Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Классические результаты такого рода рассматривают f и g(r), принадлежащие одному и тому же пространству (см. [35, гл. 6, § 2]).

Теорема 1.3.12. Для f Cp, 1 < p < ∞, r N имеет место эквивалентность

откуда ωr−1/p( f ,t) ≤ 2r−1K( f ,tr−1/p,Cp,Wpr ), t [0,2π].

С другой стороны, пусть t ((n + 1)−1,n−1], n N. Тогда, используя теорему 1.2.5, лемму 1.3.2 следствие 1.3.1 и неравенство (1.2.12), имеем

поскольку, как указано в замечании 1.3.1, теорема 1.3.7 верна при замене τn( f ) на Vn( f ). Аналогичная (1.3.14) оценка верна и при 1 < t ≤2π в силу теоремы 1.2.5 и неравенства

K( f ,(2t)r−1/p,Cp,Wpr ) ≤ 2r−1/pK( f ,tr−1/p,Cp,Wpr ).

1.4. Приближение сопряженных функций в Vp

Результаты этого параграфа получены в основном Б. И. Голубовым

[19]и являются аналогами утверждений из работы Н. К. Бари [20]. Напомним, что ϕ Φ, если функция ϕ(x) не убывает и непрерывна

на [0,2π] ([0,b −a]), причем ϕ(0) = 0. Первые две леммы взяты из работы Н. К. Бари [20].

Лемма 1.4.1. Если ϕ Φ и ряд ∑∞k=1 k−1ϕ(k−1) сходится, то для любого натурального n справедливы неравенства

41

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Так как члены ряда из условия леммы убывают монотонно, а число членов во внутренней сумме из ряда выше равно 2 j n, то имеем

откуда и вытекают неравенства леммы 1.4.1.

Лемма 1.4.2. Если выполнены условия леммы 1.4.1 и при этом

откуда вытекает утверждение леммы 1.4.2.

Теорема 1.4.1. Пусть последовательность {an}∞n=1 убывает к нулю, 1 < p < ∞ и f (x) = ∑∞n=1 n−1an sin nx. Тогда f Cp и справедливо неравенство En( f )Vp ≤ Can+1, n N.

42

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Доказательство. По признаку Дирихле ряд, определяющий f (x), сходится при всех x R. Поэтому в силу преобразования Абеля имеем

Теорема 1.4.2 вытекает из части 2) теоремы 1.3.2. Поскольку в теореме 1.4.3 обсуждается неулучшаемость именно этого утверждения, мы сочли нужным привести его здесь.

Теорема 1.4.2. 1) Пусть ϕ Φ, 1 < p < ∞, f Cp удовлетворяет условию En( f )Vp = O(n−1ϕ(n−1)), n N, а также ∑∞n=1 n−1ϕ(n−1) < ∞. Тогда на R существует f ′ Cp.

2) Если кроме условий части 1) имеет место включение ϕ B, то

En( f ′)Vp = O(ϕ(n−1)), n N.

Следующая теорема для непрерывных функций (т. е. для случая p = = ∞) была доказана Ш. де ла Валле-Пуссеном (Vallee´ Poussin) (см. [37, с. 60]). Она показывает неулучшаемость теоремы 1.4.2.

Теорема 1.4.3. Пусть ϕ Φ, но ∑∞n=1 n−1ϕ(n−1) = ∞. Тогда для лю-

бого 1 < p < ∞ существует f Cp, такая что En( f )Vp = O(n−1ϕ(n−1)), n N, но при этом f ′, существующая, например, как функция из Lp, не

эквивалентна (т. е. не является равной п. в.) функции ψ Cp.

43

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Доказательство. Рассмотрим функцию

∞

f (x) = ∑ n−2ϕ(n−1) sin nx.

n=1

n=1

определяет функцию из Lp, например в силу теоремы Хаусдорфа – Юнга (см. [8, гл. 2, § 4]), и этот ряд соответствует f ′. Если f ′ эквивалентна ψCp, то в силу одного результата Л. С. Юнга [4] ее ряд Фурье сходится

вкаждой точке x к значению ψ(x). Но ряд (1.4.3) очевидно расходится

вточке x = 0. Полученное противоречие доказывает теорему.

и r N. Обозначим через W rVp множество 2π-периодических интегралов порядка r от функций g Cp, таких что kgkVp ≤ 1.

Теорема 1.4.4. Если r N, 1 < p < ∞, f W rVp, то при n Z+ спра-

где D(0r)(t) = ∑∞k=1 k−r cos(kt − πr/2).

Пусть λ = {λnk }∞n,,kn=0, n N – треугольная матрица. Введем связанные с ней линейные средние ряда Фурье функции f :

n

tn( f )(x) = a0/2 + ∑ λnk (ak ( f ) cos kx + bk ( f ) sin kx),

k=1

44

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

где

Очевидно, что

§ 5.5.1]), что минимальное значение нормы в правой части неравенства

45

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Минимум нормы в правой части последнего неравенства равен Kr (n +

e

Доказательство. По условию существуют C1(p) > 0 и tn Tn, такие

что k f − tnkVp ≤ C1ϕ(n−1), n N. Обозначим через F и θn 2π-периоди- ческие интегралы первого порядка от f и tn (см. доказательство преды-

дущей теоремы). Тогда справедливо неравенство kF ′ − θ′nk ≤ C1ϕ(n−1), n N. Следовательно, (F − θn)/(C1ϕ(n−1)) W 1Vp. На основании теоремы 1.4.4 имеем

заключаем, что эти функции равны почти всюду, откуда следует утверждение 1) теоремы.

