Уравнения (28.9) и (28.10) и выражают правило сложения скоростей в релятивистской кинематике. При медленных движениях, когда можно пренебречь квадратичными величинами v2/c2 и vu′x/с2, они переходят в нерелятивистские (классические) формулы:

соответствующие преобразованиям Галилея.

Если тело движется параллельно оси х, его скорость относительно системы отсчета К совпадает с ux, а скорость относительно системы отсчета К′ совпадает с u′x. В этом случае закон сложения скоростей имеет вид первой формулы (28.10). Пусть скорость u′x равна скорости света с. Тогда для ux получается по первой формуле (28.10) значение

Этот результат не является удивительным, так как в основе преобразований Лоренца, а, следовательно, и формул сложения скоростей, лежит утверждение, что скорость света одинакова во всех системах отсчета. Положив в первой формуле (28.10) u′x=v=c, получим для ux также значение, равное с. Таким образом, при сложении любых скоростей результат не может превысить скорости света с в вакууме. Скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить.

§ 6.29 Релятивистские выражения для импульса и энергии

Движение со скоростью, сравнимой со скоростью света, встретилось физикам впервые при исследовании потока заряженных частиц (электронов), испускаемых радиоактивным веществом. Зная законы действия электрического и магнитного полей на движущийся заряд, можно определить величину скорости и массу электронов. Опыты, проделанные в начале прошлого столетия, показали, что существует зависимость инертной массы от скорости, вернее, от отношения скорости движения к скорости света. Вначале полагали, что таким свойством обладают только заряженные частицы. Однако Эйнштейн показал, что зависимость массы от скорости − это свойство всех материальных тел. Непостоянство массы тел – следствие постулатов теории относительности. Было установлено, что масса тела (частицы) возрастает с увеличением скорости v по закону:

86

где m0 − масса покоя частицы, т. е. масса, измеренная в той инерциальной

системе отсчета, относительно которой частица находится в покое; с − скорость света в вакууме; m – релятивистская масса частицы в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.

Как видим, релятивистская масса зависит от системы отсчета. Поэтому характеристикой частицы будет её масса покоя m0. Массу покоя m0 в дальнейшем будем называть просто массой. А под релятивистской массой в дальнейшем будем иметь в виду просто сокращенное обозначение отношения в правой части выражения (29.1).

Выражение для импульса релятивистской частицы с учетом (29.1) можно

Это и есть релятивистский импульс частицы. Опыт показывает, что релятивистский импульс подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерци-

ность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует условие инвариантности уравнений физических законов относительно преобразований Лоренца. Так, например, основной закон динами-

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в

нем под р подразумевается релятивистский импульс. Подставив (29.2) в (29.3) получим:

Это и есть основное уравнение релятивистской динамики инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца и подтверждающее закон сохранения им-

пульса. При малых скоростях (v<< c) принимает форму основного уравнения

классической динамики ( F = m0a ).

87

Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Часто вообще не оговаривают, что рассматривают релятивистский импульс, так как если тела движутся со скоростями, близкими к скорости света, то можно использовать только релятивистское выражение для импульса.

Условием применимости законов классической механики является условие v<< c. Законы классической механики получаются как следствие теории относительности для предельного случая v<< c (формально переход можно осуществлять, полагая c®¥). Таким образом, классическая механика - это механика макроскопических тел, движущихся с малыми скоростями (по сравнению со скоростью света в вакууме).

Экспериментальное доказательство зависимости массы от скорости (29.1) является одним из подтверждений справедливости специальной теории относительности.

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Ранее (§ 3.14) было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе силы на этом перемещении:

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы.

88

Так как кинетическая энергия покоящейся частицы равна нулю, а ее масса равна массе покоя m0, то, проинтегрировав (29.6), получим

Т.е. кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид:

Под действием внешней силы релятивистская частица, двигаясь ускоренно, увеличивает свою кинетическую энергию, приращение которой равно работе этой силы. Так как работа имеет конечную величину, то и кинетическая энергия (см. (29.8)) имеет конечное значение. Отсюда следует, что релятивистская частица не может приобрести скорость v= c, так как в этом случае кинетическая энергия Т®¥. Поэтому для релятивистской частицы должно выполнять-

ся условие v< c. При скоростях v<< c выражение (29.8) переходит в классическое T = m0v2/2.

А. Эйнштейн обобщил положение (29.6), предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии материальной точки, но и для полной энергии. А именно: любое изменение массы Dm сопровождается изменением полной энергии материальной точки

Отсюда следует универсальная зависимость между полной энергией тела Е и его массой m:

Уравнение (29.10), равно как и (29.9), выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме. Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле.

С учетом (29.7), уравнение (29.10) можно записать в виде:

89