3Цепной лагранжев анализ конечных изменений и его модификации

3.1Цепной анализ конечных изменений. Связи с интервальным анализом и экономическим факторным анализом

Использование известного метода лагранжева анализа конечных изменений позволяет рассчитать элементы структуры факторной системы таким образом, что каждый фактор модели равноправен по отношению к другим, то есть они являются относительно друг друга независимы, так как при этом не используются никакие априорные предположения о значимости или приоритете того или иного фактора. Также, применение дифференциальной теоремы Лагранжа о промежуточной точке позволяет решить проблему неразложимого остатка, величина которого оказывается распределенной между факторами, причем этот неразложимый остаток распределяется между факторами поровну. Использование упомянутой теоремы в условиях, когда приращения факторов являются произвольными конечными величинами, позволяет проводить факторный анализ в соответствии с универсальной методикой, применимой к различным моделям и учитывающей функциональную структуру взаимосвязей между факторами. Поэтому предлагается рассмотреть и развить методы применения теоремы Лагранжа для сложных функций двух и более переменных.

Адекватный актуальным задачам аппарат экономического факторного анализа (ЭФА) также содержится в классическом математическом анализе. Его основой является дифференциальная теорема Лагранжа о среднем значении, известная также как теорема о промежуточной точке или формула конечных приращений. Систематическое развитие ЭФА на этой основе представлено в работе [10] (в последнем издании [26] содержится указание на работу [10]).

Следует указать на связь теоремы Лагранжа с другой актуальной областью современной прикладной математики — интервальным анализом [6]. Эта связь основана на том, что промежуточная точка лежит в интервале изменения анализируемой величины. В интервальным анализе

25

именно на теореме о среднем значении основана одна из систематически и эффективно используемых форм интервальных функций, а именно —

–форма ( от «mean value» – среднее значение), известная также как центрированная функция включения и обладающая большей асимптотической точностью, чем другие формы представления интервальных функций.

В ЭФА наряду с приращениями величин анализируются и другие меры их изменения, например, относительные приращения и индексы, в связи с чем потребовались соответствующие модификации теоремы Лагранжа [11]. В настоящее время известны её применения в задачах, отличных от экономических; например, [8]. Всё это позволяет охарактеризовать дальнейшее развитие ЭФА как лагранжев анализ конечных изменений (ЛАКИ).

Важным разделом ЭФА является цепной ЭФА, некоторые практические методы которого представлены в [9,10]. С позиций математического анализа цепной ЛАКИ может трактоваться как применение дифференциальной теоремы Лагранжа к сложным функциям (суперпозициям или композициям функций); простейший пример такого применения содержится в [6], однако систематического развития такого применения в доступной литературе обнаружено не было. Следует отметить, что дифференциал сложной функции, являясь приближённым представлением её приращения, обладает известным свойством инвариантности формы, основанном на (аналогично именуемом) цепном правиле дифференцирования сложной функции [25].

3.1.1Вариант общей постановки и решения задачи цепного лагранжева анализа конечных изменений

Пусть от факторов , = 1, ..., зависят откликов , = = 1, ..., . Иначе говоря, задана векторная функция векторного аргумента

= ( ), R , R , или, в развёрнутой форме,

... = (..., , ...), ...

так что каждый отклик , = 1, ..., , задаётся скалярной функцией векторного аргумента. Пусть факторы получили конечные приращения

26

, = 1, ..., ; при этом вектор откликов получает соответствующее непосредственное приращение = ( + )− ( ), так что ( + ) = = ( ) + . Каждый отклик получает непосредственное приращение

Далее всюду предполагается существование всех используемых производных.

