скалярного аргумента получена в [9]. Теорема о среднем для функций действительного переменного со значениями в более общих пространствах формулируется в виде неравенства [10].

3.3Зависимость от матрицы факторов

В разделах 3.2–3.4 представлен случай, когда в качестве сложной зависимости рассматривается скалярная функция векторного аргумента, в качестве аргумента которой выступает один лишь вектор факторов ,

= 1, . . . , . На практике же распространенной является задача, когда каждый элемент вектора откликов зависит от своего набора факторов (например, задача о рейтинге преподавателей и кафедры, хотя здесь рассматривается комбинация скалярных функций рейтинга преподавателей (то есть 1, = 1) от матрицы факторов (показателей результативности деятельности преподавателей; случай со скалярной функцией и векторным аргументом рассмотрим позднее). Рассмотрим общую постановку и решение данной задачи.

Пусть от × факторов , = 1, . . . , , = 1, . . . , зависят откликов , = 1, . . . , , то есть, задана векторная функция от векторного аргумента, но у каждого элемента этой векторной функции набор аргументов индивидуальный: = ( ), R × , R , или:

. . .

= (. . . , , . . .),

. . .

где каждый отклик , = 1, . . . , , по сути задаётся скалярной функцией векторного аргумента.

Пусть факторы получили конечные приращения , = 1, . . . , ,

= 1, . . . , , а вектор откликов получает соответствующее приращение по определению = ( + ) − ( ), где ( + ) = ( ) + . Каждый отклик получает непосредственное приращение:

= ( . + .) − ( .), = 1, . . . , .

42

Предполагается, что существуют все необходимые производные. В форме лагранжева приращения получаем:

где лагранжев параметр (0,1).

Пусть — величина, агрегирующая отклики , = 1, . . . , , в виде скалярной функции векторного аргумента = ( ) = (. . . , , . . .). Для её непосредственного приращения = ( + )− ( ) справедливо аналогичное приведенному выше представление в форме лагранжева

приращения, аналогичное полученному в [1]:

где – лагранжев параметр, (0,1).

Так как каждый отклик имеет своё лагранжево приращение, то

последнюю формулу целесообразно переписать в виде

После подстановки (3.27) в (3.29) получаем:

= (((( ) ) ) )(..., ,...) =

∑

∂

= =1 ∂ (. . . , + (( ) ) , . . .) · (( ) ) .

Вместо последнего множителя подставим (3.27):

= (((( ) ) ) )(..., ,...) =

43

или после смены порядка суммирования:

[ ∂

∑ ∑

= =1 =1 ∂ (. . . , + (( ) ) , . . .)×

(3.30)

× ∂ ( + ) · ].

∂

Здесь является сложной функцией (суперпозицией или композицией) факторов ( , = 1, . . . , , = 1, . . . , ), зависящей от них через отклики ( , = 1, . . . , ).

Пусть теперь ^( ) = ( ( )). Для нее непосредственное и лагран-

жево приращения примут вид:

где – лагранжев параметр, (0,1) , который можно вычислить для конкретных функций .

Так как ^( ) = ( ( )):

^ = ^( + ) − ^( ) = ( ( + )) − ( ( )) =

= ( ( ) + ) − ( ( )) = ( + ) − ( ) = .

Применение свойства инвариантности формы дифференциала сложной функции к функции ^( ) = ( ( )) приводит к следующим выражениям для её производных, справедливым при всех значениях :

44

По формуле Лагранжа с использованием (3.31) запишем приращение в виде:

= ^ = (( ^) ) =

Из равенства (3.30) и (3.32) находятся , = 1, . . . , , , (0,1):

3.4Зависимость от индивидуальных наборов параметров разной длины

На практике является распространенным и другой тип задач, связанных с оценкой изменений сложных зависимостей. Поэтому в рамках данной работы рассмотрим функцию, агрегирующую отклики функций, каждая из которых зависит от своего набора факторов, причем длина этого набора для каждой функции индивидуальна (так, например, можно представить рейтинг кафедры как линейную комбинацию трех функций

– рейтинг преподавателя, оценка деятельности студентов и общекафедральная деятельность). Рассмотрим общую постановку данной задачи.

Пусть имеется набор факторов , = 1, . . . , , = 1, . . . , . Тогда у каждой функции есть свой набор факторов, т.е. имеем откликов

, = 1, . . . , , каждый из которых зависит от векторного аргумента. В общем виде:

. . .

= (. . . , , . . .),

. . .

где , = 1, . . . , – скалярная функция векторного аргумента.

45

Пусть, аналогично пункту 3.3, факторы получили конечные прира-

щения , = 1, . . . , , = 1, . . . , , а вектор откликов получает соответствующее приращение по определению = ( + ) − ( ), где

( + ) = ( ) + . Каждый отклик получает непосредственное

приращение:

Предполагается, что существуют все необходимые производные. В форме лагранжева приращения получаем:

где лагранжев параметр (0,1).

Положим, что — величина, агрегирующая отклики , = 1, . . . , , в виде скалярной функции векторного аргумента = ( ) = (. . . , , . . .). Для её непосредственного приращения = ( + )− ( ) справедливо аналогичное приведенному выше представление в форме лагранжева

приращения, аналогичное полученному в [1]:

где – лагранжев параметр, (0,1).

Так как каждый отклик имеет своё лагранжево приращение, то

последнюю формулу целесообразно переписать в виде

46

Вместо последнего множителя подставим (3.33):

= (((( ) ) ) )(..., ,...) =

∑

∂

= =1 ∂ (..., + (( ) ) , ...)×

Или после смены порядка суммирования (по факту просто внесение множителя в сумму):

Здесь р является сложной функцией (суперпозицией или компози-

цией) факторов ( , = 1, ..., ), зависящей от них через отклики ( , = 1, ..., ).

Пусть теперь ^ = ( ( )). Для нее непосредственное и лагранжево

приращения примут вид:

где — лагранжев параметр — (0, 1) — который можно вычислить для конкретных функций р .

Так как ^( ) = ( ( )) :

^ = ^( + ) − ^( ) = ( ( + )) − ( ( )) =

= ( ( ) + ) − ( ( )) = ( + ) − ( ) = .

Применение свойства инвариантности формы дифференциала сложной функции к функции ^( ) = ( ( )) приводит к следующим выраже-

47

ниям для её производных, справедливым при всех значениях x :

По формуле Лагранжа с использованием (3.37) запишем приращение в виде:

Из равенства (3.36) и (3.38) находятся , = 1, ..., , , (0, 1) :

48