2 Лагранжев анализ конечных изменений

2.1Основные понятия и определения

При исследовании перечисленных в пункте 1.4 методов было установлено, что все они имеют недостатки, влияющие на точность разложения детерминированных моделей [12; 21; 22]. При этом существует универсальный метод, позволяющий определить влияние изменения факторов на изменение результирующего показателя точным образом, —

лагранжев анализ конечных изменений (ЛАКИ) [9; 12].

Примем обозначение: — приращение Лагранжа результирующего показателя.

Дифференциальная теорема Лагранжа о среднем значении для функции нескольких переменных вида (1.1) позволяет перейти к формуле

Пусть = + ( ; + ), где (0; 1), тогда получим

Здесь — параметр, который используется при анализе модели в случае, когда требуется определить точное влияние изменения факторов на изменение величины результирующего показателя [19].

Таким образом, опираясь на формулу Лагранжа, непосредственное приращение , выраженное формулой (1.2), эквивалентно приращению Лагранжа, то есть

Параметр определяется из полученного выражения (2.3). Лагранжев анализ конечных изменений дает возможность не толь-

ко представить изменение результирующего показателя от приращений каждого из его компонентов , но и определить факторное влияние,

13

используя следующую формулу

при этом структура факторной системы сохраняет вид

Из полученных формул следует, что использование лагранжева анализа конечных изменений позволяет решить проблему неразложимого остатка, величина которого оказывается равномерно распределенной между факторами.

Лагранжев анализ конечных изменений (ЛАКИ) направлен, в первую очередь, на решение важной и распространённой на практике задачи поиска величин влияния изменения факторов на изменение определяемого ими результирующего показателя, что определяет большое прикладное значение результатов исследований, направленных на качественное улучшение методологии данного вида анализа.

Использование дифференциальной теоремы Лагранжа о промежуточной точке в условиях, когда приращения факторов являются произвольными конечными величинами, позволяет проводить факторный анализ в соответствии с универсальной методикой, применимой к различным моделям и учитывающей функциональную структуру взаимосвязей между факторами [9].

Такие проблемы оказались актуальными в условиях перехода к рыночной экономике в нашей стране в связи с некоторыми экономическими производственными задачами [9], в частности — в связи с задачами экономического факторного анализа (ЭФА), известные к тому времени аналитические методы которого [5] опирались на наиболее распространённый аппарат математического анализа [25], оперирующий с малыми приращениями величин; это было приемлемо в условиях плановой экономики, но не соответствовало рыночной, когда приращения величин уже могли быть не малыми, оставаясь, однако, при этом конечными.

14

2.2Различительные исчисления

Описанная в предыдущем пункте дифференциальная теорема Лагранжа о промежуточной точке (формула конечных приращений) представляет собой зависимость классического (ньютоновского) конечного изменения результирующего показателя некоторой системы от классических конечных изменений факторов этой системы. Однако изменение системы не всегда может представлять собой приращение. Далее представлены альтернативные формы дифференциальной теоремы Лагрнажа о промежуточной точке.

Оценку изменения величины называют различителем. Существуют различные формы различителей, порождающих соответственно различные различительные исчисления. В классическом ньютоновском математическом анализе в качестве различителя рассматривается изменение величины в форме конечной разности (приращения) финального и начального значений со знаком или без (в зависимости от специфики задачи). Однако возможно рассмотреть и другие неклассические формы раличителей, например, по аналогии с конечными разностями, конечные частные (индексы). Такой подход даже лежит в основе целой теории — квантового анализа [15]. В этой теории предполагается, что пропущен предельный переход при определении производной, и изменения величин определены как = 0 + (аддитивный вариант) и = · 0 (мультипликативный вариант). Таким образом, определены «допредельные» – производная ( 0) и –производная ( 0):

Итак, наряду с приращением (разностью) = − 0 определим ещё один вариант оценки конечного изменения величины (разли-

читель) — конечный индекс (частное) = (при 0 ̸= 0).

0

Далее рассмотрим построение на основе известной дифференциальной теоремы Лагранжа о промежуточной точке ее аналогов, где в качестве конечных изменений (различителей) функции/переменных рассматриваются комбинации конечных приращений и индексов.