Формула конечных приращений позволяет представить каждое из них в форме лагранжева приращения:

(L от Lagrange) со своим для каждого из них значением лагранжева параметра (0, 1). Теорема Лагранжа в общем случае не указывает способ нахождения этих параметров, она не конструктивна, относится к «чистым» теоремам существования; однако, как показано ниже, для многих конкретных функций значения параметров могут быть вычислены путём решения относительно них уравнений

(..., , ...). Для её непосредственного приращения = ( + )− ( )

справедливо аналогичное приведенному выше представление в форме лагранжева приращения

= (( ) ) = ∂ ( + ) , (3.2)

∑

=1 ∂

из которого для конкретных функций могут быть вычислены значения лагранжева параметра . Следует заметить, что в приложениях иногда используется именно это представление лагранжева приращения агреги-

27

рующей величины, использующее непосредственные приращения откликов (некоторые примеры приведены ниже).

Но чаще более важным — и более логичным — оказывается представление лагранжева приращения агрегирующей величины, использующее лагранжевы же приращения откликов. Так как каждый отклик имеет своё лагранжево приращение, то последнюю формулу целесообразно переписать в виде

Вводя специальное обозначение для результата подстановки в последнюю формулу лагранжевых приращений отдельных откликов вместо непосредственных приращений, можно записать

Используя выражения (3.1) для лагранжевых приращений откликов в множителях этой формулы, её можно переписать в виде

В этой формуле специальным образом учтён суперпозиционный характер агрегирующей величины , которая является сложной функцией

28

(суперпозицией или композицией) факторов, зависящей от них через отклики.

Эту функцию можно рассмотреть и непосредственно:

^( ) = ( ( )).

Для неё также могут быть записаны непосредственное и лагранжево приращения:

∑ ∂ ^^ = ^( + ) − ^( ) = ∂ ( + ) · = (( ^) ) .

=1

Как и ранее, рассматривая это соотношение как уравнение относительно лагранжева параметра , можно вычислить его значения для конкретных функций .

Выше упоминалось свойство инвариантности формы дифференциала сложной функции; аналогичным свойством обладает и непосредственное приращение сложной функции:

^ = ^( + ) − ^( ) = ( ( + )) − ( ( )) =

(3.4)

= ( ( ) + ) − ( ( )) = ( + ) − ( ) = .

Выше указано, что свойство инвариантности формы дифференциала сложной функции основано на цепном правиле её дифференцирования; его применение к функции ^ = ( ( )) приводит к следующим выражениям для её производных, справедливым при всех значениях :

Использование (3.4) и (3.5) в лагранжевом приращении функции ^

позволяет записать приращение в виде

29

= ^ = (( ^) ) =

(3.6)

Таким образом, получены два разложения (3.3) и (3.6) непосредственного приращения величины , агрегирующей отклики по приращениям факторов, по-разному использующие лагранжевы приращения отдельных откликов и самой этой величины. Следует подчеркнуть, что коэффициенты этих разложений, вообще говоря, различаются. Приравнивание этих разложений приводит к соотношению, связывающему значения лагранжевых параметров , = 1, . . . , , , (0,1):

Соотношение (3.7) может служить контрольным при применении теоремы Лагранжа к рассмотренному варианту суперпозиции функций, то есть в цепном ЛАКИ. Оно может трактоваться как цепное правило теоремы Лагранжа для сложной функции или правило цепного ЛАКИ.

3.1.2 Функции одного переменного

Пусть зависимость отклика от фактора моделируется функцией одного переменного = ( ). Её непосредственное и лагранжево приращения связаны соотношением, которое является частным случаем (3.1):

где промежуточная точка + , вообще говоря, не единственная, принадлежит интервалу [ ; + ] , что соответствует связи с интервальным

30

анализом. Ниже приведены простейшие примеры, в которых значения параметра (0, 1) находятся путём решения этого уравнения.

Пусть = ( ) подобно предыдущему записывается частный случай (3.2):

Подстановка (3.9) в (3.10) приводит к частному случаю (3.3):

= (((( ) ) ) ) = ′ ( + ′ ( + ) ) ′ ( + ) . (3.10)

С другой стороны, записав для сложной функции ^ = ( ( )) непосредственное и лагранжево приращения

и используя (3.4) и цепное правило дифференцирования сложной функции одного переменного, частный случай (3.5),

можно записать частный случай (3.6):

Из сравнения (3.10) и (3.12) связь значений лагранжевых параметров , , может быть представлена в виде частного случая (3.7):

′ ( ( ) + ′ ( + ) ) ′ ( + ) =

(3.13)

= ′ ( ( + )) ′ ( + ) .

