онным полем Земли. Поэтому говорят, что силы тяготения в однородном гравитационном поле и силы инерции эквивалентны.

Введение сил инерции позволяет описывать движение тел и в неинерциальных системах отсчета с помощью известного нам второго закона Ньютона.

Подводя итоги, необходимо отметить особенности сил инерции, отличающие их от сил взаимодействия:

-силы инерции обусловлены не взаимодействием тел, а свойствами самих неинерциальных систем отсчета. Поэтому на силы инерции третий закон Ньютона не распространяется;

-силы инерции существуют только в неинерциальных системах отсчета. В инерциальных системах отсчета сил инерции нет вообще, и понятие сила в инерциальных системах отсчета применяется только как мера взаимодействия тел;

-все силы инерции, подобно силам тяготения, пропорциональны массе тела. Поэтому в поле сил инерции, как и в однородном поле сил тяготения, все тела движутся с одним и тем же ускорением независимо от их масс.

Контрольные вопросы

1 Справедлив ли второй закон Ньютона в неинерциальных системах отсчета? Как следует изменить основное уравнение динамики, чтобы оно оказалось справедливым и для неинерциальных систем отсчета?

2 Что понимают под силами инерции?

3 Запишите уравнение движения частицы в неинерциальной системе отсчета.

4 Чему равна сила инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета?

5 В чем проявляется аналогичность сил инерции силам тяготения?

6 Всегда ли силы тяготения в гравитационном поле и силы инерции эквивалентны?

7 Какие особенности отличают силы инерции от сил взаимодействия?

8 Какие силы инерции появляются при вращательном движении системы отсчета?

Глава 5 Механика твердого тела

§ 5.21 Движение центра масс твердого тела

При рассмотрении движения механической системы как целого удобно использовать понятие центр масс (или центр инерции) системы. Центром массы системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой относительно начала координат данной системы отсчета определяется

радиусом-вектором RC :

69

i= 1

где mi – масса i-й частицы, Ri - радиус-вектор, определяющий положение

этой частицы, n - число материальных точек в системе, m – общая масса системы.

Декартовы координаты центра масс равны проекциям вектора RC на координатные оси:

Отметим, что в однородном поле сил тяжести центр масс совпадает с центром тяжести системы.

После дифференцирования выражения (21.1) по времени и умножения на m, имеем

=const. Следовательно, центр масс замкнутой системы либо движется равно-

где Fвнеш - результирующая всех внешних сил, действующих на систему.

Отсюда следует, что центр масс любой системы частиц, в том числе твердого тела, движется так, как двигалась бы материальная точка с массой равной массе системы, под действием всех приложенных к системе сил. Выражение (21.4) представляет собой закон движения центра масс.

§ 5.22 Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Движение любого, в том числе и твердого тела, можно представить как суперпозицию поступательного и вращательного движений.

70

Поступательное движение твердого тела определяется уравнением

движения центра масс (см. (21.4)) и тело будет находиться в покое или

равномерного прямолинейного движения, если Fвнеш =0.

При изучении закона сохранения момента импульса (см. § 3.19) мы получили основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси (см. (19.16)):

Так как при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси угловое ускорение β и моменты внешних сил направлены вдоль оси вращения, то векторное уравнение (22.1) можно записать в скалярной форме:

Уравнение (22.1) называют основным уравнением динамики вращательного движения. Это уравнение является аналогом второго закона Ньютона и определяет вращательное движение твердого тела. Произведение момента инерции J твердого тела относительно произвольной неподвижной оси вращения на угловое ускорение β равно моменту внешних сил относительно той же оси Мвнеш.

§ 5.23 Момент инерции

относительно выбранной оси вращения можно рассчитать используя соотношения (19.12) и (19.13). Моменты инерции для некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр масс тела, приведены в таблице А (m − масса тела).

71

Вычисление момента инерции твердого тела произвольной формы относительно произвольной оси вращения представляет собой довольно кропотливую в математическом отношении задачу. Однако в некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции J относительно произвольной оси равен моменту

инерции JC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр

масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

§ 5.24 Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Кинетическая энергия вращающегося тела складывается из суммы кинетических энергий отдельных частиц тела. Кинетическая энергия i-й частицы, находящейся на расстоянии Ri от оси вращения:

так как vi=ωRi. Тогда кинетическая энергия всего вращающегося тела, равна

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела Твр выражается так же, как и кинетическая энергия тела при поступательном движении, только вместо массы следует подставить момент инерции J, а вместо линейной скорости - угловую скорость ω. Формула (24.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

72

Так как всякое движение твердого тела можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное, то и кинетическая энергия твердого тела, как аддитивная величина, будет складываться из энергии поступательного движения и энергии вращения:

где m − масса тела; vC − скорость центра масс тела; J − момент инерции

тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω − угловая скорость тела.

Пусть однородный цилиндр радиуса R и массы m скатывается без скольжения с наклонной плоскости высоты h (полагаем, что h>>R, ускорение свободного падения равно g, начальная скорость цилиндра равна нулю, трение качения мало и им можно пренебречь). Требуется найти скорость центра масс и угловую скорость вращения в момент выхода цилиндра на горизонтальный участок. В начальный момент кинетическая энергия равна нулю, потенциальная энергия равна mgh. В конце скатывания потенциальная энергия уменьшается до нуля, а кинетическая энергия становится равной

Т = 12 mvC2 + 12 Jω2.

Так как скольжение отсутствует, vC и ω связаны соотношением vC=ωR. Подставив в выражение для кинетической энергии ω=vC/R и J=mR2/2, получим:

Т = 12 mvC2 + 14 mvC2 = 34 mvC2.

Полная энергия в начале и в конце скатывания одинакова, т.е.

34 mvC2 = mgh,

откуда

vC = 43 gh ,

и

ω = vRC = R1 43 gh .

73