2) Пусть справедливо условие ϕ B. Тогда по теореме 1.4.2 име-

Теорема 1.4.6. Пусть 1 < p < ∞, ϕ Φ, но ∑∞n=1 n−1ϕ(n−1) = ∞. Тогда существует f Cp, для которой выполнено условие En( f )Vp = O(ϕ(n−1)),

n N, но сопряженная функция fe(x) не эквивалентна никакой функции

из Cp.

Доказательство. Положим,

n=1

Поскольку ϕ(n−1) убывает к нулю, то по теореме 1.4.1 имеем fCp для любого 1 < p < ∞, причем выполнено соотношение En( f )Vp =

46

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

= O(ϕ(n−1)), n N. Однако сопряженная функция

∞

fe(x) = − ∑ n−1ϕ(n−1) cos nx

n=1

равна −∞ в x = 0 в силу условия. Если бы fe была эквивалентна ψ CpC∞, то ψ(x) была бы непрерывной и средние Фейера ряда Фурье этой функции в точке x = 0 сходились к ψ(0). Но хорошо известно, что если последовательность имеет предел, хотя бы и бесконечный, то ее средние арифметические сходятся к такому же пределу. Полученное противоречие доказывает теорему 1.4.6.

Теорема 1.4.7. Пусть 1 < p < ∞, ϕ Φ, ∑∞n=1 n−1ϕ(n−1) < ∞, но

∞

∑ k−1ϕ(k−1) 6= O(ϕ(n−1)), n N.

k=n

Тогда существует f Cp, для которой выполнено условие En( f )Vp =

= O(ϕ(n−1)), n N, сопряженная функция fe(x) принадлежит Cp, но при

этом En( fe)Vp =6 O(ϕ(n−1)).

Доказательство. Снова рассмотрим f (x) из (1.4.7). Как установлено при доказательстве предыдущей теоремы, f Cp для всех 1 < p < ∞ и En( f )Vp = O(ϕ(n−1)), n N. Кроме того, в силу условия и теоремы 1.4.5

можно считать, что fe Cp. Но при выполнении всех условий данной теоремы имеем, благодаря аналогу леммы 1.3.4 для равномерной метрики,

Из вышеприведенного неравенства и леммы 1.4.2 мы выводим, что предположение En( fe)Vp = O(ϕ(n−1)), n N, ведет к противоречию, поэтому утверждение теоремы 1.4.7 доказано.

Последние теоремы параграфа не содержатся в [19]. При r = 0 теорема 1.4.8 уточняет теорему 1.4.5, а при r N является аналогом части 2) теоремы 1.3.2 для сопряженной функции.

Теорема 1.4.8. Пусть 1 < p < ∞, f Cp, r Z+. Если сходится ряд ∑∞n=1 nr−1En( f )Vp , то сопряженная функция f эквивалентна функции g

47

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

≤C1n−1En( f )Vp , n N. В силу условия теоремы выводим сходимость ряда

п. в. на R, т. е. fe(x) равна почти всюду функции g(x), для которой существует g(r) Cp. При этом также по теореме 1.3.2

Доказательство. Из условия теоремы следует, что для f EVp (ε) ряд ∑∞i=1 ir−1Ei( f )Vp сходится и по теореме 1.4.8 существует g Cp, эквивалентная f , такая что g(r) Cp. Оценка сверху в соотношении (1.4.8)

реме 1.4.1 имеем f0/C1 EVp (ε) для некоторого C1 > 0. С другой стороны,

формально продифференцированный r раз ряд Фурье для fe0 сходится равномерно в силу условия ∑∞i=1 ir−1εi < ∞ и имеет вид

∞

− ∑ ir−1εi sin(ix + π(r + 1)/2).

i=1

Будем обозначать сумму последнего ряда через g0. При r четном, т. е. r + 1 нечетном, имеем в силу леммы 1.3.4 и определения нормы в Vp

En(g0)Vp ≥4−1kg0 −Vn(g0)kVp ≥4−1kg0 −Vn(g0)k∞ ≥4−1|g0(0)−Vn(g0)(0)|≥

48

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

При r + 1 четном, т. е. нечетном r, мы рассмотрим ∑∞n=1 n−1εn cos nx в качестве f0. Ясно, что

∞ ∞

∑ i−1εi ≤ n−r ∑ ir−1εi ≤C4εn, n N,

i=n i=n

т. е. {εi}∞i=0 удовлетворяет условию Бари. Тогда в силу теоремы 1.4.1

1.5. Уточненные теоремы приближения в Vp

Лемма 1.5.1 установлена в [39] и [40]. Ее доказательство опирается на теорему Литтлвуда – Пэли [41, гл. 15, § 4, теорема 4.24], которая, в свою очередь, доказывается непросто. Поэтому в рамках данной работы сделать доказательство леммы самодостаточным невозможно.

Лемма 1.5.1. Пусть 1 < p < ∞, k N, γ = max(p,2), β = min(p,2). Тогда для f Lp имеют место неравенства

в сумме справа заменить n на n − 1 и все Ei( f )p заменить на En( f )p. Гораздо сложнее показать, что из (1.5.1) следует (1.3.2) в Lp (см. [28, гл. 6, § 6.1.5]).

В лемме 1.5.2 приведены классические неравенства Харди – Литтлвуда [42, с. 308, теорема 346]. Поскольку в [42] дан скорее набросок доказательства, мы приведем его полностью.

49

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Лемма 1.5.2. Пусть {ai}∞i=1 – неотрицательная последовательность, p > 1. Тогда при α > 1 имеем неравенство

при условии сходимости ряда слева.

Доказательство. 1) Пусть α > 1 и sn = ∑nk=1 ak , n N, s0 = 0. Рассмотрим последовательность

Применяя преобразование Абеля и теорему Лагранжа о среднем, находим, что

50