Соотношение (3.13) может служить контрольным при применении теоремы Лагранжа к сложной функции одного переменного. Оно может трактоваться как цепное правило теоремы Лагранжа для сложной функ-

31

ции одного переменного или правило цепного АКИ для функции одного переменного.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 3.1. Пусть = ( ) = 2, так что ′( ) = 2 ,

= ( + )2 − 2 = 2( + ) ,

откуда = 12. Следует отметить, что в данном случае значение параметра единственно и не зависит от и .

Пусть = ( ) = 2; как и в предыдущем случае, = 12. Пусть теперь ^( ) = ( ( )) = ( 2)2 = 4, так что

^′( ) = 4 3, ^ = ( + )4 − 4 = (( ^) ) = 4( + )3 ,

откуда

или

√

= 3 3 + 32 2 + ( )2 + 14( )3 − .

Вэтом случае значение параметра уже зависит и от , и от . Соотношение (3.13) принимает вид

2( 2 + · 2( + ) ) · 2( + ) = 2( + )2 · 2( + )

или, после преобразований,

2( + ) + · 2( + )2 = ( + )3.

Подстановка значений = = 12 приводит к выражению

3 + 32 2 + ( )2 + 14( )3 = ( + )3,

из которого выше было получено значение , так что соотношение (3.13), связывающее значения параметров, выполняется.

32

и связывает только параметры и . Подстановка значения каждого из них приводит к выражению, из которого выше было получено значение другого, так что соотношение (3.13), связывающее значения параметров,

33

Пусть = ( ) = 2, = 12. Пусть теперь ^( ) = ( ( )) = √ 2 = = , как и в предыдущем примере. Соотношение (3.13) принимает вид

√

или 2 ( + ) + = 2( + ).

Его выполнение проверяется аналогично предыдущему.

3.1.3 Функции двух переменных специальной структуры

Пусть зависимость отклика от двух факторов моделируется функцией двух переменных (ФДП) = ( 1, 2). В дальнейшем используются более удобные обозначения: для отклика — , для факторов — , , так что = ( , ). Непосредственное и лагранжево приращения этой зависимости связаны соотношением, которое является частным случаем (3.1) и обобщением (3.8):

= ( + , + ) − ( , ) =

= (( ) ) = ′ ( + , + ) + (3.14)

+ ′ ( + , + ) ) ,

(0,1).

где значения параметра могут быть найдено путём решения этого уравнения, а промежуточная точка ( + , + ) принадлежит интервалу [( , ); ( + , + )], что соответствует связи с интервальным анализом.

Аналогично для отклика , зависящего от двух других факторов

, , то есть для ФДП = ( , ), справедливо соотношение

= ( + , + ) − ( , ) =

= (( ) ) = ′ ( + , + ) + (3.15)

+ ′ ( + , + ) ) ,

(0,1).

34

Пусть = ( , ); подобно предыдущему записывается частный случай (3.2) и обобщение (3.9):

Раскрытие выражений (3.14), (3.15) для лагранжевых приращений откликов , в множителях этой формулы и перемена порядка суммирования приводит к соотношению, которое является частным случаем (3.3) и обобщением (3.10); это соотношение имеет номер (3.17); оно представлено ниже как первая часть цепного правила (3.20) АКИ для ФДП рассматриваемой специальной структуры.

Сдругой стороны, записав для сложной функции ^( , , , ) =

=( ( , ), ( , )) непосредственное и лагранжево приращения

^ = ^( + , + , + , + ) − ^( , , , ) =

= (( ^) ) = ^′ ( + , + , + , + ) +

+^′ ( + , + , + , + ) + (3.18) +^′ ( + , + , + , + ) +

+^′ ( + , + , + , + ) ,

(0,1).

Используя (3.4) и цепное правило дифференцирования сложной ФДП — частный случай (3.5) и обобщение (3.11):

35