Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

∞

≤ ∑(2i+1n)r (kS2i ( f ) − f kp + k f − S2i−1 ( f )kp)≤

2) Доказательство п. 2) теоремы проводится аналогично п. 1). При этом нужны следующие изменения: а) вместо Sn( f ) рассматриваются полиномы наилучшего приближения τn( f ) Tn, n N, со свойством k f − − τn( f )kVp = En( f )Vp ; б) после доказательства того, что

путем r-кратного применения классической теоремы о почленной дифференцируемости устанавливается, что f (r)(x) = ϕ(x), x R.

С помощью предложения 1.3.1 и п. 1) теоремы 1.3.2 легко уста-

Используя теорему 1.3.3, получим обратную теорему приближения в Vp в обобщенном виде.

Теорема 1.3.4. Пусть 1 < p < ∞, f Cp, k N. Тогда для некоторой константы C > 0 справедливо неравенство

Доказательство. Пусть τn( f ) Tn таков, что k f −τn( f )kVp = En( f )Vp . Тогда имеем

ωk−1/p( f ,δ) ≤ ωk−1/p(τn( f ),δ) + ωk−1/p( f − τn( f ),δ)≤

31

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

≤ωk−1/p(τn( f ),δ) + 2k−1k f − τn( f )kVp = ωk−1/p(τn( f ),δ) + 2k−1En( f )Vp .

(1.3.3) Далее в силу теоремы 1.2.3 получаем неравенство ωk−1/p(τn( f ),δ) ≤

≤ δk−1/pkτ(nk)( f )kp, а благодаря теореме 1.3.3 находим, что

∞

kτ(nk)( f )kp ≤C1 ∑(i + 1)k−1/p−1Ek (τn( f ))Vp .

i=0

Но при i < n справедливо неравенство

Ei(τn( f ))Vp ≤ Ei( f − τn( f ))Vp + Ei( f )Vp ≤ ≤k f − τn( f )kVp + Ei( f )Vp ≤ 2Ei( f )Vp ,

а при i ≥ n ясно, что Ei(τn( f ))Vp = 0. Поэтому находим, что

n−1

ωk−1/p(τn( f ),δ) ≤ 2C1δk−1/p ∑ (i + 1)k−1/p−1Ei( f )Vp . i=0

Подставляя последнее неравенство в (1.3.3), приходим к нужному неравенству.

Лемма 1.3.2. Пусть α > −1. Тогда C1nα+1 ≤ ∑ni=1 iα ≤ C2nα+1 для некоторых констант C2 > C1 > 0.

Доказательство. Пусть α > 0. Тогда функция xα возрастает и поэтому

при достаточно больших n, откуда следует такое же неравенство при всех n. Левое неравенство леммы доказывается аналогично.

Следствие 1.3.2 дает обратную теорему приближения для модуля

гладкости ωk−1/p( f ,δ).

Следствие 1.3.2. При выполнении условий теоремы 1.3.4 верно неравенство

n−1

ωk−1/p( f ,1/n) ≤Cn−k+1/p ∑ (i + 1)k−1/p−1Ei( f )Vp , n N. i=0

32

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Доказательство. В неравенстве теоремы 1.3.4 полагаем δ = 1/n, а в силу леммы 1.3.2 находим, что

Из следствий 1.3.1 и 1.3.2 легко вытекает

Следствие 1.3.3. При выполнении условий теоремы 1.3.4 и дополнительного условия ω Bk−1/p соотношения ωk−1/p( f ,t) = O(ω(t)), t

[0,2π] и En( f )Vp = O(ω((n + 1)−1)), n Z+, являются эквивалентными. Лемма 1.3.3. Пусть ω Bα, α > 0, m N, m ≥ 2. Тогда

ω(1/n) ln m ≤Cmαω((mn)−1), n N.

Доказательство. Аналогично доказательству следствия 1.3.2 имеем

ω(1/n) ≤C1ω(1/n)n−α ∑ iα−1 ≤C1n−α ∑ iα−1ω(1/i)≤

jn

≤C1n−α ∑ iα−1ω(1/i) ≤C2n−α( jn)αω(( jn)−1) = C2 jαω(( jn)−1).

i=1

С другой стороны, в силу условия ω Bα находим, что

j=1 i=( j−1)n+1 j=1

В самом деле, при α ≤ 1 имеем iα−1 ≥ ( jn)α−1, ( j − 1)n + 1 ≤ i ≤ jn, и C4 = = 1, а при α > 1 и j ≥ 2 получаем

iα−1 ≥ (( j − 1)n)α−1 ≥ 21−α( jn)α−1.

