Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

j=2i +1

Наконец, при 2l−1 < n 6 2l имеем в силу теоремы 1.2.3, (2.1.9) и (2.1.10)

ωk−1/p( f ,1/n) 6 ωk−1/p( f − Znkl ( f ),1/n) + ωk−1/p(Znkl ( f ),1/n) 6

6 C3 ∑ j−k+1/p−1k(Zkj ( f ))(k)kp 6 C3 ∑ j−k+1/p−1k(Zkj ( f ))(k)kp. j=2l +1 j=n

Теорема 2.1.4 доказана.

Напомним, что ω Φ принадлежит классу Nα, α > 0, если для 0 < < δ < η 6 2π имеем ω(η) 6 C(η/δ)αω(δ).

Теорема 2.1.5. Пусть 1 < p < ∞, k N, ω Nk−1/p B. Тогда условия

ωk−1/p( f ,δ) = O(ω(δ)), δ [0,2π],

и

k(Zkj ( f ))(k)kp = O( jk−1/pω(1/ j), j N,

равносильны.

Доказательство. С помощью неравенства С. М. Никольского – С. Б. Стечкина (1.1.9), теорем 1.2.4 и 2.1.2 получаем

k(Znk ( f ))(k)kp 6 C1 nk ωk (Znk ( f ),1/n)p 6 C1 nk−1/p ωk−1/p(Znk ( f ),1/n) 6

6 C2 nk−1/p ωk−1/p( f ,1/n) 6 C3 nk−1/p ω(1/n),

если ωk−1/p( f ,δ) = O(ω(δ)), δ [0,2π]. Обратно, из условия k(Zkj ( f ))(k)kp = = O( jk−1/pω(1/ j)), j N, по теореме 2.1.4 и условию ω B следует, что

∞

ωk−1/p( f ,1/n) 6 C4 ∑ j−1 ω(1/ j) 6 C5 ω(1/n).

j=n

Используя условие ω Nk−1/p, получаем ωk−1/p( f ,δ) = O(ω(δ)), δ[0,2π], что завершает доказательство теоремы 2.1.5.

Замечание 2.1.2. Теорема 2.1.5 является аналогом теоремы 1.3.11 для средних Зигмунда – Рисса.

81

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 2.1.6. Пусть 1 < p < ∞, k N, f Lp, r Z+ и

∞

∑ nr+ 1p −1En( f )p < ∞.

n=1

Тогда f совпадает почти везде на R с функцией f0, такой что всюду существует f0(r) Cp и

k f0(r) − Znk ( f0(r))kVp 6

6 C ∑∞i=n+1 ir+1/p−1Ei( f )p + n−k ∑ni=0(i + 1)r+1/p−1Ei( f )p , n N.

Применяя теорему 1.5.1 аналогично (2.1.11) и меняя порядок суммирования, получаем при n N

∞

En( f0(r))Vp 6 C4 nr n1/pEn( f )p + nr ∑ i1/p−1Ei( f )p+

i=n+1

82

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

i=n+1

!

∞j

+ ∑ ∑ ir−1 j1/p−1E j ( f )p 6

6 C7 n−k ∑(i + 1)k−1 (i + 1)r+1/pEi( f )p + ∑( j + 1)r+1/p−1E j ( f )p 6

Теорема 2.1.6 доказана.

83

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 2.1.7. Пусть 1 < p < ∞, k N, r Z+ и убывающая к ну-

Доказательство. Оценка сверху вытекает из теоремы 2.1.6. Поскольку k · kVp > k · k∞, оценка снизу следует из предложения 2.1.3.

Замечание 2.1.3. Теорема 2.1.7 является уточнением предложения 2.1.3. Близкий к теореме 2.1.7 результат для мультипликативных систем установлен Т. В. Иофиной [54].

Теперь дадим одно утверждение о средних Зигмунда – Рисса, вытекающее из теорем 2.1.1 и 2.1.2. Пусть ω(δ) положительна на (0,2π] и возрастает на [0,2π], ω(0) = 0 и ω C[0,2π]. Будем писать, что fHkω−1/p, k N, 1 < p < ∞, если f Cp и

ωk−1/p( f ,δ) ≤Cω(δ),δ [0,2π].

Ранее обозначение Hkω−1/p использовалось для компактных классов, в этой главе оно будет применяться для пространств типа Гёльдера.

