щения для всех фаз одинаково и равно 1800 прив. авт. / ч). Значения параметров средней точки и приращения транспортной задержки, а также процентные значения коэффициентов факторного влияния приведены в табл. 1.

Например, для ситуации, когда интенсивность движения критической группы первой фазы равна 1000 прив. авт. / ч, а второй — 120 прив. авт. / ч; приращения интенсивностей равны соответственно 75 и 5, величина задержки станет больше на 159,47 с, причем на 70% такое приращение определяется увеличением интенсивности критической группы второй фазы.

4.3Использование новых методов цепного лагранжева анализа конечных изменений для решения прикладных задач

4.3.1Частный случай решения задачи оценки изменений сложных зависимостей

Для демонстрации принципов работы нового метода, представленного в главе 3, рассмотрим следующий пример.

Рейтинг кафедры высшего учебного заведения представляет собой линейную комбинацию рейтига преподавателей этой кафедры, студенческих учебных и научных достижений и общего успеха кафедры. Для организации управления стимулированием сотрудников сосредоточим внимание на рейтинге преподавателей. Он представляет собой сумму отношений каждого показателя результативности преподавателя к максимальному в его группе (всего групп 4 — профессоры, доценты, старшие преподаватели и ассистенты). Чтобы понять, каким образом рейтинг преподавателя агрегирует его результативность, рассмотрим следующую модель [2; 13; 14; 23].

Пусть зависимость отклика от факторов имеет вид = 1 ,

2

= 1, 2.

Здесь 1, = 1, 2 могут интерпретироваться как, например, соответствующие показатели результативности –го преподавателя кафедры,

2, = 1, 2 – максимальные значения для данной группы, — его результативность.

58

Пусть факторы получили конечные приращения , = 1, 2,

= 1, 2, а вектор откликов получает соответствующее приращение по определению = ( + ) − ( ), где ( + ) = ( ) + . Каждый отклик получает непосредственное приращение:

По теореме Лагранжа о промежуточной точке получаем прираще-

ния:

Так как вид отклика нам известен, его частные производные примут вид:

= 1, 2.

Из равенства (4.33) и (4.36) можно найти параметры :

= ( 1, 2). Его можно интерпретировать как рейтинг некоторого препо-

59

давателя. При этом вид функции будет следующим:

2

∑

= ( ) = ( 1) + ( 2),

=1

то есть, это аддитивная модель. Её непосредственное приращение = = ( + ) − ( ), а лагранжево приращение

Так как каждый отклик имеет своё лагранжево приращение, то формулу (4.37) целесообразно переписать в виде

Имея в виду тот факт, что вид нам известен, запишем его частные

производные по его аргументам, которые примут вид ∂ = 1. Отсюда

∂

можно сделать вывод о том, что на основании (4.38)

2

∑

= = 1 + 2.

=1

Зная вид , по формуле (4.36) получаем следующее приращение:

то есть параметр здесь не фигурирует. Пусть теперь

^( ) = ( ( )) = 11 + 21 .

12 22

60

Для этой функции

где — лагранжев параметр, (0, 1). А частные производные:

= 12 11 + 11 12 − 11 12 − 11 12 + ( 12 + 12)2

+ 22 21 + 21 22 − 21 22 − 21 22 = ( 22 + 22)2

61

Найдем :

62

Далее рассмотрим несколько примеров, демонстрирующих взаимосвязь между 1, 2 и .

Пример 4.1. Исходные данные:

По формулам, приведенным выше, получаем:

63

Сравненим приращения, полученные с разными параметрами средней точки:

21, 2 : 0, 408 · 1 − 0, 242 · 1 + 0, 354 · (−1) − 0, 427 · (−2) = 3;

: 0, 383 · 1 − 0, 236 · 1 + 0, 361 · (−1) − 0, 441 · (−2) = 23;

Видно, что абсолютная величина факторных нагрузок почти совпадает. Отличие в том, что рассчитать факторные нагрузки через параметр

вычислительно значительно труднее. Пример 4.2.

Исходные данные:

Аналогично примеру 4.1 рассчитаем параметры средней точки:

Получаем следующие факторные нагрузки:

Снова видно, что они аналогичны.

64

4.3.2Использование новых методов ЦЛАКИ для решения задачи распределения премиальных выплат профессорско-преподавательскому составу кафедры

Рассмотрим задачу распределения премий сотрудникам подразделения на примере некоторой кафедры. Пусть существует подразделение, сотрудниками которого являются три преподавателя категории «Ассистент», результаты деятельности которых оцениваются по трем показателям. Есть план, который преподаватель должен выполнить, есть фактические значения, которые получены в конце каждого отчетного периода. Необходимо оценить вклад изменения рейтинга каждого преподавателя в изменение рейтинга подразделения (кафедры).

