Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Основы математики. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

5.	а < в и в < с а < с
6.	а < в а + с < в + с
7.	а < в , c > 0			ас < вс
8.	а < в , c < 0			ас > вс
9.	а > в > 0	1	<	1	и a n > bn , n N
		a		b

4.3 Числовые промежутки ( или интервалы )

Пусть

а, b Є R

и а < b. На числовой оси числа x находятся между

точками а и b . Множество этих точек x будем называть числовым

промежутком (или интервалом).

− ∞

+ ∞

− ∞

+ ∞

x Є ( − ∞; a )

x < a

x Є ( b; + ∞ )

x > b

− ∞

+ ∞

− ∞

+ ∞

x Є ( − ∞; a ]

x ≤ a

x Є [ b; + ∞ )

x ≥ b

− ∞

+ ∞

− ∞ a

+ ∞

x Є ( a; b)

x Є ( a; b ]

− ∞

+ ∞

− ∞ a

+ ∞

x Є [ a ; b ]

x Є [ a; b )

− ∞

+∞

x Є (− ∞ ; + ∞ ) − числовая ось

4.4 Некоторые операции над множествами

Ø − знак пустого множества

Пусть S1 и

S2 − числовые

− знак пересечения множеств

множества

− знак объединения множеств

пересечение множеств

S1 I S2 = А

S1 I S2 = S2

S1 I

S2 = Ø

б)

объединение множеств

S1 U S2 = А

S1 S2

S1 U S2 = S1

4.5 Линейные неравенства
Общий вид: ах + в > 0 ах > − в
а ≠ 0
1.	а > 0	x > − ав	− ab	x
2.	а < 0	x < − ав	− ab	x

Примеры.
а) 12 − 3х > 0	б) 2х < х − 3
− 3х > −12	2х − х < − 3
х < 4	х	< − 3
Ответ: х Є ( − ∞; 4 )	Ответ:	х Є ( − ∞; − 3 )

4.6 Системы линейных неравенств

Общий вид:

f1 ( x )

> f2 ( x )

Результатом решения системы

ү1 ( x )

> ү2 ( x )

будет пересечение ( I) решений

неравенств.

Пусть а > в.

− ∞

+ ∞

х >

или

х Є ( а ; + ∞ )

− ∞

+ ∞

х < в

или

х Є ( − ∞; в )

− ∞

+ ∞

х < в

х > а

или

х Є Ø

− ∞

а + ∞

в < x

или

х Є ( в ; а )

Пример.

Решить систему неравенств:

3 − х ≥ 0

− х ≥ − 3

х ≤ 3

x − 1 > 0

х > 1

− ∞

+ ∞

Ответ:

х Є ( 1; 3 ]

4.7 Неравенства с модулем

Примеры.

Решить неравенства:

а) x < 3 Есть разные методы решения. Например, можно

использовать определение модуля числа и составить системы неравенств:

x		x,	если	х ≥ 0
	=	− х,	если	х < 0

х ≥ 0		х < 0		х ≥ 0		х < 0
х < 3	или	− x < 3		х < 3	или	x > − 3
I		I			x		x


	U		0	3		− 3	0
Ответ:	х Є ( − 3; 0 ) U [ 0; 3 ) = ( − 3; 3 )

б)

> 3

х ≥ 0

х < 0

х ≥ 0

х < 0

х > 3

или

− x > 3

х > 3

или

x < − 3

+ ∞

− ∞

−3 0

Ответ: х Є ( −∞; −3 ) U ( 3; + ∞ )

Примеры

а) и б) можно проверить, если из интервалов, которые

получились в ответах, выбрать числа и подставить в начальное условие. В результате будут получаться верные числовые неравенства.

Решая таким методом аналогичные примеры, можно получить

определенную закономерность:

= a

< a

> a

x = ± a

(границы

− ∞ −а

+а

+ ∞

− ∞ −а

+а + ∞

интервалов)

− а < x < a

x < − a

x > a

или

x Є (−а; a )

или

х Є ( −∞; − а ) U ( а; + ∞ )

Примеры.

Решить неравенства:

а)		x − 1	< 2

− 2		< x – 1 < 2
−	1	< x < 3

Ответ: x Є (− 1; 3 )

б) 2x +5 ≥ 7

2х + 5 ≤ − 7	2х + 5 ≥ 7
х ≤ − 6	х ≥ 1

Ответ: х Є ( −∞; − 6 ] U [ 1; + ∞ )

	(х – 1)
− ∞ − 2	+ 2		+ ∞
			x
− ∞	− 1	+ 3 + ∞


		( 2х + 5 )
− ∞	− 7		+ 7 + ∞
− ∞	− 6 + 1			+ ∞ х

4.8 Квадратные неравенства

Общий вид:	ax2 + bx + c > 0	( или ax2 + bx + c < 0 )
	( a > 0 )

Квадратное неравенство можно решать: с помощью систем линейных неравенств, методом интервалов, графическим методом.

1. ax2 + bx + c > 0 а ( х – х 1 ) ( х – х 2 ) > 0 ( х – х 1 ) ( х – х 2 ) > 0

После разложения квадратного трехчлена на линейные множители можно составить и решить две системы линейных неравенств и объединить эти решения. При составлении систем полезно помнить следующее:

а • в > 0, если а > 0	и	в > 0 или		а • в < 0, если а > 0 и в < 0 или
а < 0 и в < 0				а < 0 и в > 0
				х2 + 2х – 3 > 0
Пример. Решить неравенство:				х2 + 2х – 3 > 0
х2 + 2х – 3 > 0 ( х – 1 )( х + 3 ) > 0
I				I
х – 1 > 0				х – 1 < 0
х + 3 > 0		или		х + 3 < 0
х Є ( 1; + ∞ )		U		х Є (− ∞; – 3 )
		Ответ: х Є ( −∞; − 3 ) U ( 1; + ∞ )
2. Метод интервалов
ax2 + bx + c > 0	х 1 ; х 2		─ корни квадратного трехчлена
				( границы интервалов )

Необходимо определить знак квадратного трехчлена в каждом интервале.

