Основы математики. Учебное пособие

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(r, γ ) − полярные координаты

точки М (а, в ),

то r = ом = a 2 + b2 .

а = r соs γ

в = r sin γ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

tg x

x = arctgm + kπ,

k Ζ

Частный случай:

m = 0

x = kπ ,

k Ζ

ctg x

x = arcctgm + kπ , k Ζ

Частный случай:

m = 0

x =

π + kπ,

k Ζ

Примеры.

sin x =

cos x =

x = (−1)k arcsin

+kπ

x = ±arccos

+ 2kπ

k π

x = ±π

x = (−1)

+kπ, k

+ 2kπ, k Ζ

tgx =

ctgx = −1

x = arctg

3 + kπ

x = arcctg(−1) + kπ

x = (π − arcctg1) + kπ

x =

+ kπ, k Ζ

x =

−

+ kπ

x =

3π

+ kπ, k Ζ

2 sin x − 1 = 0

6) 3sin x −4 = 0

sin

x =

sin x =

но

sin

x =

sin x

≤ 1 нет решений

2 + kπ

x = (−1)k arcsin

x = (−1)k π

+ kπ ,

k Ζ

111

7) 2cos 3x +1 = 0

	cos 3x = −	1
		2

8)2 sin 2 x + cos x − 1 = 0

2(1 − cos 2 x) + cos x − 1 = 0 2 cos 2 x − cos x − 1 = 0

cos x = t

cos x = 1

x 1 = 2kπ , k Z

=±arccos − 1 + 2kπ

=± π −arccos 1 + 2kπ

=± π − π + 2kπ

= ± 23π + 2kπ x = ± 29π + 23 kπ, k Ζ

2t 2	− t − 1 = 0
t1,2	=	1 ± 1 + 8	=	1 ± 3
		4		4	1
t1 = 1			t 2	= −	1
					2

cos x = −		1
cos x = −		2
		2
x 2				1	+ 2kπ
	= ± arccos		−
	= ± arccos		−	2
				2

x 2	= ±		π −		π	+ 2kπ
					3

x 2	= ±	2π		+ 2kπ , k Ζ
			3

9) cos 3x = cos x

3x = ±arccos(cos x) + 2kπ

3x = ± x + 2kπ

3x = x + 2kπ			3 x = − x + 2kπ
2x = 2kπ			4 x = 2kπ
x = kπ, k Ζ				kπ
			x =		, k Ζ
			x =	2	, k Ζ
Ответ:	x =	kπ	, k Ζ
Ответ:	x =		, k Ζ
	2
	112

Упражнения 1. Вычислить:

а)

cos 150º − sin 135º + tg 225º − ctg 315º − 2 sin 270º

Ответ:

8− 3− 2

б)

arc sin ( −

)

Ответ:

−π6

в)

arc cos (−

)

Ответ:

5π

г) cos (α + ß ) ,

если sin α =

и cos ß =

−

− 7

2 < α < π

2 < ß < π

Ответ:

д) sin( x +

) − sin( x −

если cos x =

Ответ:

0,75

2.Упростить:

a)cos 3 α

б) 1 − cos α

в) 1 − 4sin2 α cos2 α

cos α cos β −cos ( α + β ) г) cos ( α − β ) −sin α sin β

sin2 α + 2cos2 α −

д) tg2α ctg2α sin2α

Ответ: 4cos3 α −3cosα
Ответ:	2sin2 α2
Ответ:	cos2 2α
Ответ:	tgα tgβ
	Ответ:	1

3. Доказать тождества:


a)	cos 2α			= cosα − sinα
	1 +sin 2α			cosα + sinα
4. Построить графики функций:
у =		sin x		у = 2 sin x

y =		sin	x	y = sin 2x

cos 3α +cosα	= ctgα
б) sin 3α − sinα

y = sin 2x

113

5.	Решить уравнения:
а)	sin x =	1
а)	sin x =
	2
б)	sin x = −		3
			2
в)	cos x =		3
			2
г)	cos x = −		1
г)	cos x = −		2
			2
д)	tg x = −		3
			3

ж) 3tg x − 3 = 0

з)	ctg x =	3
к)	ctg x = −	3
		3
л)	3 ctg x + 2 = 0
м) 2sin5x +1 = 0
н)	2sin 2 x + 5sin x − 3 = 0
п)		π
п)	ctg 3x −	= −1
		4
р)	cos 2x + sin 2 x = cos x
с)	sin 2x = sin 3x
т)	sin 7 x = sin 3x

Ответ:

x = (−1)k π6 + kπ,

k Ζ

Ответ:

x = (−1)k +1 π + kπ,

k Ζ

Ответ:

x = ±

+ 2kπ,

k Ζ

Ответ:

x = ±

2π

+ 2kπ,

k Ζ

Ответ:

x = −

+ kπ,

k Ζ

Ответ:

x =

+ kπ,

k Ζ

Ответ:

x =

+ kπ,

k Ζ

Ответ:

x =

2π

+ kπ,

k Ζ

Ответ:

x = (k +1)π − arcctg

k Ζ

Ответ:

x = (−1)k +1

kπ

k Ζ

Ответ:

x = (−1)k π6 + kπ,

k Ζ

Ответ:

x = (k +1)π ,

k Ζ

Ответ:

x =

+ kπ

k Ζ

x = 2kπ

Ответ:

x =

2kπ

k Ζ

x = 2kπ

Ответ:

x =

kπ

k Ζ

x = (2k +1)