Положим, что модель оценки рейтинга –го преподавателя (отклик) имеет вид:

где 1 , = 1, 2, 3 — максимальное значение данного показателя в определенной категории преподавателей. На данный момент рассматривается только одна категория — ассистенты, поэтому отсутствует индекс, отвечающий за категории.

Рейтинг всего подразделения (агрегация откликов) положим рав-

ным:

65

частные производные для по будут равны единице:

∂= 1.

Каждый отклик получает непосредственное приращение:

и лагранжевы приращения:

Приравнивая (4.44) к (4.45), получим формулу для нахождения :

Для агрегации откликов укажем непосредственное приращение:

Имея в виду тот факт, что вид ( ) нам известен, запишем его

частные производные по его аргументам, которые примут вид ∂ = 1.

∂

Можно сделать вывод о том, что на основании (4.48)

3

∑

= = 1 + 2 + 3,

=1

66

то есть параметр при данной постановке задачи не фигурирует.

Теперь рассмотрим функцию ^( ), зависящую непосредственно от

. Ее вид

Для нее непосредственное и лагранжево приращения примут вид

где (0, 1) — лагранжев параметр; а частные производные совпадут с (4.43).

^( + ) − ^( ) = 21 + 31 + 41 −

11 + 11

−( 21 + 31 + 41 + 21 + 31 + 41) · 11 + ( 11 + 11)2

+ 22 + 32 + 42 −12 + 12

(4.49)

−( 22 + 32 + 42 + 22 + 32 + 42) · 12 + ( 12 + 12)2

= 23 + 33 + 43 −13 + 13

−( 23 + 33 + 43 + 23 + 33 + 43) · 13 . ( 13 + 13)2

Решив уравнение (4.49), можно найти параметр .

Далее приведем несколько численных примеров. Пример 4.3 (а).

Пусть исходные данные заданы табл. 2.

67

Таблица 2

Исходные данные для категории «Ассистент»

Используя формулу (4.46), найдем лагранжевы параметры . Решив уравнение (4.49), найдем параметр . Видно, что (min( ), max( )).

Рассчитаем факторные нагрузки преподавателей данной категории, используя полученные параметры и .

В общем виде факторные нагрузки по каждому преподавателю будут иметь вид

В частности, факторные нагрузки для каждого преподавателя с учетом частных производных:

Рассчитаем по ним факторные нагрузки сперва с лагранжевым параметром , затем , а затем сравним полученные результаты. Результаты представлены в табл. 3.

Характер нагрузок для всех преподавателей идентичен, различия незначительны. Исследуем эти различия. Положим нагрузки с эта-

68

Таблица 3

Нагрузки ассистентов

лонными. В табл. 4 представлены величины приращений по абсолютной величине и в процентах.

Действительно, отклонения можно считать незначительными, так как они не превышают 1,5%.

Пример 4.3 (б).

Проведем аналогичный анализ для трех преподавателей категории «Доцент» того же подразделения. Исходные данные заданы табл. 5.

Таблица 5

Исходные данные для категории «Доцент»

Используя формулу (4.46) найдем лагранжевы параметры . Решив уравнение (4.49), найдем . Видно, что / (min( ), max( )).

Рассчитаем факторные нагрузки преподавателей данной категории, используя полученные параметры и . В общем виде факторные на-

69

грузки по каждому преподавателю будут иметь вид, представленный в примере 4.3 (а).

Результаты расчета факторных нагрузок с параметрами и представлены в табл. 6.

Таблица 6

Нагрузки доцентов

Характер нагрузок для всех преподавателей идентичен, различия незначительны. Проверим величину этих различий. Положим нагрузки с эталонными. В табл. 7 представлены величины приращений по абсолютной величине и в процентах.

Оказалось, для «Доцента 1» отклонение составило 22,8%. Хотя характер нагрузок идентичен.

Пример 4.3 (в). Сквозной анализ преподавателей двух категорий. На тех же данных составим сквозную модель агрегации агрегаций

откликов. При этом в формуле (4.49) число слагаемых увеличивается вдвое.

Приведем в табл. 8 результаты нахождения лагранжевых параметров на всех этапах, а в табл. 9 нагрузки для двух категорий сотрудников.

70

Таблица 8

Лагранжевы показатели

Таблица 9

Нагрузки ассистентов и доцентов

Пример 4.4. Функция одной переменной

Пусть дана функция (отклик) ( ) = sin( ), а её приращение будет иметь вид

Пусть функция ( ) = arcsin( ) есть агрегация отклика функции

( ), её приращение:

Если представить ( ) как функцию, зависящию от исходного фактора , то она будет иметь вид:

71

параметр не определен.

≈ 0, 478.

Далее для нахождения параметра решим уравнение:

√

Факторные нагрузки: для = 0, 699, для = −0, 524 = −6 .