Из (25.2) получаем выражение для угловой скорости прецессии волчка вокруг вертикальной оси:

Из этого уравнения видно, что момент силы М определяет угловую скорость прецессии ωпр (а не ускорение!). Поэтому мгновенное устранение момента М приводит к мгновенному исчезновению и прецессии. В этом отношении можно сказать, что прецессия не обладает инерцией. Угловая скорость прецессии ωпр не зависит от угла наклона α оси волчка от вертикали.

Впервые гироскоп был применен французским физиком Ж.Фуко (1819− 1868) для доказательства вращения Земли.

Контрольные вопросы

1 Что такое центр масс (центр инерции) системы материальных точек (твердого тела)?

2 Получите выражение для скорости движения центра масс системы.

3 Выведите и сформулируйте уравнение движения центра масс системы.

4 Выведите и сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

5 Сопоставьте основные уравнения динамики поступательного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.

6 Какова роль момента инерции во вращательном движении? Приведите выражения для моментов инерции простейших симметричных тел.

7 Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как ее вывести?

8 Дайте формулировку теоремы Штейнера. Как на практике можно применять эту теорему?

9 Что такое свободные оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми? Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

10 В чем заключается гироскопический эффект? К каким последствиям может привести гироскопический эффект при резких маневрах машин?

11 Опишите прецессионное движение волчка и выведите выражение для угловой скорости прецессии.

12 Где находят применение гироскопы?

Упражнения для самоконтроля

77

5.1.С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Определить: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне; 2) их отношение в данный момент времени. [1) 14/15; 2) 14/15]

5.2.К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует

момент сил трения М=2 Н×м. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение b постоянно и равно 12 рад/с2. [32 кг]

5.3.Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m=1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела

массами m1=1 кг и m2=2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1)ускорение грузов; 2)отношения Т2/Т1 сил натяжения нити.[1) 2,8 м/с2; 2) 1,11 ]

5.4.Частота вращения колеса, вращающегося при торможении равноза-

медленно, за время t=1 мин уменьшилась от n1=300 об/мин до n2=180 об/мин.

Момент инерции колеса 2 кг×м2. Определить: 1) угловое ускорение b колеса; 2) момент М силы торможения; 3) работу силы торможения.

[1)0,21 рад/с2; 2) 0,42 Н×м; 3) 630 Дж]

5.5.Человек массой m=80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой M=100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной

оси с частотой n1=10 об/мин, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека - точечной массой, определить, с какой

частотой n2 будет тогда вращаться платформа. [26 об/мин ]

5.6. Однородный цилиндр массы m и радиуса R скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Найдите

5.8. Найдите угловую скорость прецессии наклонного волчка массы m, вращающегося с большой угловой скоростью w вокруг своей оси симметрии, относительно которой момент инерции волчка равен J. Центр масс волчка находится на расстоянии l от точки опоры. [wпр=mgl/Jw]

5.9. Небольшой шарик подвесили к точке 0 на легкой нерастяжимой нити длины l. Затем шарик отвели в сторону так, что нить отклонилась на угол a от вертикали, и сообщили ему начальную скорость v0 перпендикулярно вертикальной плоскости, в которой расположена нить. При каком значении v0 максималь-

ный угол отклонения нити от вертикали окажется равным 900? [v0= 2gl / cosa ]

2 5.10. Момент инерции твердого шара относительно его центра J= 5 mR2.

Когда шар катится под уклон, какая доля его кинетической энергии связана с

78