В итоге находим, что

= C5ω(1/n)ln(m + 1) ≥C5ω(1/n)ln m.

33

С.С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Спомощью леммы 1.3.3 и теоремы 1.3.4 получим обращение теоре-

мы Джексона в Vp (см. следствие 1.3.1). Близкий результат в пространствах Lp установлен в монографии А. Ф. Тимана [28, гл. 7, п. 7.1.12].

Теорема 1.3.5. Пусть 1 < p < ∞, k N, f Cp и ωk−1/p( f ,t) Bk−1/p. Тогда существует C > 0, не зависящее от n N, такое что

En( f )Vp ≥Cωk−1/p( f ,1/n).

Доказательство. Для упрощения записей положим En = En( f )Vp , ω(t) = ωk−1/p( f ,t). В силу теоремы 1.3.4, следствия 1.3.1 и условия ωBk−1/p получаем

Пусть δ = (mn)−1, m N, m ≥ 2. Тогда в силу леммы 1.3.3 и предыдущего неравенства получаем

C4ω(1/n) ln m ≤mk−1/pω((mn)−1)≤C1mk−1/p(En +C3(n/(mn))k−1/pω(1/n)) = = C1mk−1/pEn +C5ω(1/n).

Отсюда выводим неравенство ω(1/n)(C4 ln m −C5) ≤C1mk−1/pEn. При достаточно большом m имеем C4 ln m −C5 > 1, и тогда получаем En( f )Vp ≥

≥ C6ωk−1/p( f ,1/n), где C6 = (C1mk−1/p)−1.

Теперь мы можем вывести эквивалентность двусторонних оценок для модулей гладкости и наилучших приближений.

Теорема 1.3.6. Пусть 1 < p < ∞, k N, f Cp и ω, ωk−1/p( f ,t)

Bk−1/p. Тогда условия ωk−1/p( f ,δ) ω(δ), δ [0,2π], и En( f )Vp ω(1/n), n N, равносильны.

Доказательство. Пусть C1ω(δ)≤ωk−1/p( f ,δ)≤C1ω(δ), δ [0,2π]. По теореме Джексона в Vp (следствие 1.3.1) мы имеем

En( f )Vp ≤C3ωk−1/p( f ,1/n) ≤C3C2ω(1/n), n N,

а по теореме 1.3.5 верно, что En( f )Vp ≥ C4ωk−1/p( f ,1/n) ≥ C4C1ω(1/n). Таким образом, En( f )Vp ω(1/n), n N.

Обратно, пусть C5ω(1/n)≤En( f )Vp ≤C6ω(1/n), n N. Тогда снова по следствию 1.3.1 получаем C5ω(1/n) ≤ En( f )Vp ≤C3ωk−1/p( f ,1/n), откуда

34

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

ωk−1/p( f ,1/n) ≥ C5C3−1ω(1/n). Если δ (0,1], найдем n N, такое что 1/(n + 1) < δ ≤ 1/n. Тогда по теореме 1.2.5

ω(δ) ≤ ω(1/n) ≤C3C5−1ωk−1/p( f ,1/n) ≤C3C5−1ωk−1/p( f ,2/(n + 1))≤

≤C3C5−12k−1/pωk−1/p( f ,1/(n + 1)) ≤ 2k−1/pC3C5−1ωk−1/p( f ,δ).

Далее по обращению теоремы Джексона (теорема 1.3.5) находим, что

При δ > 1 все вытекает из теоремы 1.2.5 и неравенства ω(2t) ≤ ≤C7ω(t), t [0,π], полученного из условия ω Bk−1/p (см. [14, лемма 3]).

Важную роль в дальнейшем играет оценка модуля гладкости приближающего агрегата через модуль гладкости такого же порядка самой функции. Первый результат такого рода был получен С. Б. Стечкиным [31]. Теорема 1.3.7 была установлена в [32]. Через τn( f ) снова обозначим полином наилучшего приближения для f в Vp порядка не выше n.

