4Решение прикладных задач методами лагранжева анализа конечных изменений
4.1Лагранжев анализ конечных изменений в оценке финансового состояния организации
Финансовая устойчивость организации зависит от ее способности обеспечивать стабильное превышение доходов над расходами [6; 19].
Рассмотрим такой показатель, как коэффициент рентабельности активов ( , англ. Return On Assets), который характеризует способность организации генерировать прибыль без учета качества управления активами [3; 16].
Рентабельность активов = |
Чистая прибыль |
. |
(4.1) |
|
|||
|
Активы |
|
|
Введем обозначения: — плановое значение фактора и + —
фактическое.
Выведем общую формулу для модели кратного типа, где функция
принимает вид ( 1, 2) = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отклонение функции: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 |
|
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
2 + 2 |
2 |
|
|
|||||||||||||
По теореме о промежуточном значении получим: |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 + 1 |
|
|
||||||||
|
= |
|
|
|
|
+ |
|
|
2. |
|
|
||||||||
2 + 2 |
( 2 + 2)2 |
|
|
||||||||||||||||
Приравниваем выражения для непосредственного и лагранжева при- |
|||||||||||||||||||
ращений, чтобы найти : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= ; |
|
|
|
|
|
(4.2) |
|||||
|
1 + 1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 + 1 |
|
(4.3) |
||||||||||
|
|
− |
|
= |
|
|
+ |
|
2. |
||||||||||
|
2 + 2 |
2 |
2 |
+ 2 |
( 2 + 2)2 |
||||||||||||||
49
Получаем выражение для :
|
= √ |
|
2( |
|
2 |
2 2 |
) |
− |
|
2 . |
|
|
(4.4) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
При этом коэффициенты факторного влияния равны: |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
= |
|
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
(4.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 = |
|
|
|
1 + 1 |
|
. |
|
|
|
|
(4.6) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2 + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Таким образом, в соответствии с обозначениями для коэффициента |
|||||||||||||||||||||||||
рентабельности активов получаем следующие искомые выражения: |
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и = |
|
|
|
+ |
, |
(4.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( + )2 |
|||||||||||||||
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
. |
|
(4.8) |
|||||||||
|
|
|
|
|
+ ) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Теперь рассмотрим коэффициент соотношения заемных и собственных средств, который характеризует зависимость компании от за-
емного капитала [16]. |
|
|
|
Kc = |
|
. |
(4.9) |
|
|||
|
|
|
|
Увеличение показателя — признак зависимости от кредиторов и снижения финансовой устойчивости организации.
Так как коэффициент соотношения собственных и заемных средств, представленный формулой (4.9), также является кратной моделью, то подставим обозначения в формулы (4.4–4.7) для определения коэффициентов факторного влияния.
Получим
= |
1 |
и = |
+ |
, |
(4.10) |
|
+ |
( + )2 |
|||||
|
|
|
|
50
где |
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
− |
. |
(4.11) |
|
( |
|
||||||
|
|
|
+ ) |
|
|
|
|
Средневзвешенные затраты на капитал ( , англ. Weight Average Cost of Capital) — показатель, который используется при оценке необходимости инвестирования в различные ценные бумаги, проекты и дисконтировании ожидаемых доходов от инвестиций и измерении сто-
имости капитала организации [3; 4]. |
|
|
|
|
|
= (1 − ) |
|
+ |
|
, |
(4.12) |
|
|
||||
|
|
||||
где — корпоративный налог или ставка налога на прибыль (англ.
Corporate Tax rate);
— стоимость заемного капитала (англ. Cost of Debt);
— стоимость акционерного капитала (англ. Cost of Equity);
— сумма заемного капитала (англ. Market value of the firm’s
Debt);
— сумма собственного капитала (англ. Market value of the
firm’s Equity);
— суммарная стоимость заемного и собственного капиталов.
При этом
= + . |
(4.13) |
Данная модель является смешанной, так как одновременно содержит принципы построения аддитивной, мультипликативной и кратной детерминированных моделей.
Перед началом моделирования покзателя с помощью лагранжева анализа конечных изменений упростим выражение (4.12).
Учитывая формулу (4.13), получим:
= (1 − ) |
|
|
|
(4.14) |
|
|
+ |
|
. |
||
+ |
+ |
||||
Можно заметить, что в формуле (4.14) присутствует отношение вида (4.9), тогда
1 |
|
|
(4.15) |
||
= (1 − ) |
|
+ |
|
. |
|
1 + |
1 + |
||||
51 |
|
|
|
|
|
В случае постоянной ставки налога на прибыль ( + ) = ( ) и
обозначения (1 − ) = формула примет вид
= |
1 |
+ |
|
|
(4.16) |
||
|
|
1 + |
|||||
|
1 + |
|
|||||
или |
+ |
|
|
||||
= |
. |
(4.17) |
|||||
|
|
|
|
||||
Перейдем непосредственно к моделированию показателя средневзвешенных затрат на капитал с помощью лагранжева анализа конечных изменений. Введем обозначения: — плановое значение фактора и
+ — фактическое.
Выведем общую формулу для модели смешанного типа, где функ-
ция принимает вид ( 1, 2, 3) = |
1 + 2 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отклонение функции: |
|
1 + 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 + 1 + ( 2 + 2)( 3 + 3) |
− |
1 + 2 3 |
|
(4.18) |
||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
1 + 3 + 3 |
|
|
|
1 + 3 |
||||||||
По теореме о промежуточном значении получим: |
|
|
||||||||||||
= |
|
1 |
1 + |
3 + 3 |
2 + |
(4.19) |
||||||||
3 |
|
|
||||||||||||
|
|
+ 3 + 1 |
3 + 3 + 1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
+ |
2 + 2 − 1 − 1 |
3. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
( 3 + 3 + 1)2 |
|
|
|||||||
Приравниваем выражения для непосредственного и лагранжева приращений, чтобы найти :
= .
Получаем выражение для :
√
( 3 + 1)( 3 + 3 + 1) − ( 3 + 1)
= .
3
(4.20)
(4.21)
52