Рассмотрим условие постоянства потока массы при течении по трубке тока. При стационарном течении масса жидкости или газа, прошедшая за единицу времени через любое поперечное сечение трубки, одинакова для всех сечений.
Представим себе трубку переменного сечения |
S1 |
(рисунок 26). Скорость в сечении S1 равна v1. Тогда |
|
масса жидкости, прошедшая за секунду через это |
v1 |
сечение, равна Q1=r1v1S1, где r1 – плотность жидкости или газа в данном сечении. А в другом сечении трубки площадью S2 масса жидкости, прошедшей за
секунду, равна Q2=r2v2S2, где r2 и v2 – плотность и скорость жидкости во втором сечении трубки. Должно быть Q1 = Q2 , в противном случае количе-
ство жидкости между этими двумя сечениями начало бы возрастать или убывать, и течение перестало бы быть стационарным. Следовательно, закон постоянства потока массы может быть представлен в виде:
Q = rvS = const |
(31.3) |
вдоль любой трубки тока.
Если жидкость несжимаема (r = const), то из (31.3) следует, что
S2
v2
vS = const, или S1×v1 = S2×v2 . |
(31.4) |
Т.е. за секунду через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1. Соотношение (31.4) называется уравнением неразрывности (непрерывности) для несжимаемой жидкости. Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Из (31.4) следует, что при переменном сечении трубки тока частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением.
§ 7.32 Уравнение Бернулли для стационарного течения несжимаемой жидкости
Выделим в стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости трубку тока малого сечения (рисунок 27). Рассмотрим объем жидкости, ограниченный стенками трубки тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1 и S2. За время Dt этот объем переместится вдоль трубки тока, причем перемещение в сечении S1 равно Dl1, перемещение в сечении S2 равно Dl2. В силу неразрывности струи объемы жидкости, прошедшие через сечения S1 и S2 за время D t, будут иметь одинаковую величину: DV1 = DV2 = DV.
Пусть в месте сечения S1 скорость течения v1, давление Р1 и высота, на которой это сечение расположено, h1. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление Р2 и высота, на которой это сечение расположено, h2. Согласно закону постоянства потока массы, массы жидкости, прошедшие через
100
сечения S1 и S2 за время Dt, будут равны Dm=r×DV. Тогда приращение полной энергии (кинетической и потенциальной), запишется следующим образом:
æ |
1 |
2 |
+ r × D V × g × h2 |
ö |
æ |
1 |
2 |
+ r × D V × g × h1 |
ö |
, (32.1) |
DЕ=Е2–Е1=ç |
2 |
r × D V × v2 |
÷ |
-ç |
2 |
r × D V × v1 |
÷ |
|||
è |
|
|
ø |
è |
|
|
ø |
|
где r - плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.
DV1 |
|
|
|
|
|
P1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Dl |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В идеальной жидкости силы |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
трения |
отсутствуют. |
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращение энергии (32.1) долж- |
||
h1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2 |
D |
l2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
но равняться работе, совершае- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мой над |
выделенным |
объемом |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
P2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DV2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
силами давления. Силы давления |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на боковую поверхность перпен- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дикулярны в каждой точке к |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлению перемещения ча- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стиц, к которым они приложены, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вследствие чего работы не совер- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
шают. Отлична от нуля лишь работа сил, приложенных к сечениям S1 и S2. Эта |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
работа равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = Р1×S1×Dl1 – Р2×S2×Dl2 = (Р1 – Р2)×DV. |
(32.2) |
|||||||||||||||||||||
Приравняв выражения (32.1) и (32.2), сократив на DV и перенося члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, получим
101
|
ρ v |
2 |
+ ρ gh1= P 2+ |
ρ v |
2 |
2 |
+ ρ gh2 . |
(32.3) |
P1+ |
1 |
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||
Сечения S1 и S2 были взяты совершенно произвольно. Поэтому можно утверждать, что в любом сечении трубки тока
P + |
ρ v |
2 |
+ ρ gh = const . |
(32.4) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
Выражение (32.4) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700− 1782) и называется уравнением Бернулли (опубликовано в 1738 г.). Как видно из его вывода, это уравнение является выражением закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
Величина Р в формуле (32.4) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина ρv2/2 − динамическим давлением. Как уже указывалось выше (31.2), величина ρgh называется гидростатическим давлением.
Для горизонтальной трубки тока (h1 = h2) выражение (32.4) принимает вид:
P + |
ρ v |
2 |
= const . |
(32.5) |
2 |
|
|||
|
|
|
|
Из уравнения Бернулли (32.5) для горизонтальной трубки тока и уравнения неразрывности (31.4) следует, что при течении жидкости по горизонтальной трубе, имеющей различные сечения, скорость жидкости больше в местах сужения, а статическое давление больше в более широких местах, т. е. там, где скорость меньше.
§ 7.33 Истечение жидкости из отверстия |
|
|
Применим уравнение Бернулли для нахождения скорости истечения жид- |
||
кости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим широкий сосуд с |
||
жидкостью, в боковой стенке которого на некоторой глубине ниже уровня жид- |
||
кости имеется маленькое отверстие (рисунок 28). |
|
|
Выделим в жидкости трубку тока, имеющую своим |
v0 |
|
сечением с одной стороны открытую поверхность |
|
|
жидкости в сосуде, а с другой стороны – отверстие, |
|
|
через которую жидкость вытекает. |
|
|
|
v |
|
102 |
h |
h |
|
|
|
|
Рисунок 28 |
|
Рассмотрим два сечения (на уровне h1 свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия). Напишем для них уравнение Бернулли:
P1+ |
ρ v2 |
+ ρ gh1= P 2+ |
ρ v |
0 |
2 |
+ ρ gh2 . |
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|||
Так как давления Р1 и Р2 в жидкости на уровнях первого и второго сечений равны атмосферному, т. е. Р1 = Р2, то уравнение после сокращения на плотность жидкости ρ будет иметь вид:
v2 |
+ gh1 = |
v |
0 |
2 |
+ gh2 . |
|
2 |
2 |
|||||
|
|
|||||
Из уравнения неразрывности (31.4) следует, что v0/v=S/S0, где S0 и S − площади поперечных сечений сосуда и отверстия. Если S0>>S, то членом v02/2 можно пренебречь. Тогда
v2 = 2g(h2 – h1) = 2gh,
и
v = |
2gh |
, |
(33.1) |
где v – скорость истечения жидкости из отверстия, h = h2 – h1 – высота открытой поверхности над отверстием.
Это выражение получило название формулы Торричелли (Э. Торричелли (1608 −1647) − итальянский физик и математик).
Итак, скорость истечения жидкости из отверстия, расположенного на глубине h под открытой поверхностью, совпадает со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h. Следует помнить, что этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше. Отличие будет тем сильнее от значения (33.1), чем больше вязкость жидкости.
Струя жидкости, вытекающая из отверстия в сосу- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
де (рисунок 29) за время t, имеет импульс р = ρSv v |
|
|
|
|
|
|
|
|
t, где ρ - плотность жидкости, S – площадь отверстия, v |
|
|
|
|
|
|
|
|
- скорость истечения струи. Этот импульс сообщается |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fр |
|
|
|
|||||
вытекающей жидкости сосудом. По третьему закону |
|
|
|
|||||
Ньютона сосуд получает от вытекающей жидкости за |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
время t импульс, равный − р , т.е. испытывает дей- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ствие силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 29 |
103 |
||
|
|
|
|
|
|
|||