Теорема 1.3.7 Пусть k N, 1 < p < ∞, f Cp. Тогда

ωk−1/p(τn( f ),δ) ≤Cωk−1/p( f ,δ), δ [0,2π].

Доказательство. Для произвольного tn Tn используем первое из неравенств (1.2.12). Тогда

ktn(k)kp ≤ πk nk−1/pωk−1/p(tn,1/n).

В силу первого неравенства теоремы 1.2.3 и предыдущего неравенства имеем

ωk−1/p(τn( f ),δ) ≤ kτ(nk)( f )kpδk−1/p ≤ πk (nδ)k−1/pωk−1/p(τn( f ),1/n).

(1.3.4) Рассмотрим теперь два случая. При δ ≥ 1/n используем следствие 1.3.1,

Подставляем в (1.3.4) сначала (1.3.5) при δ = 1/n, а потом (1.3.6), после чего получаем нужное неравенство.

35

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теперь приведем некоторый вариант обратной теоремы приближения, где p-вариационный модуль гладкости f оценивается через Lp-нормы производных полиномов наилучшего приближения в Vp для f . Аналогичная оценка для модуля гладкости в Lp через Lp-нормы производных полиномов наилучшего приближения в Lp принадлежит В. В. Жуку и Г. И. Натансону [33].

Теорема 1.3.8. Пусть r + 1, m N, p (1,∞). Если f Cp и сходится

ряд

Обозначим τki ( f ) через ui. Отметим, что в силу неравенства En( f )Vp ≤

Суммируя неравенства (1.3.8) по i от l до +∞, применяя последовательно неравенство (1.1.9) при X = Vp, теоремы 1.2.1, 1.2.3 и неравенство ki+1/ki ≤ 4, находим, что

(1.3.9)

36

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

В силу (1.3.9), (1.3.10) и определения k j имеем

Теперь очевидно, что последовательность {u(i r)}∞i=1 фундаментальна в Vp и сходится к ϕ Cp в Vp, и тем более сходится к ϕ в равномерной метрике. Проинтегрированная k раз, 0 ≤ k ≤ r, с сохранением периодичности

последовательность {u(i r)}∞i=1 сохраняет свойство равномерной сходимости, а {ui}∞i=1 равномерно сходится к f . Отсюда по классической теореме о почленном дифференцировании получаем f (r)(x) = ϕ(x), x R.

Снова используя теорему 1.2.3, находим, что

ωm−1/p( f (r),1/n) ≤ ωm−1/p( f (r) − u(l r),1/n) + ωm−1/p(u(l r),1/n)≤ ≤2m−1k f (r) − u(l r)kVp + n1/p−mku(l r+m)kp.

В силу доказанного выше

Полагая l N таким, что 2l−1 < n ≤ 2l < kl , и отмечая неравенство

∞

n1/p−mku(l r+m)kp ≤C8kl−m+1/pku(l r+m)kp ≤C9 ∑ k−m−1+1/pkτ(kr+m)( f )kp, k=2l

завершаем доказательство теоремы 1.3.8.

37

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Как отмечено при доказательстве теоремы 1.3.8, из неравенства (1.3.1) и свойства обычного модуля гладкости ωk ( f ,δ)Vp ≤ k f k kVp δk при

f , f ′,. .., f (k) Cp (см. доказательство (1) в [28, гл. 3, п. 3.3]) вытекает

(см. также теорему 1.4.4). Придадим последнему неравенству более законченный вид.

Доказательство. Докажем неравенство теоремы при r = 1. Отметим, что по формуле Ньютона – Лейбница 02π f ′(x)dx = f (2π) − f (0) = = 0. Для полинома τn( f ′) наилучшего приближения в Vp для f ′ через a0 обозначим его свободный коэффициент. Тогда

Применяя полученное неравенство r раз, приходим к утверждению теоремы 1.3.9.

Приведем также аналог классического результата о свойствах средних Валле – Пуссена. Пусть f L1 имеет ряд Фурье с частичными суммами Sn( f )(x). Введем средние Фейера и Валле – Пуссена равенствами

38

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

и что kFnk1 = π. По теореме 1.2.6 отсюда легко следует, что kσn( f )kVp ≤ ≤ k f kVp , n N, а в силу равенства (1.3.12) получаем оценку kVn( f )kVp ≤ ≤ 3k f kVp . Но, по определению, Vn(tn) = tn для tn Tn. В итоге имеем неравенство

k f −Vn( f )kVp ≤k f −τn( f )kVp + kτn( f ) −Vn(τn( f ))kVp + kVn(τn( f ) − f )kVp ≤

≤En( f )Vp + 3k f − τn( f )kVp ≤ 4En( f )Vp .

