Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

ωk ( f ,δ)p ωk ( f ,δ)p, δ [0; 2π], отмеченное ранее, неравенство (1.5.2)

При r = 0 рассмотрим средние Валле – Пуссена Vn( f ), определенные в параграфе 1.3. Как указано в замечании 1.3.1, можно показать, что

71

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Объединяя оценки (1.6.11) и (1.6.13), приходим к неравенству теоремы при r = 0.

Теорема 1.6.6. Пусть 1 < p < ∞, β = min(p,2), (r + 1) N, f Cp и

Доказательство. Докажем теорему сначала при r = 0. Согласно теореме 1.4.1 и теореме 1.4.8 при r = 0, (1.5.1), неравенству С. М. Никольского – С. Б. Стечкина (1.1.9) для тригонометрических полиномов в Lp получаем fe Cp и

= C3(I1 + I2 + I3).

72

Г л а в а 2

ПРИБЛИЖЕНИЕ ЛИНЕЙНЫМИ СРЕДНИМИ РЯДОВ ФУРЬЕ В VP

2.1. Приближение средними Зигмунда – Рисса в Vp

Если f L1 имеет ряд Фурье

то для k > 0 нормальными средними Зигмунда – Рисса порядка k назовем

Приближение 2π-периодических функций средними Зигмунда – Рисса в равномерной и интегральной метриках изучались А. Зигмундом (Zygmund) [51], С. Алянчичем (Aljanciˇc)´ [52], М. Ф. Тиманом [53], Н. А. Ильясовым [45] и многими другими. Для мультипликативных систем ряд результатов о приближении средними Зигмунда – Рисса соответствующих рядов Фурье получен Т. В. Иофиной [54].

Очевидно, что для tn Tn и четного k N мы имеем

где для tn = c0/2 + ∑ (ci cos ix + di sin ix) сопряженный полином tn будет

74

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

метод суммирования с треугольной матрицей Λ = {λi j }ij,,j∞=0 определяет линейные средние

ограничены, то метод суммирования с матрицей Λ удовлетворяет усло-

вию ( ) (соответственно, (g)). Напомним, что при = ∞ мы отож-

bk,p bk,p p

дествляем пространство Cp и пространство 2π-периодических непрерывных функций C с нормой k f k∞ = supx R | f (x)|. Ж. Као (Cao) [55]

i=0

При этом для доказательства такой оценки в равномерной норме для средних Зигмунда – Рисса при нечетном k использовался метод М. Ф. Тимана [53].

Приведем несколько результатов, которые повлияли на постановку задач данного параграфа.

С. Б. Стечкин [31] доказал среди прочих следующий результат.

Предложение 2.1.1. Если f C, tn Tn и k f − tnk∞ ≤ Aωk ( f ,1/n), то

ωk (tn,δ) ≤C(A)ωk ( f ,δ), δ [0,2π]. Здесь через ωk ( f ,δ) обозначен равномерный модуль непрерывности порядка k функции f .

Аналог предложения 2.1.1 для ωk−1/p( f ,δ) и f Cp, 1 < p < ∞, получен в теореме 1.3.7. Г. Суноути [36] получил следующее описание класса функций со степенным порядком наилучшего приближения.

Предложение 2.1.2. Пусть 1 ≤ p ≤ ∞, tn Tn является полиномом наилучшего приближения для f Lp (L∞ = C∞ = C) в Lp и r N, r > α > 0.

Тогда условия En( f )p = O(n−α) и ktn(r)kp = O(nr−α) эквивалентны.

75

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Аналогом предложения 2.1.2 для пространств Cp и Lp является теорема 1.3.11.

Для убывающей к нулю последовательности {εn}∞n=0 определим, как и ранее,

Ep(ε) = { f Lp : En( f )p 6 εn, n Z+}.

В [56] Н. А. Ильясов установил следующее порядковое равенство.

Предложение 2.1.3. Пусть 1 6 p < ∞, k N, r Z+, n Z+, εn ↓ 0

и сходится ряд ∑∞n=1 nr+1/p−1εn. Тогда любая f Ep(ε) эквивалентна f0Cr (т. е. f (r) существует и непрерывна на R) и

sup{k f0(r) − Znk ( f0(r))k∞ : f Ep(ε)}

Напомним, что функция g называется почти возрастающей на интервале (a,b), если существует постоянная K > 0, такая что g(u) ≤ Kg(V) при всех a < u ≤ V < b. Используя предложение 2.1.1, С. А. Теляковский [57] получил следующий результат.

Предложение 2.1.4. Пусть ϕ(δ) – положительная возрастающая на (0,π] функция и для f C дробь ω( f ,δ)/ϕ(δ) почти возрастает на (0,π]. Если для тригонометрического полинома tn Tn справедлива оценка k f − − tnk∞ ≤ Aω( f ,1/n), где A – число, которое может зависеть от n, то

k f −tnkϕ ≤ Aω( f ,1/n) + B(1 + A)ω( f ,1/n)/ϕ(1/n),

где B зависит от постоянной в условии почти возрастания и

k f kϕ = k f k∞ + sup ω( f ,δ)/ϕ(δ).

δ>0

Целью настоящего параграфа является получение аналогов предложения 2.1.1 и теоремы 1.3.11 с использованием методов суммирования, обобщающих средние Зигмунда – Рисса подходящего порядка. Кроме того, уточняется предложение 2.1.3 путем замены в левой части асимптотического равенства (2.1.3) равномерной нормы на норму в Vp. Наконец, методом С. А. Теляковского [57] дается оценка приближения средними Зигмунда – Рисса в p-вариационном аналоге пространства Гёльдера.