Норма в Hkω−1/p задается равенством

k f kω,k−1/p = k f kVp + sup ωk−1/p( f ,δ)/ω(δ).

2π≥δ>0

Теорема 2.1.8. Пусть ω(δ), ϕ(δ) положительны на (0,2π] и возрастают на [0,2π], ω(0) = ϕ(0) = 0 и ω,ϕ C[0,2π], причем λ(δ) :=

(2.1.13)

84

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

При 0 < δ < 1/n находим по теореме 2.1.2 или следствию 2.1.1

2π≥δ>0

Поскольку по теореме 2.1.1

k f − Znk ( f )kVp ≤C4ω(1/n) = C4ϕ(1/n)λ(1/n) ≤C5λ(1/n),

то ее утверждение доказано.

Замечание 2.1.4. Результаты данного параграфа получены Т. С. Чикиной (Chikina) [23]. В качестве их следствия приведем результат о так называемом функционале реализации. Суть результата в том, что введенный перед теоремой 1.3.12 K-функционал реализуется на средних Зигмунда – Рисса.

Следствие 2.1.3. Пусть 1 < p < ∞, r N. Тогда для f Cp справед-

Следствие 2.1.3 доказано.

85

С.С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

2.2.Приближение обобщенными средними Абеля – Пуассона

илогарифмическими средними в Vp

где Sn( f ) = a0( f )/2 + ∑nk=1(ak ( f )cos kx + bk ( f )sin kx) – частная сумма ряда Фурье функции f порядка n. При λ = 0 верно равенство

A0(r, f )(x) = a0( f ) + ∞ rn(a ( f )cos nx + b ( f ) sin nx),

∑ n n

2n=1

т.е. получаются классические средние Абеля – Пуассона. В дальнейшем

f ,g L1 и ядра Дирихле

n

Dn(t) = 1/2 + ∑ cos kt = sin(n + 1/2)t/2 sin t/2, t 6= 2πk,

k=1

уже используемые ранее. Очевидно, что Sn( f ) = π−1 f Dn и что |Dn(t)|≤ ≤ π/2t, t (0,π).

Обобщенные средние Абеля – Пуассона Aλ(r, f ), по-видимому, были введены Х. Ханом (Khan) [58], который дал критерий сходимости этих средних в точке при r → 1 − 0. Им же [59] получены поточечные оценки обобщенного ядра Абеля – Пуассона (см. лемму 2.2.1), которые будут активно нами использоваться. Другие подходы к обобщению средних Абеля – Пуассона см. в [60, гл. 4]. Интересные оценки приближений классическими средними Абеля – Пуассона в Lp и C можно найти в работе М. Ф. Тимана [53]. Логарифмические средние произвольного числового ряда были определены Д. Борвейном (Borwein) [61]. Сходимость в точке логарифмических средних ряда Фурье была исследована Ф. Хсиангом (Hsiang) [62]. Они задаются равенством

∞

L(r, f ) = |ln(1 − r)|−1 ∑ (n + 1)−1rn+1Sn( f ) = f Jr , r (0,1),

n=0

где

∞

Jr = |ln(1 − r)|−1 ∑ (n + 1)−1rn+1Dn.

n=0

86

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Необходимую нам в дальнейшем оценку ядра обобщенных средних Абеля – Пуассона мы возьмем из [59].

Лемма 2.2.1. Пусть

∞

+ ∑ (n + 1)−1rn+1t−1 sin(n + 1)t =

n=0

∞

= O(|ln(1 − r)|) + t−1Im ∑ rneint n−1 =

n=1

= O(|ln(1 − r)|) + t−1Im ln[(1 − reit )−1] =

=O(|ln(1 − r)|) + t−1 arctg[r sin t/(1 − r cos t)].

87

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Здесь рассматривается ветвь ln z со свойством ln(1) = 0. При 0 < t ≤ 1 − r в силу неравенств arctg t < t и sin t < t имеем

t−1 arctg[r sin t/(1 − r cos t)] < t−1r sin t/(1 − r cos t) < r/(1 − r),

откуда следует при t (0,1 − r]

88

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Лемма 2.2.2 доказана.

Теорема 2.2.1. Пусть −1 < λ < 1, 1 < p < ∞, {εn}∞n=0 убывает к нулю

89

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

где Kr,λ(t) то же, что в лемме 2.2.1. По теореме 1.2.2 (обобщенному неравенству Минковского в VP) и лемме 2.2.1 находим, что

π(1−r)

90