Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко представлять себе, работа (мощность) какой силы или сил имеется в виду.

§ 3.14 Кинетическая энергия

Отсюда видно, что работа результирующей силы F идет на приращение некоторой величины (стоящей в скобках), которую называют кинетической энергией:

Таким образом, приращение кинетической энергии частицы при элементарном перемещении равно

а при конечном перемещении из точки 1 в точку 2

т.е. приращение кинетической энергии частицы при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на частицу при этом перемещении. Если А12 > 0, то Т2 > Т1, т.е. кинетическая энергия частицы увели-

чивается; если А12 < 0, то кинетическая энергия частицы уменьшается. Полученный результат без труда обобщается на случай произвольной си-

стемы материальных точек. Кинетической энергией системы называется сумма кинетических энергий материальных точек, из которых эта система состоит или на которые ее можно мысленно разделить. Напишем соотношение (14.5) для каждой материальной точки системы, а затем все такие соотношения сложим. В результате снова получится формула (14.5), но уже не для одной материальной точки, а для системы материальных точек. Под А12 надо понимать сумму работ всех сил, как внутренних, так и внешних, действующих на материальные точки

48

системы. Таким образом, работа всех сил, действующих на систему материальных точек, равна приращению кинетической энергии системы.

Из формулы (14.3) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (14.3) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать законы Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а, следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

§ 3.15 Потенциальная энергия

Потенциальная энергия - это энергия, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть, F(x, y, z) - сила, действующая на тело. Тогда элементарная работа этой силы по перемещению тела равна

где Fx, Fy, Fz - проекции силы F на оси координат. Введем функцию U(x, y, z), удовлетворяющую следующим условиям:

Функцию U(x, y, z), удовлетворяющую условиям (15.2), называют потенциаль-

ной функцией, а силу F – консервативной (или потенциальной) силой. При этом элементарная работа dA будет равна:

Пусть тело под действием силы F перемещается из точки 1 в точку 2, тогда работа этой силы при таком перемещении в соответствии с (15.3) равна:

1U1

49

где U1 и U2 −начальные и конечные значения потенциальной функции U(x, y, z).

Таким образом, работа консервативной силы зависит лишь от начального и конечного положения точек пути, и не зависит от пути, пройденного телом. Если, например, тело переходит под действием силы тяжести с высоты h0 над уровнем Земли на высоту h, то работа зависит не от того, по какому пути тело двигалось, а лишь от начального и конечного уровней.

Потенциальная функция, определяемая соотношениями (15.2), связывающими её с консервативной силой, называется потенциальной энергией. Из выражения (15.4) следует, что работа консервативной силы на любом замкнутом пути равна нулю, так как в этом случае U1=U2.

Если же работа, совершаемая силой, зависит от пути, то такая сила называется диссипативной (например, сила трения).

Тело, находясь в поле консервативных сил, называемом потенциальным полем, обладает потенциальной энергией U(x, y, z). Согласно (15.3) работа консервативных сил при элементарном (бесконечно малом) изменении конфигурации системы равна приращению её потенциальной энергии, взятому со знаком минус, так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии dA= −dU.

Поскольку начало отсчета (состояние с энергией U1) выбирается произвольно, то потенциальная энергия U системы может иметь отрицательное значение. Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты глубиной h, равна U = −mgh. Таким образом, потенциальная энергия системы определяется с точностью до постоянной величины и в зависимости от начала отсчета может принимать положительные или отрицательные значения. В то же время её кинетическая энергия независимо от системы отсчета может принимать только положительные значения.

Пример 1. Рассмотрим растяжение (сжатие) пружины. Согласно закону Гука сила упругости пропорциональна удлинению пружины х, взятому с обратным знаком, т.е. F = −kx, где k − жесткость (коэффициент упругости) пружины. С другой стороны согласно (15.2) F = −dU/dx. Из приведенных двух выражений заключаем, что потенциальная энергия упругой деформации U равна:

Пружина (упругое тело) приобретает энергию за счет работы А внешней силы (см. рисунок 16). Эта работа является мерой изменения потенциальной энергии деформируемого тела (пружины), т.е. А = U.

Пример 2. Пусть, потенциальная энергия взаимодействия двух тел обратно пропорциональна расстоянию R между ними, взятому с обратным знаком, т.е. U = −С/R, где С - некоторая постоянная. Тогда, сила взаимодействия между

50

этими телами, равная F = −dU/dR= −С/R2, будет являться силой притяжения этих тел друг к другу (см. рисунок 17).

Из этих примеров следует, что внутренние силы, возникающие в системе, действуют в сторону уменьшения её потенциальной энергии.

U U

Полная механическая энергия системы − энергия механического движения и взаимодействия равна сумме кинетической и потенциальной энергий:

§ 3.16 Закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии − результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711−1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю. Майером (1814− 1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821−1894).

Пусть на рассматриваемое тело действуют только потенциальные силы, т.е. силы, удовлетворяющие условию (15.2). Для такого случая согласно(15.3) dA = − dU. В этом случае согласно (14.4) приращение кинетической энергии происходит за счет работы этих сил, т.е. dT = dA. Из сравнения выражений (14.4) и (15.3) находим, что dT = − dU или d(T + U) = dE = 0. Откуда следует, что величина E = T + U = const. Таким образом, выполняется закон сохранения полной механической энергии, равной сумме кинетической и потенциальной энергий, если на тело действуют только потенциальные силы.

Теперь рассмотрим замкнутую консервативную систему тел, т.е. такую си-

стему, на которую не действуют внешние силы. Положение отдельных тел си-

стемы определяется радиус-вектором ri (xi ,yi ,zi ), i=1,2,3,…,n; n − количество тел

в системе. Потенциальная энергия системы зависит от положения всех тел си-

51

все остальные неподвижны. Тогда элементарная работа перемещения i-го тела будет равна:

т.е. элементарная работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. С другой стороны эта элементарная работа идет на приращение кинетической энергии i-го тела, т.е.

Просуммируем выражения (16.3) для всех тел системы в предположении возможности перемещения всех тел системы:

Первое слагаемое в (16.4) представляет собой полное изменение кинетической энергии всех тел системы dТ, а второе слагаемое представляет собой изменение потенциальной энергии системы dU. Тогда выражение (16.4) принимает вид d(T+U) = dE = 0. Откуда следует, что величина

Таким образом, выполняется закон сохранения полной механической энергии для замкнутой консервативной системы тел. В замкнутых системах могут происходить лишь превращения кинетической энергии в потенциальную энергию и обратно в эквивалентных количествах, так что полная механическая энергия остается неизменной.

В данном параграфе мы рассматриваем закон сохранения энергии при макроскопическом движении макроскопических тел. Т.е. мы полностью отвлекаемся от внутреннего атомистического (микроскопического) строения вещества. Закон сохранения и превращения энергии - фундаментальный закон природы, он справедлив как для систем макроскопических тел, так и для систем микрочастиц.

52