Движение с постоянным ускорением называется равнопеременным. В этом случае зависимости координаты х и скорости v от времени даются уравнениями:

где х0 называется начальной координатой (значение координаты х в начальный момент времени t=0), v0 – начальной скоростью.

иа<0 – в противном случае.

Вслучае прямолинейного движения пройденный путь равен S=x−x0, т.е. из (2.10) следует

S = v0t + 12 at2.

Примерами равнопеременного движения могут служить свободное падение тел, движение тела, брошенного вертикально вверх, и скатывание тел по наклонной плоскости без трения.

§ 1.3 Скорость и ускорение при движении точки в пространстве

Для характеристики движения материальной точки в пространстве вводится векторная величина − скорость, которая определяет как быстроту движения,

11

неограниченном уменьшении Dt средняя скорость стремится к предельному

значению, которое называется мгновенной скоростью v :

Мгновенная скорость таким образом, есть векторная величина, равная v ,

первой производной радиус-вектора движущейся точки по времени. Так как се-

кущая в пределе совпадает с касательной, то вектор скорости v направлен по

Таким образом, модуль мгновенной скорости равен первой производной пути по времени:

При равнопеременном движении модуль мгновенной скорости с течением времени изменяется. В этом случае движение точки можно характеризовать

скалярной величиной vср - средней скоростью равнопеременного движения:

Если выражение dS=v×dt (см. формулу (3.3)) проинтегрировать по времени в пределах от t до t+Dt, то найдем путь, пройденный точкой за время Dt:

12

t

В случае равномерного движения численное значение мгновенной скорости постоянно; тогда выражение (3.4) примет вид

t + Δt

S = v × ò dt =v×Dt.

t

Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t1 до t2, дается интегралом

t 2

S = ò v(t) × dt .

t1

Подставляя в (3.2) выражение (1.2) для радиус-вектора имеем:

и по направлению. Для характеристики быстроты изменения вектора скорости

до t+Dt называется векторная величина, равная отношению изменения скорости D v к интервалу времени Dt:

Мгновенным ускорением называют предел среднего ускорения:

13

Таким образом, ускорение есть векторная величина, равная первой a

производной скорости по времени. Подставляя в (3.8) выражение (3.5) для вектора скорости имеем:

В общем случае полное ускорение можно представить в виде векторной

а

суммы тангенциального и нормального ускорений (см. рисунок 5):

Тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения модуля вектора скорости:

лены в противоположные стороны, если скорость убывает со временем (равнозамедленное движение). Причем, аτ=0 при равномерном движении, и аτ ¹ 0 при равнопеременном движении.

Нормальная составляющая ускорения равна

14

Нормальная составляющая ускорения аn направлена по нормали к траек-

тории к центру ее кривизны. Поэтому ее называют также центростремительным ускорением. При прямолинейном движении нормальное ускорение отсутствует, так как при этом радиус кривизны R→∞.

Итак, тангенциальная составляющая ускорения характеризует быстроту изменения скорости по модулю (направлена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения − быстроту изменения скорости по направлению (направлена к центру кривизны траектории).

Пусть точка движется равномерно с постоянным по величине ускорением.

Поскольку при равномерном движении скорость не изменяется по величине, то

аτ =0, так что а = аn . Постоянство по величине аn означает, что v2/R=const. От-

сюда заключаем, что R=const (v=const вследствие равномерности движения). Значит, точка движется по кривой постоянной кривизны, т.е. по окружности. Таким образом, в случае, когда ускорение точки постоянно по величине и направлено в любой момент времени перпендикулярно к вектору скорости, траекторией точки будет окружность.

15