15

2.3Построение рабочих моделей анализа конечных изменений функций

Определим вектор значений начальных состояний некоторого пока-

ных операций поля действительных чисел — сложению — определяет классические аддитивные различители аргументов = ( 1, ..., ) =

Основной простейшей задачей различительного исчисления является получение зависимостей изменения значения функции в зависимости от изменений значений аргументов этой функции. В таком понимании дифференциальная теорема Лагранжа о промежуточной точке (2.2) представляет собой основною модель классического ньютоновского аддитивного различительного исчисления и имеет структуру, соответствующую

(2.7) с параметром = ∂ .

∂

Путем логарифмирования (потенцирования) аргумента (функции) возможно получение основной модели мультипликативного различительного исчисления и смешанных моделей мультипликативно-адди- тивного и аддитивно-мультипликативного различительных исчислений.

Второе функциональное уравнение Коши имеет вид

16

его решения — аддитивно-мультипликативные гомоморфизмы поля действительных чисел — имеют структуру

Основная модель аддитивно-мультипликативного различительного исчисления, полученная ниже, является решением второго функционального уравнения Коши (2.8) и имеет структуру, схожую с (2.9).

Третье функциональное уравнение Коши имеет вид

его решения — мультипликативно-аддитивные гомоморфизмы поля действительных чисел — имеют структуру

Основная модель мультипликативно-аддитивного различительного исчисления, также полученная ниже, является решением третьего функционального уравнения Коши (2.10) и имеет структуру, схожую с (2.11).

Четвертое функциональное уравнение Коши имеет вид

его решения — мультипликативные гомоморфизмы поля действительных чисел — имеют структуру

Основная модель мультипликативного различительного исчисления, приведенная ниже, является решением четвертого функционального уравнения Коши (2.12) и имеет структуру, схожую с (2.13).

17

Получим перекрестные зависимости для основных моделей аддитивного, мультипликативно-аддитивного и аддитивно-мультипликативного различительных исчислений функций многих переменных, имеющие структуры, соответствующие решениям функциональных уравнений Коши.

Пусть определена функция = ( 1, ..., ), такая что > 0.

1. Для получения основной модели мультипликативно-аддитивно- го различительного исчисления определим индекс функции и соответствующие приращения ее аргументов .

Положим следующую замену переменных в исходной модели = = , = ln , следовательно, = exp( ). Тогда выполняется равенство

= ln = ln ( 1, ..., ) = ( 1, ..., ).

Значит,

= ,

ln = ln (... , + , ...) = ln( (..., + , ...)) − ln (..., , ...) =(..., , ...)

= ( 1, ..., ) = ( ) = .

Теорема Лагранжа о промежуточной точке тогда принимает следу-

ющий вид

∑

= ′ ( ) · .

=1

После возврата к исходным переменным имеем

Определим вид производной функции F:

После окончательного возврата к исходным переменным имеем

18

Структура полученной модели (2.14) соотвествует структуре решения (2.9) второго функционального уравнения Коши (2.8) с точностью до

2. Для получения основной модели аддитивно-мультипликативно- го различительного исчисления определим приращение функции и

соответствующие индексы ее аргументов .

Положим следующую замену переменных в исходной модели = = ln , = , следовательно, = exp( ). Тогда выполняется равенство

= = (exp( 1), ..., exp( )) = ( 1, ..., ).

Значит,

ln = ln + = ln( + ) − ln = ,

= .

Теорема Лагранжа о промежуточной точке тогда принимает следу-

ющий вид

∑

= ′ ( ) · .

=1

После возврата к исходным переменным имеем

Определим вид производной функции F:

′ ( ) = ( (..., exp( ), ...))′ = ′(..., exp( ), ...) · exp( ).

После окончательного возврата к исходным переменным имеем

19

Структура полученной модели (2.15) соотвествует структуре решения (2.11) третьего функционального уравнения Коши (2.10) с точностью до

∂

= ∂ ( ) · .

3. Положим следующую замену переменных в исходной модели

= ln , = ln , следовательно = exp( ), = exp( ). Тогда выполняется равенство

= ln = ln (exp( 1), ..., exp( )) = ( 1, ..., ).

Для получения основной модели мультипликативного различительного исчисления определим соответствующие индексы функции

и ее аргументов . Тогда

ln = ln + = ln( + ) − ln = ,

ln = ln (... , + , ...) = ln( (..., + , ...)) − ln (..., , ...) =(..., , ...)

= ( 1, ..., ) = ( ) = .

Теорема Лагранжа о промежуточной точке тогда принимает следу-

ющий вид

∑

= ′ ( ) · .

=1

После возврата к исходным переменным имеем

20