76

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Используя теорему 1.2.8, теорему М. Рисса о сопряженной функции в Lp, 1 < p < ∞ (см. лемму 1.3.1) и неравенство С. М. Никольского – С. Б. Стечкина для тригонометрических полиномов (1.1.9), находим, что

kτf(nk)( f )kVp 6 C3n1/pkτf(nk)( f )kp 6 C4n1/pkτ(nk)( f )kp 6

6 C4n1/p(n/(2 sin(1/2)))k ωk (τn( f ),1/n)p.

По прямой теореме приближения в Vp (см. следствие 1.3.1) верно нера-

венство En( f )Vp 6 C5ωk−1/p( f ,1/n). Согласно теореме 1.2.4 и теореме 1.3.7, имеем

k f −Un( f )kVp 6 C7(n + 1)−k+1/pnk n−1/pωk−1/p(τn( f ),1/n)+ +C8ωk−1/p( f ,1/n) 6 C9ωk−1/p( f ,1/n).

Если метод суммирования с матрицей Λ удовлетворяет условию (bk,p), то доказательство аналогично без применения теоремы М. Рисса. Теорема 2.1.1 доказана.

Теорема 2.1.2 является аналогом теоремы 1.3.7 для широкого класса методов суммирования.

77

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

При δ < 1/n в силу теорем 1.2.4, 1.2.3 и следствия 1.2.1, а также неравенства С. М. Никольского – С. Б. Стечкина (1.1.9) и неравенства (2.1.4) при δ = 1/n получаем

Объединяя (2.1.4) и (2.1.5), доказываем теорему 2.1.2.

Следствие 2.1.1. Результаты теорем 2.1.1 и 2.1.2 справедливы для средних Зигмунда – Рисса порядка k N.

Пусть последовательность {εn}∞n=0 убывает к нулю и

EVp (ε) = { f Cp : En( f )Vp 6 εn, n Z+}.

Будем говорить, что метод суммирования с матрицей Λ удовлетворяет условию (βk ), если 1 − λin > Cik /(n + 1)k для всех n N, 0 6 i 6 n.

Теорема 2.1.3. Пусть положительная последовательность {εn}∞n=0 убывает к нулю и выполнено условие Бари (1.5.10). Если метод сумми-

рования с матрицей Λ удовлетворяет условию (βk ) и одному из условий

i=0

78

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Доказательство. Как указано ранее, в случае (g, ) оценка сверху

bk p

в (2.1.6) фактически доказана Ж. Као [55]. В случае (bk,p) по неравенству С. М. Никольского – С. Б. Стечкина (1.1.9) в Vp аналогично доказательству теоремы 2.1.1 имеем

k f −Un( f )kVp 6 C1 En( f )Vp + kτn( f ) −Un(τn( f ))kVp 6

6 C1 En( f )Vp +C2 kτ(nk)( f )kVp (n + 1)−k 6

6 C1 En( f )Vp +C3 ωk ( f ,1/n)Vp 6 C4 ωk ( f ,1/n)Vp .

откуда следует оценка сверху в (2.1.6).

Для оценки снизу рассмотрим функцию f0(x) = ∑∞i=1 i−1εi sin ix. По

теореме 1.4.1 имеем f0 Cp, En( f0)Vp = O(εn), n N. По теореме 1.4.8 (r = 0) функция

∞

f1(x) = ∑ i−1εi cos ix

i=1

также принадлежит Cp и En( f1)Vp 6 C7εn, n N. Но

k f1 −Un( f1)kVp > k f1 −Un( f1)k∞ > | f1(0) −Un( f1)(0)| >

поскольку ε0 ≤ C10ε1. Поэтому для функции f1/C7 получается оценка снизу в (2.1.6), что завершает доказательство теоремы 2.1.3.

Следствие 2.1.2. Результат теоремы 2.1.3 справедлив для средних Зигмунда – Рисса порядка k N.

Замечание 2.1.1. Теорема 2.1.2 является аналогом предложения 2.1.1. Теорема 2.1.3 является аналогом результата М. Ф. Тимана о приближении средними Зигмунда – Рисса [53, формула (4.11)] в равномерной метрике.

Теорема 2.1.4. Пусть 1 < p < ∞, k N. Если f Lp и сходится ряд

∞

∑ i−k−1+ 1p k(Zik )(k)( f )kp, i=1

79

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Поскольку

Zik (Zkj ( f )) = Zkj (Zik ( f ))

и операторы Zkj ограничены в Vp, согласно теореме 1.2.6 и ограничен-

ности L1-норм ядер 1/2 + ∑nk=1(1 − ik /(n + 1)k ) cos kt (см. [53, с. 592]), получаем

kZnki+1 ( f ) − Znki ( f )kVp 6 kZnki+1 ( f ) − Znki (Znki+1 ( f ))kVp +

+ kZnki ( f ) − Znki+1 (Znki ( f ))kVp 6 C1 (ni+1 + 1)−k k(Unki ( f ))(k)kVp + +C1 (ni + 1)−k k(Unki+1 ( f ))(k)kVp ,

Подставляя (2.1.8) в (2.1.7) и суммируя полученные неравенства по i > l, находим, что

i=l

Ясно, что

2i+1

n−i k+1/pk(Znki ( f ))(k)kp 6 ∑ j−k+ 1p k(Zkj ( f ))(k)kp 2−i 6 j=2i +1

80