Решение неравенства ─ те интервалы, знак которых совпадает со знаком неравенства.

Пример. Решить неравенство: х2 + 2х – 3 > 0 х1 = − 3 ; х2 = 1

− ∞	+	− 3		+ 1	+	+ ∞ Ответ: х Є ( − ∞; − 3 ) U ( 1; + ∞ )


			─

4.9 Дробно-линейные неравенства

Общий вид:	cxax ++db >0	ОДЗ: x ≠ −	d
			c

Можно умножить обе части неравенства на квадрат знаменателя : ( сx + d )2 > 0. Получим эквивалентное квадратное неравенство:

( ax + b )(cx +d ) > 0 ( решение смотри на странице № 76 ).

Можно определить корни числителя и знаменателя ( с учетом ОДЗ ), которые будут границами интервалов, и решить неравенство методом интервалов. Можно также составить и решить две системы линейных неравенств и объединить эти решения.

Пример.
		2 x +	1	≥0						ОДЗ:				3х – 2 ≠ 0 x ≠				2
		3 x −	2															2
		3 x −	2															3
	Дробь равна 0 , если числитель равен 0: 2х + 1 = 0 х = −																					1
	Дробь равна 0 , если числитель равен 0: 2х + 1 = 0 х = −																					2
		2 x + 1			≥0				• ( 3х – 2 )					2	> 0	в ОДЗ
		2 x + 1
		3 x −2
		3 x −2
	( 2х + 1 )( 3х – 2 ) ≥ 0												Корни многочлена: х = −						1	; х =	2
																			1
																			2		3
+															+	х	(границы интервалов)
									─
	− ∞				−	1			─				2			+ ∞
	− ∞


					2								3
Ответ: х Є ( − ∞; −							1	] U (			2	; + ∞ )
							1
							2				3

Умение решать системы неравенств дает возможнось более строго ответить на многие вопросы. Например, найти ОДЗ при решении иррациональных уравнений.

Уравнения, которые содержат неизвестную величину под знаком корня,

называются иррациональными.

Пример.

Решить уравнение:

3 − x = x −1

	ОДЗ:			3 – х ≥ 0				– х ≥ − 3 х ≤ 3
					х – 1 ≥ 0			х ≥ 1	х ≥ 1
									х Є [ 1; 3 ]
	( 3 − x )2 = ( x −1)2
	3 – х = х 2 − 2х + 1
	х 2		− х − 2 = 0					х 1 = − 1 Є ОДЗ	(посторонний корень)
								х2 = 2 Є ОДЗ	Ответ:	{ 2 }
Упражнения
1. Решить неравенства и системы неравенств:
а)	– 5 х + 9 > − х − 3								Ответ: ( − ∞; 3 )
б)		х – 1 ≥ 0							Ответ:	[ 1; 4 )
		х – 4 < 0
в)	х2		<	25					Ответ:	(− 5; 5 )
г)	х 2		− х − 90				< 0		Ответ: (− 9; 10 )
		3 x + 7
д)					≥5				Ответ:	( 3,5; 6 ]
д)		2 x −7			≥5				Ответ:	( 3,5; 6 ]
2. Решить иррациональные уравнения:
а)	х −			x + 1		=	5		Ответ:	{ 8 }
б)	4 +			2x + 3			= x – 2		Ответ:	{ 11 }
в)	2 +			2x + 1			= х – 5		Ответ:	{ 12 }
г)		x + 2 −				3 − x		= 1	Ответ:	{ 2 }

§ 5. ДЕКАРТОВА ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

	у
II	+ ∞	I	I , II , III , IV − квадранты
			(четверти)

− ∞

О (0;0)

III

− ∞

			у
	II	В ( .- 2; 3 )	2	+ ∞
		В ( .- 2; 3 )

− ∞ .		E ( −1;.0 )			О (0;0)
− ∞ .		-1			О (0;0)
	С ( −3; −1 )		-3 .
					F ( .0; −3 )
	III				F ( .0; −3 )
					D ( 1; −4 )

− ∞

• А( x; у )		( x ; у ) − упорядоченная пара
	x	Оx − ось абсцисс	− оси
х	+ ∞	Оy − ось ординат	координат
		Точка О (0;0) − начало координат
		Оx Оy
	IV

А ( x; у ) − точка на плоскости

	абсцисса	ордината
	( координаты точки )
	I	Построение точек:		А(3; 2),
.А(3; 2)		В(− 2; 3),	С(-3; -1),	D(1; −4),
.А(3; 2)		E(−1; 0),	F(0; −3),	О(0; 0)
	х
3	+ ∞

Упражнение

Построить точки на плоскости: А(3; 1), В(−5; −2), С(0; 5); D(−1; 4),

Е(−2; −3), F(0; 3), G(5; 0), K(−1; 0)

§ 6. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. СВОЙСТВА ФУНКИИ

а	f (закон)	1

• c	b	3
		2

X или D ( y )

(область определения функции − множество значений аргумента x )

Y или E ( y )

(область значений функции − множество значений y )

Определение. Если каждому значению x из D ( y ) соответствует единственное значение у из E ( y ), то говорят, что y есть функция от х.

y = f ( x ) − ( игрек равен эф от икс )

аргумент (независимая переменная )

функция (зависимая переменная )

Способы задания функций:

1.	табличный							2. аналитический (формулой) −	y = x2

x		−2	−1	0	1		2

y		4	1	0	1		4

	3. графический					(функция задана графиком)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]