

5

5

x1 = 2 ;

x2 =

4

Ответ:

{

4

; 2

}

5

5

2) x2

− 10 x + 25 = 0

D = ( − 10 )2 −4 1 25 =0

уравнение имеет два равных корня

D = ( −3 )2 − 4 3 1= 9 − 12 = − 3 < 0

уравнение не имеет

Ответ: x Є Ø

действительных корней

x =

− p± p2 − 4q

или

x

= − p ± ( p )2

− q

2

1,2

1,2

2

2

( теорема Виета )

x1

+ x2

= − p

x1

• x2

= q

x2 + 2 x − 3 = 0

x1

+

x2

= −2

x1 = − 3; x2 = 1

x1

•

x2

= −3

Составить квадратное уравнение по корням:

1) x1 = −2; x2 = 5

x1 × x2 = − 10 ( q )

x2 + p x + q = 0

x1 + x2 = 3 (− p )

x2 − 3 x −10 = 0

2) x1 = 2 + 3 ;

x2 = 2 − 3

x1 x2 = ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 22 − ( 3)2 = 4 −3 = 1

x1 + x2 = 2 + 3 + 2 − 3 = 4

x2 − 4 x + 1 = 0

5 x2 −14 x + 8 =0

= ( x −2 )( 5 x − 4 )

x1 = 2; x2 =

4

5

(смотри № 1, стр.57 )

Сократить дробь:

c2 −c −110

=−

c2

−c −110

=−

(c +10)(c −11)

=−

c +10

22+9c −c2

c2

−9c −22

(c +2 )(c −11)

c +2

c2

− c − 110 = 0

c1

= − 10; c2

= 11 ( по теореме Виета)

с2

− 9с − 22 = 0

с1

= − 2; c2

= 11 ( по теореме Виета)

1.

ax2 = 0

− общий вид

3x 2 =

0

a ≠ 0, b = c = 0

x2 = 0

x1,2 = 0

x1,2 =

0