После окончательного возврата к исходным переменным имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
(2.16) |
|
|
|
|
|
|
= |
( ) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
∂ |
|
|
||
где |
= |
|
|
· |
|
( ) — частные эластичности в промежуточной |
||
( 1, ..., ) |
∂ |
|||||||
точке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Структура полученной модели (2.16) соотвествует структуре реше- |
|||||||
ния (2.13) четвертого функционального уравнения Коши (2.12) с точно-
стью до |
|
|
∂ |
|
|
|
|||
= |
|
· |
|
( ). |
( 1, ..., ) |
∂ |
|||
Коэффициентам эластичности можно дать следующую прикладную интерпретацию: они показывают, на сколько процентов увеличится значение результирующего показателя (функции) при увеличении соответствующих факторов (аргументов) на 1%.
2.4Лагранжев анализ конечных изменений функций специальной структуры
В данном разделе приведены два примера применения лагранжева анализа конечных изменений к функциям многих переменных специальной структуры, практические приложения которых представлены в пункте 4.2.
Рассмотрим класс дробно-рациональных функций вида
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1 |
, ..., ) = |
+ |
∑ |
|
∑ |
2 |
, ≥ 0, |
0, , ≥ 0. |
(2.17) |
|
|
||||||||||
|
|
0 |
=1 |
+ |
=1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
Начальным значениям аргументов 0, = 1, ..., отвечает начальное значение функции ( 01, ..., 0 ). Аргументы претерпевают изменения
, которые порождают новые значения аргументов 0 + и функции
( 01 + 1, ..., 0 + ).
21
Частные производные модели (2.17) имеют вид
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
0 + |
∑ |
2∑ |
2 |
|
||
. |
|||||||||
∂ ( , ..., ) |
+ 2 |
− |
|
=1 |
=1 |
|
|
||
∂ |
|
|
=1 |
|
( =1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
С одной стороны, непосредственное приращение функции может быть вычислено как
( ) = ( 10 + 1, ..., 0 + ) − ( 10, ..., 0 ), |
(2.18) |
а с другой стороны, лагранжево приращение
( ) = ∑ ∂∂ · ( 01 + · 1, ..., 0 + · ). (2.19)
=1
Приравнивая выражения (2.18) и (2.19) и решая полученное уравнение относительно , получаем:
|
|
− =1 + |
√ |
=1 |
=1 ( 0 |
+ ) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = |
∑ |
|
|
∑ |
∑ |
|
, |
(2.20) |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
||
|
− =1 − |
√ |
|
|
|
|
|
|||
|
=1 |
=1 ( 0 |
+ ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
|
∑ |
|
|
∑ |
∑ |
|
|
. |
(2.21) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑
=1
В силу предположения о положительности значений аргументов и их приращений, только значение (2.20) удовлетворяет условию теоремы Лагранжа о принадлежности параметра промежуточной точки промежутку (0; 1).
Тогда получаем следующие модели для анализа конечных изменений класса дробно-рациональных функций вида (2.17):
22
—аддитивная модель (анализ с использованием приращений как оценок конечных изменений показателя и факторов) по аналогии с (2.7)
|
∂ |
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
(2.22) |
( 1, ..., ) = |
∂ |
( ) · = |
· , |
|
=1 |
|
|
=1 |
|
где — коэффициенты факторного влияния:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ 2 ( + ) |
|
0 + |
( + ) + |
∑ |
( + )2 |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
2 |
|||||
|
|
|
|
− |
=1 |
|
=1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
=1 ( + ) |
|
|
|
( =1 ( + )) |
|
|
||||
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
—мультипликативная модель (анализ с использованием индексов как оценок конечных изменений показателя и факторов) по аналогии с (2.16)
|
|
|
= |
∏ |
(2.23) |
, |
||
|
|
|
|
=1 |
|
где — коэффициенты эластичности переменных (факторов):
|
|
= + · |
· |
+ 2 ( + ) |
− |
|||||||||
|
|
|
|
( + · ) |
|
( + ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
0 + |
( + ) + |
( + )2 |
||||||
|
+ |
|
∑ |
|
|
|
∑ |
2 |
; |
|||||
|
|
=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|||||
− |
( + · ) |
· |
|
|
|
( =1 ( + )) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
—мультипликативно-аддитивная модель (анализ с использованием индекса как оценки конечного изменения показателя и приращений как оценок конечных изменений факторов) по аналогии с (2.15)
|
(exp |
( ( ) |
· ∂ ( )) ) |
|
(2.24) |
|
= =1 |
; |
|||||
∏ |
|
1 |
|
∂ |
|
|
— аддитивно-мультипликативная модель (анализ с использованием приращения как оценки конечного изменения показателя и индексов
23
как оценок конечных изменений факторов) по аналогии с (2.15))
|
(∂ ( ) · ) |
· ln |
(2.25) |
|
= =1 |
||||
∑ |
|
∂ |
|
|
Рассмотрим еще один класс дробно-рациональных функций вида
( ) = + |
|
|
|
+ , |
, , = . |
(2.26) |
|
∑ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
∑ ∑ |
∑ |
|
|
|
||
|
|
|
=2 |
|
|
|
=1 |
=1 |
=1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть аргументы модели (2.26) получили конечные приращения и приняли значения + , тогда функция ( ) также получила приращение и приняла значение ( + ). Тогда параметр средней точки такой модели:
|
√ |
|
1 |
( |
+ 1 ) |
− |
1 |
|
|
= |
|
1 |
|
|
. |
(2.27) |
|||
|
|
|
1 |
|
Значения частных производных в модели (2.26) есть не что иное, как коэффициенты факторного влияния, показывающие ту долю, которую конечное изменение соотвествующего аргумента (фактора) внесло в конечное изменение функции (показателя).
В п. 4.2 представлено практическое применение моделей (2.17) с найденным значением промежуточной точки (2.20) и (2.26) с найденным значением параметра к исследованию процесса функционирования регулируемого пересечения городских магистралей и оценке деятельности профессорско-преподавательского состава университета соотвественно.
24