Теорема 1.3.10 в случае пространства непрерывных 2π-периодиче- ских функций доказана Я. Чипсером (Czipszer) и Г. Фройдом (Freud) [34] (см. также доказательство в [35, гл. 7, теорема 2.7]). Мы дадим несколько отличное доказательство, опирающееся на теорему 1.3.9 и лемму 1.3.4.

Теорема 1.3.10. Пусть 1 < p < ∞, r N, f Cp такова, что суще-

kf (k) − τ(nk)( f )kVp ≤ k f − Vn( f (k))k|Vp + kV(nk)( f ) − τ(nk)( f )kVp ≤

≤4En( f (k))Vp + nk kVn( f ) − τn( f )kVp ≤ 4En( f (k))Vp + nk kVn( f ) − f kVp +

+ nk k f − τn( f )kVp ≤ 5(En( f (k))Vp + nk En( f )Vp ) ≤C1En( f (k))Vp .

Из теорем 1.3.8 и 1.3.10 вытекает следующее описание класса с заданной мажорантой модуля гладкости производной.

39

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 1.3.11. Пусть r + 1,m N, p (1,∞), f Cp такова, что

существует f (r) Cp, ω Nm−1/p ∩ B. Тогда условия ωm−1/p( f (r),δ) = = O(ω(δ)), δ [0,2π], и kτ(nr+m)( f )kp = O(nm−1/pω(1/n)), n N, эквивалентны.

Доказательство. Пусть r = 0 и ωm−1/p( f ,δ) = O(ω(δ)), δ [0,2π].

= O(nm−1/pω(1/n)), n N. При r > 0 в силу теоремы 1.3.10 и следствия 1.3.1 находим, что

k f (r) − τ(nr)( f )kVp ≤C1En( f (r))Vp ≤C2ωm−1/p( f (r),1/n) ≤C3ω(1/n).

(1.3.13) Отметим, что при доказательстве теоремы 1.3.7 используется тот факт,

что k f −τn( f )kVp ≤C4ωk−1/p( f ,1/n), n N, а не равенство k f −τn( f )kVp = = En( f )Vp . Поэтому, рассуждая как при упомянутом выше доказатель-

стве, из (1.3.13) получаем

ωm−1/p(τ(nr)( f ),1/n) ≤C5ωm−1/p( f (r),1/n) ≤C6ω(1/n).

Снова применяя (1.2.12), находим, что kτ(nr+m)( f )kp = O(nm−1/pω(1/n)), n N. Обратное утверждение вытекает из теоремы 1.3.8 в форме

∞

ωm−1/p( f (r),1/n) ≤C1 ∑ k−m−1+1/pkm−1/pω(1/k) ≤C2ω(1/n), n N,

k=n+1

с учетом условия ω B. Условие ω Nm−1/p, из которого следует ω(2t) ≤ ≤ C7ω(t), нужно для получения соотношения ωm−1/p( f (r),δ) = O(ω(δ)) при всех δ [0,2π].

Замечание 1.3.1. Теоремы 1.3.8 и 1.3.11 также установлены в [32]. Теорема 1.3.11 является аналогом результата Г. Суноути (Sunouchi) [36] следующего типа. Пусть f Lp, 1 ≤ p ≤ ∞, r N, 0 < α < r. Тогда усло-

вия En( f )p = O(n−α), n N, и kθn( f )kp = O(nr−α), n N, равносильны. Здесь θn( f ) Tn – полином наилучшего приближения для f в Lp. Анализ

доказательства теорем 1.3.7, 1.3.8 и 1.3.11 показывает, что в них можно заменить полином τn( f ) на Vn( f ). Аналоги теорем 1.3.7 и 1.3.8 для средних Зигмунда – Рисса и Абеля – Пуассона см. в следующей главе.

В заключение параграфа приведем теорему об эквивалентности p-вариационного модуля гладкости и некоторого K-функционала, а имен-

но

K( f ,t,Cp,Wpr ) = inf{k f − gkVp + t|g(r)kp : g Wpr }.

40