, k Ζ

114

ПРИЛОЖЕ́НИЯ

МАТЕМАТИ́ЧЕСКАЯТЕРМИНОЛО́ГИЯ ( си́мволы)

=– знак ра́венства

(a < b) < – знак нера́венства(ме́ньше) (a > b) > – знак неравенства (бо́льше)

– знак пусто́гомно́жества

– знак включе́ния одного́мно́жествадруго́е

– знак пересече́ния мно́жеств

– знак объедине́ния мно́жеств

– знак принадле́жности мно́жеству

– знак сле́дования

– знак равноси́льности

– знак арифмети́ческого квадра́тногоко́рня

}– знак систе́мы

\|х\|	– мо́дульчисла́х

N – мно́жествонатура́льныхчи́сел

Z – мно́жествоце́лыхчи́сел

Q– мно́жестворациона́льныхчи́сел

R– мно́жестводействи́тельных чи́сел

{a; b; c } – мно́жество, состоя́щее из элеме́нтова, b, c

{x| xQ, x ≠ 3 } – мно́жестворациона́льныхчи́сел, не ра́вных3

n Є N – для любы́х натура́льныхn

[ a; b ] – числово́й отре́зоки́лисегме́нт (мно́жествореше́ний

нера́венстваa ≤ x ≤ b )

( a; b ) – откры́тыйчислово́й отре́зоки́лиинтерва́л (мно́жество

реше́ний нера́венстваa < x < b ) [ a; b ) – числово́й отре́зок, откры́тыйспра́ва(мно́жество

реше́ний нера́венстваa ≤ x < b )

( а; b ] – числово́й отре́зок, откры́тыйсле́ва(мно́жествореше́ний

нера́венстваa < x ≤ b )

[ a; + ∞ ) – числово́й луч (мно́жествореше́нийнера́венстваx ≥ a )

( a; + ∞ ) – откры́тыйчислово́й луч (мно́жествореше́ний нера́венстваx > a )

( - ∞; b ] – числово́й луч (мно́жествореше́нийнера́венстваx ≤ b ) ( - ∞; b ) – откры́тыйчисловой луч (мно́жествореше́ний

нера́венстваx < b )

( - ∞; + ∞ ) – числова́я пряма́я

115

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА (основные понятия)

Уравнение x 2 + 1 = 0 в {R } не имеет решений (нет действительных корней). Необходимо расширить это множество.

Между точками плоскости М (а, в) и упорядоченными парами действительных чисел (а, в) есть взаимно однозначное соответствие.

	Будем обозначать: С = ( а, в )
	C1 = ( а1, в1 )
	• • • • •
	Сn = ( аn , вn )
Определения.
1.	С = ( а, в ) = 0 а = 0 , в = 0
2.	С1 = С2 а1 = а2 , в1 = в2

3.к С = ( ка, кв )

4.С = С1 + С2 = ( а1 + а2 , в1 + в2 )

5.	С = С1 · С2 = ( а1 , в1 ) • ( а2 , в2 ) = ( а1 а 2 - в1 в2 , а1 в2 + а2 в1 )
6.	С = С1 - С2 С1 = С + С2
7.	С = ( а, в ) и					= ( а, − в ) − сопряженные числа
					С
	С · С = ( а, в ) · ( а, − в ) = ( а2 + в2 , ав – ав ) = (а2 + в2 , 0 )
8.	С = ( а, в ) и				− С = ( − а, − в ) − противоположные числа
		С1
9.			= с сс2 = с1
		С2
10.		Сn = C C C C
						, n Є N
				n

Сложение и умножение коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны:

С1 + С2 = С2 + С1	( С1 + С2 ) + С3 = С1 + ( С2 + С3 )
С1 • С2 = С2 • С1	( С1 • С2 ) • С3 = С1 • ( С2 • С3 )

( С1 + С2 ) • С3 = С1 • С3 + С2 • С3

Множество, построенное таким образом, будем называть множеством

комплексных чисел С.

116

уМ(а; в)

	(0, в)			•				Ось Ох − действительная ось
						R		Ось Оу − мнимая ось
		0	(а, 0)				х	R C
Покажем, что уравнение						х2	+ 1 = 0 имеет решение в С.

Пусть		i =	( 0, 1)		− комплексное число (мнимая единица).

