можно записать частный случай (3.6) и обобщение (3.12), которое должно иметь номер (3.19) и представлено ниже как вторая часть цепного правила (3.20) АКИ для ФДП рассматриваемой специальной структуры. Последнее получено из сравнения (3.17) и (3.19) и выражает связь значений лагранжевых параметров , , в виде частного случая (3.7) и обобщения (3.13):

+ ′ ( ( + , + ), ( + , + )))× × ′ ( + , + ) +

+ ′ ( ( + , + ), ( + , + )))× × ′ ( + , + ) +

+ ′ ( ( + , + ), ( + , + )))× × ′ ( + , + ) .

Специальная структура рассмотренных в данном разделе ФДП служит подготовкой к рассмотрению содержательного примера цепного АКИ,

аименно — цепного ЭФА.

3.2Цепной экономический факторный анализ

В цепном ЭФА ([1], раздел 2; [4], раздел 2.3) простейшей интерпретацией отклика является стоимость, а факторов — цена и объём продукта. Используются простейшие двухфакторные мультипликативные моде-

36

ли = и = и агрегирующая их аддитивная модель = + ; суперпозицией является четырёхфакторная аддитивно-мультипликативная модель ^ = + .

Непосредственное и лагранжево приращения зависимости = , с учётом ′ = , ′ = , связаны соотношением (3.14):

= ( + )( + ) − = + + =

=(( ) ) = ( + ) + ( + ) ,

(0,1),

средняя (а не некоторая промежуточная) точка интервала [ , + ]

( от — среднее), аналогично для ; поэтому для дальнейшего, упрощая обозначения, можно записать

Аналогично (3.15) в данном случае запишется в виде

Для аддитивной модели = + , с учётом ′ = ′ = 1, из (3.16) следует = + ; непосредственное и лагранжево приращения совпадают; параметр [0,1] может любым; в соотношении (1.17) он не участвует, так что с учётом (3.21), (3.22) оно записывается в виде

С другой стороны, для сложной функции ^ = + , с учётом

^′ = , ^′ = , ^′ = , ^′ = , сравнение лагранжева и непосредственного приращений приводит к = 12 и (3.19) совпадает с (3.17), то есть с (3.23).

Одна из задач цепного ЭФА — провести анализ двухфакторной аддитивной агрегирующей модели = + на основе её двухфакторного мультипликативного представления, аналогичного моделям и ; для

37

него используются обозначения = + = = . Лагранжев параметр для агрегирующей модели , обозначаемый (вместо для ) через , как и выше параметры , , равен 12, так что

Переход от модели ^ = + к соответствующей модели ^ при интерпретации факторов и как объёмов основан на том, что соответствующий им фактор является аддитивным, = + , как и отклик

; фактор же — цена — аддитивным не является, ̸= + . Как и выше для , для аддитивного фактора непосредственное и лагранжево приращения совпадают; справедливы соотношения = + ,

= + .

Способ простой группировки в цепном ЭФА [1,4], с учётом = = ^ = = ^, заключается в получении из (3.23) при помощи алгебраических преобразований следующего представления для (3.24):

= [ + ] + [ + ] =

(3.25)

Этим определены некоторые выражения для и неаддитивного фактора .

С другой стороны, способ усреднения неаддитивного фактора по аддитивному в цепном ЭФА [1,4], альтернативный способу простой группировки, основан на представлении

и использует непосредственные приращения ^ и (см. замечание после (2); при этом учитывается, что для непосредственное и лагранжево

38

Тем самым при этом способе цепного ЭФА не используется лагранжево приращение фактора . Его формирование и определение соответствующего лагранжева параметра является самостоятельной задачей.

3.2.1 Функция четырёх переменных специальной структуры

+( + )[( − ) + ( − )] · + [( + ) + ( + )]2

+

+( + ) + ( + ) · +

+( + )[( − ) + ( − )] · [( + ) + ( + )]2

или, после преобразований,

(( ^) ) = {[( + )( + )] 2+

+[2( + )( + )] +

+[( + )( + ) + ( − )( + )]}/[( + ) + ( + )]2.

39

Соотношение (( ^) ) = , где непосредственное приращение ^

содержится в (3.26), приводит к квадратному уравнению относительно лагранжева параметра :

2 + + = 0,

коэффициенты которого

= ( + ) , = 2( + ) ,

где = ( + ) − ( + ) ,

= ( + )( + ) + ( − )( − ) − ( + )2 .

Решение этого уравнения в буквенных обозначениях входящих в него величин громоздко. Ограничимся некоторыми численными примерами.

Пример 3.4.

Пример 3.5.

40

= 2 · (5 + 3) · (−4) = −64,

= (5 + 3) · (5 · 1 + 3 · (−1)) + (1 − 2) · (5 · 2 − 3 · (−2))−

Пример 3.6.

= (1 · (−1) + 2 · 3) − (−1 + 3) · 2 = 1,

= (−1 + 3) · 1 = 2,

= 2 · (1 + 1) · 1 = 4,

= (1 + 1) · (1 · 1 + 1 · 2) + (1 − 1) · (1 · 3 − 1 · (−1))−

−(1 + 1)2 · 2 = 6 − 8 = −2,

√

2 2 + 4 − 2 = 0, 2 + 2 − 1 = 0 = −1 − 2 / [0,1],

√

= 2 − 1 ≈ 1,414 − 1 = 0,414 [0,1].

Таким образом, в соответствии с теоремой Лагранжа в каждом примере находится Лагранжев параметр, принадлежащий интервалу [0,1], что соответствует связи с интервальным анализом. Известно [3], что для векторной функции векторного аргумента = ( ), R , R , теорема о промежуточной точке с единой для всех составляющих функций

, = 1, ..., , промежуточной точкой, вообще говоря, не имеет места. Специальная формулировка теоремы Лагранжа для векторных функций 41