Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т. е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

Системы, в которых действуют диссипативные силы, например силы трения, называются диссипативными. В диссипативных системах полная механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии, например, во внутреннюю энергию (внутренняя энергия складывается из кинетической энергии невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества и потенциальной энергии их взаимодействия; беспорядочное движение атомов и молекул воспринимается нашими органами чувств в виде тепла; таково физическое объяснение кажущейся потери механической энергии при действии диссипативных сил). Этот процесс получил название диссипации (или рассеяния) энергии.

Строго говоря, все реальные макроскопические системы в природе являются диссипативными. Замкнутая система тел является идеализированной моделью для упрощенного рассмотрения многих явлений и процессов.

Следовательно, в реальных случаях закон сохранения механической энергии не выполняется. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом и заключается физическая сущность закона сохранения и превращения энергии. Нужно иметь ввиду, что деление энергии на кинетическую и потенциальную имеет смысл только в механике и не охватывает всех форм энергии.

Применительно к незамкнутым (неизолированным) системам закон сохранения энергии означает, что изменение энергии такой системы равно работе, совершаемой системой (энергия системы уменьшается), или работе, совершаемой над системой внешними силами (энергия системы увеличивается).

§ 3.17 Условия равновесия механической системы

Зная вид функции, выражающей потенциальную энергию системы, можно сделать ряд заключений о характере поведения системы. Особенно наглядно это можно сделать в случае одномерного движения тела, т.е. движения, описываемого одной координатой (например, координатой х). График зависимости потенциальной энергии от аргумента U=U(x) называется потенциальной кривой. Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела.

Будем рассматривать только консервативные системы, т. е. системы, в которых превращения механической энергии в другие виды энергии отсутствуют, т.е. когда справедлив закон сохранения энергии в форме (16.5).

Из анализа графика на рисунке 18 приходим к выводу, что при полной энергии тела, равной Е, тело не может сместиться правее х2 и левее х1, так как

53

кинетическая энергия Т не может быть отрицательной величиной и, следовательно, потенциальная энергия U не может быть больше полной. В таком случае говорят, что тело находится в потенциальной яме с координатами х1£ х£ х2.

Вточке с координатой х0 потенциальная энергия частицы минимальна. В

этой точке действующая на частицу сила Fx = - dU/dx = 0. При смещении частицы из положения х0 влево или вправо на нее действует возвращающая сила. Поэтому положение х0 является положением устойчивого равновесия.

Вобщем случае потенциальная кривая может иметь довольно сложный вид, например с несколькими чередующимися максимумами и минимумами

(рисунок 19). Проанализируем эту потенциальную кривую. Если Е - заданная полная энергия частицы, то частица может находиться только там, где U(x) £ E,

т. е. в областях I (х1 £ х £ х2) и III (х ³ х3).

Переходить из области I в III и обратно частица не может, так как ей препятствует потенциальный барьер в области II (х2 £ х £ х3), ширина которого равна интервалу значений х, при которых Е < U, а высота – определяется разностью Umax – Е. Для того, чтобы частица смогла преодолеть потенциальный барьер, ей необходимо сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I частица с полной энергией Е оказывается «запертой» в потенциальной яме и совершает колебания между точками с координатами x1 и x2.

В точке с координатой x0 (рисунок 19) потенциальная энергия частицы минимальна. Так как действующая на частицу сила Fx = - dU/dx (U - функция только одной координаты), а условие минимума потенциальной энергии dU/dx

Рисунок 18

= 0, то в точке с координатой x0 сила Fx(x0) = 0. При смещении частицы из положения x0 (и влево, и вправо) она испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение x0 является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки x0¢ (для Umax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при смещении частицы

54

из положения x0′ появляется сила, стремящаяся отклонить ее от этого положения.

§ 3.18 Закон сохранения импульса

Рассмотрим произвольную систему из n частиц в любой инерциальной системе отсчета. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. Поэтому уравнение движения i-й частицы согласно (6.1) можем записать в виде:

где Fi - векторная сумма внешних сил, действующих на i-ую частицу; Fik -

сила, действующая на i-ую частицу со стороны k-й частицы, и их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении) равна векторной сумме внутренних сил, действующих на i-ую частицу.