( 0, 1 )2 = ( 0, 1 ) ( 0, 1 ) = ( 0 – 1, 0 + 0 ) = ( – 1 , 0 )
								комплексное число, которое

	i 2 = – 1		или	i 2 + 1 = 0				соответствует действительному
				i – корень				числу (– 1)
					уравнения
	i 1 = i				i 5 = i			i 98 = i 2 = – 1
	i 2	= – 1			•	• • •	•	(98 : 4 = 24 + 2 )
	i 3	= – i
	i 4	= – i 2 = 1

Алгебраическая форма комплексного числа:

С= ( а, в )

С= ( 2, 5 )

С= ( 0, 3 )

С= ( 2, 0 )

С= (–1 , 1 )

Пример.

С = а + в i

С = 2 + 5 i

	С = 0	+ 3 i = 3 i
	С = 2	+ 0• i = 2

С = − 1 + 1 i = − 1 + i

( 2 + 3 i )3 = 23 + 3 · 22 · 3 i + 3 · 2 · ( 3 i )2 + ( 3i )3 = 8 + 36 i − 54 − 27 i = = − 46 + 9 i

117

Тригонометрическая форма комплексного числа:

		r ( cos γ0+ i sin γ0)
С = а + в i	C =	r ( cos γ0+ i sin γ0)

	γ0	= arg C ( 0 ≤ arg C < 2 π )
	r	=	C	− модуль комплексного числа
	r	=	C	− модуль комплексного числа

y		М ( а, в )
		• M ( r, γ )
	γ	в

0	а	x

γ = γ0 + 2kπ , где γ0 − наименьший положительный угол между

положительным направлением оси абсцисс и полярным радиусом ОМ.

Примеры.

Записать в тригонометрической форме:

1) 1 = ?

С = ( 1, 0)

а = 1

в = 0

r = 12 + 02 = 1

γ0 = 0

tg γ0 =

= 0

γ0 = 0

1 = 1 ( cos 0 + i sin 0) = cos 0 + i sin 0

2) − 1 + i

= ?

a = − 1

M(r,γ0 )

в = 1

r = ( −1)2 + 12 = 2

•

γ0 =

3π

γ0 = π − π4 =

3π

− 1

− 1 + i =

2 ( cos

3π

+ i sin

3π

)

118

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ ( формулы )

1•2•3• … •( m – 1) •m = m ! (m Є N)			5 ! = 1•2•3•4•5 = 120
	(эм факториал)		7 ! = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040
(m – n) ! = 1•2•3• … • (m – n – 1) •(m – n)			7 ! = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040
(m – n) ! = 1•2•3• … • (m – n – 1) •(m – n)			7! =		5! 6 7
					5! 6 7	= 42
				5!		= 42
			5!	5!
0 ! = 1	– определение

		Pm = m!	P3	= 3! = 1•2•3 = 6
	(перестановки)

= m(m −1)(m − 2) •... •[m − (n −1)]

или

A mn

(m −n) !

(размещения)

Amn

или

(m − n)!n!

(сочетания)

A3	= 4 3 2 = 24
4				или

A3	=		4!	=	4!	=1 2 3 4 = 24
		(4	−3)!
4				1!

C41 =

3! 4

= 4

−1!) 1!

3! 1!

C43 =

3! 4

= 4

−3)! 3!

1! 3!

						C118 = C113 =	11!	=
						C118 = C113 =	8! 3!	=
		Cmn = Cmm −n					8! 3!	3 105 11
		Cmn = Cmm −n				=	8! 9	3 105 11		=165
			(если n >	m	)	=	8! 1 21		31	=165
				m
				2
				2

Cm0 = 1	Cmm = 1		– определение

119

Бином Ньютона

( x +a)m = Cm0 a0 xm +Cm1 a1 xm−1 +Cm2 a2 xm−2 +Cm3 a3 xm−3 +... + +Cmm−2am−2 x2 +Cmm−1am−1 x +Cmm am x0

или
( x +a)m = xm +	m!	axm−1 +	m!	a2 xm−2 +...
( x +a)m = xm +	(m −1)! 1!	axm−1 +	(m −2)! 2!	a2 xm−2 +...
	(m −1)! 1!		(m −2)! 2!

или
( x +a)m = xm +maxm−1 + m(m −1) a2 xm−2	+...
1 2

Пример.

(x +a)4 = C40a0 x4 +C41a1 x3 +C42a2 x2 +C43a3 x +C44a4 x0 =

=1 1 x4 + 34! !1! ax3 + 2!4!2!a2 x2 + 1!43!!a3 x +1 a4 1 =

= x4 + 4ax3 + 6a2 x2 + 4a3 x +a4

										T4

T	= C k		xm −k ak				– формула общего члена разложения бинома
k +1		m					– формула общего члена разложения бинома
T = T		= C		3 x4−3a 3			=	4!	x1a 3 = 4a 3 x
T = T		= C		3 x4−3a 3			=		x1a 3 = 4a 3 x
4	3+1			4				1! 3!
								1! 3!
			1
	1	1	2	1	1			(треугольник Паскаля ─ для определения
	1		2		1			(треугольник Паскаля ─ для определения
	1	3		3		1		коэффициентов биномиального разложения)
1	4		6		4	1
1	5	10		10		5	1
• •	•		•		•	•		•

( и так далее )

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]