Просуммируем соотношение (18.1) по всем частицам (телам) системы:

В правой части уравнения (18.2) второе слагаемое представляет собой результирующую внешнюю силу Fвнеш , действующую на систему, а первое слага-

частиц системы их векторная сумма равна нулю. А в левой части, поменяв порядки суммирования и дифференцирования, получим:

временем. При этом отдельные части замкнутой системы могут только обмени-

55

ваться импульсами так, что приращение импульса одной части системы всегда равно уменьшению импульса оставшейся части системы.

Импульс может сохраняться и у незамкнутой системы при условии равенства нулю результирующей всех внешних сил. Это непосредственно вытекает из уравнения (18.3). Закон сохранение импульса дает возможность получать достаточно простым путем ряд сведений о поведении системы, не вникая в де-

перпендикулярен направлению 0Х. Действительно, из уравнения (18.3) для проекций на направление 0Х, имеем:

Отсюда следует, что если Fвнеш х=0, то рх=const. Например, при движении систе-

мы в однородном поле сил тяжести сохраняется проекция её импульса на любое горизонтальное направление.

§ 3.19 Закон сохранения момента импульса

Важные законы механики связаны с понятиями момента импульса и момента силы. Следует различать моменты этих векторов относительно точки и относительно оси. Момент вектора относительно точки и относительно оси − разные понятия, хотя и связанные между собой. Момент вектора относительно

56

сительно точки или полюса 0. Моментом импульса называется векторное произведение

ку, в которой в данный момент находится рассматриваемая материальная точка. Модуль вектора момента импульса

Рассмотрим произвольную систему из n частиц в некоторой инерциальной системе отсчета. В общем случае частицы этой системы могут взаимодействовать как между собой, так и с телами, не входящими в систему. Поэтому уравнение движения i-й частицы согласно (6.1) можем записать в виде:

где Fi - векторная сумма внешних сил, действующих на i-ую частицу; Fik -

сила, действующая на i-ую частицу со стороны k-й частицы, и их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении) равна векторной сумме внутренних сил,

57

где Мi - векторная сумма моментов внешних сил, действующих на i-ую частицу; Mik - момент силы, действующей на i-ую частицу со стороны k-й части-

цы, и их векторная сумма (первое слагаемое в уравнении) равна векторной сум-

ме моментов внутренних сил, действующих на i-ую частицу, Li − момент им-

пульса i-й частицы.

Просуммируем соотношение (19.6) по всем частицам (телам) системы:

слагаемое, представляющее векторную сумму моментов всех внутренних сил,

равно нулю, так как в соответствии с третьим законом Ньютона Fik = - Fki , т.е. и

Mik = –Mki для любой пары частиц системы. Момент таких двух сил, а значит

и моменты всех внутренних сил равны нулю. А в левой части, поменяв порядки суммирования и дифференцирования, имеем:

Соотношение (19.8) означает, что производная по времени от момента импульса системы частиц (материальных точек) относительно произвольной точки

равна векторной сумме моментов всех внешних сил относительно той же точки

(полюса). Следовательно, момент импульса системы частиц L = å Li может из-

меняться только под действием момента внешних сил. Моменты внутренних сил не могут изменить момент импульса системы.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки 0 равен нулю,

т.е. Mвнеш =0, то момент импульса системы относительно той же точки остается

постоянным во времени, т.е. L = å Li =const. Это положение называют законом

сохранения момента импульса. В частности, момент импульса сохраняется для изолированной системы частиц. При этом отдельные части замкнутой системы могут только обмениваться моментами импульса так, что приращение момента импульса одной части системы всегда равно уменьшению момента импульса остальной части системы.

58

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси каждая

и направлен вдоль оси вращения в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных его частиц:

Подставляя в (19.10) формулу (4.6) vi=ωRi и учитывая, что в твердом теле все частицы вращаются с одинаковой угловой скоростью ω, получим:

где

Моментом инерции J системы (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс материальных точек (частиц) системы (тела) на квадраты их расстояний до оси вращения. Как видно из (19.12) момент инерции твердого тела зависит от распределения массы относительно оси вращения и является величиной аддитивной. В случае непрерывного распределения массы суммирование сводится к интегрированию по объему тела V:

где dm и dV − масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии R от оси вращения, ρ − плотность тела в данной точке.

Уравнение (19.11) в векторной форме имеет вид:

59