Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

в Vp[a,b], следовательно, она фундаментальна по норме k · ||∞, поскольку k fn − fmk∞ ≤k fn − fmkVp . Значит, у { fn}∞n=1 существует равномерный пре-

≤ Vp( fn,[a,b]) ≤ k fnkVp . Известно, что фундаментальная последовательность в любом нормированном пространстве ограничена. Следовательно, k fnkVp ≤ C, n N. Поэтому для любого разбиения ξ имеем æξp( f ) ≤

≤ C + 1, т. е. f Vp[a,b].

Докажем, что lim k f − fk kVp = 0. Найдем для ε > 0 такое N, что для

k→∞

любых k, j > N верно неравенство k fk − f j kVp < ε/2. Тогда для любого

Так как в сумме выше конечное число слагаемых, перейдем к пределу

Следовательно, для любого k > N и для любого разбиения ξ имеем неравенство æξp( f − fk ) ≤ ε/2. Следовательно, Vp( f − fk ,[a,b]) ≤ ε/2 < ε. Аналогично для любого k > N1 справедливо неравенство k f − fk k∞ < ε. Таким образом, для любого k > max(N,N1) имеем k f − fk kVp < ε, т. е.

+k f − fnkVp . Найдем такое n, что k f − fnkVp < ε/2. Затем для фиксированного n найдем δ > 0, такое что для любого разбиения ξ диаметра не более

и f Cp[a,b].

11

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 1.1.3. Функции ограниченной p-вариации (p ≥1) на отрезке

[a,b] имеют разрывы только 1-го рода.

Доказательство. Воспользуемся методом от противного. Пусть у x0 [a,b) отсутствует, например, предел справа, но f Vp[a,b]. Для любой последовательности xn → x0 + 0 последовательность { f (xn)}∞n=1 ограничена. Следовательно, в ней существует сходящаяся к некоторому A подпоследовательность { f (xnk )}∞k=1. По определению Гейне предела

{xnk } и {ymk }, а также обозначая оставшиеся элементы через xnk и ymk соответственно, можно создать новую последовательность, в которой за ymk будут следовать xnk , и наоборот. Считаем, что во всех точках этой последовательности либо | f (xnk ) − A| < |B − A|/3, либо | f (ymk ) − − B| < |B − A|/3, т. е. для любых соседних членов zi и zi+1 данной последовательности | f (zi+1) − f (zi)| > |B − A|/3. Рассматривая разбиение ξ, в котором участвуют точки z1,z2,...,zn+1, мы видим, что

Ясно, что вариационные суммы не ограничены. Полученное противоречие устанавливает справедливость теоремы 1.1.3.

Известно, что при a < c < b и f V1[a,b] выполнено равенство

Для p-вариации при 1 < p < ∞ это свойство неверно, но справедливы два неравенства, частично заменяющие его.

Теорема 1.1.4. Пусть 1 ≤ p < ∞, f Vp[a,b], a < c < b. Тогда:

1)Vp( f ,[a,b]) ≤ Vp( f ,[a,c]) + Vp( f ,[c,b]).

2)Vpp( f ,[a,b]) ≥ Vpp( f ,[a,c]) + Vpp( f ,[c,b]).

Доказательство. Для доказательства 1) заметим, что если

f1(x) = χ[a,c](x)( f (x) − f (c)), f2(x) = χ[c,b](x)( f (x) − f (c)),

где χE (x) – характеристическая функция множества E , то f (x) − f (c) = = f1(x) + f2(x). При этом p-вариация функции не зависит от добавления константы. Согласно неравенству Vp( f + g,[a,b]) ≤ Vp( f ,[a,b]) +

12

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

+Vp(g,[a,b]), установленному при доказательстве теоремы 1.1.2, имеем

Vp( f ,[a,b]) = Vp( f (x) − f (c),[a,b]) ≤Vp( f1,[a,b]) +Vp( f2,[a,b]).

Докажем, что правая часть последнего неравенства равна Vp( f ,[a,c]) + +Vp( f ,[c,b]). Действительно, если {x j }nj=0 – разбиение отрезка, причем

x0 < x1 < ... < xi < c ≤ xi+1, то | f1(x j ) − f1(x j+1)| = | f (x j ) − f (x j+1)|, 0 ≤

≤ j ≤ i − 1, | f1(xi) − f1(xi+1)| = | f (xi) − f (c)|, а при k ≥ i + 1 слагаемые | f1(xk+1) − f1(xk )| все равны нулю. Поэтому можно считать, что любая

p-вариационная сумма для f1 по разбиению [a,b] совпадает с некоторой p-вариационной же суммой для f по разбиению [a,c], а любая p-вариа- ционная сумма для f2 совпадает с p-вариационной суммой для f на [c,b].

2)Пусть ξ1 – разбиение [a,c], а ξ2 – разбиение [c,b]. Рассмотрим ξ =

=ξ1 ξ2 = {a = x0 < x1 < ... < xi = c < xi+1 < .. . < xn = b}. Тогда имеем

Теперь пусть разбиения ξ1,ξ2 отрезков [a,c] и [c,b] соответственно обладают свойствами

> Vpp( f ,[a,c]) +Vpp( f ,[c,b]) − ε.

Так как ε > 0 произвольно, то Vpp( f ,[a,b]) ≥ Vpp( f ,[a,c]) + Vpp( f ,[c,b]). Теорема доказана.

Следствие 1.1.1. При p = 1 из неравенств теоремы 1.1.4 вытекает равенство (1.1.3).

Следующий результат важен при оценке приближения интерполирующими агрегатами в p-вариационной метрике.

13

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 1.1.5. Пусть 1 < p < ∞, разбиение {a = c0 < c1 < . .. < < cn = b} отрезка [a,b] и функция f Vp[a,b] таковы, что f (ci) = 0 при i = 1,2,. ..,n − 1. Тогда

Vp( f ,[a,b]) ≤ 21−1/pω1−1/p( f ,λ),

где λ = diam({ci}ni=0).

Доказательство. Пусть ξ = {xi}m0 – разбиение отрезка [a,b]. Если xi − xi−1 > λ, найдем номера ν и µ такие, что cν−1 ≤ xi−1 < cν, cµ < xi ≤

(1.1.4)

При 0 ≤ xi − xi−1 < λ записываем равенство

| f (xi) − f (xi−1)|p = | f (xi) − f (xi−1)|p.

Суммируя равенства выше и неравенства (1.1.4) по всем i = 1,2,. ..,n,

получаем

n

∑ | f (xi) − f (xi−1)|p ≤ 2p−1(æp ( f ))p,

i=1

ξ1

где ξ1 состоит из точек xi и c j и имеет диаметр не более λ. Следовательно, правая часть не превосходит ≤2p−1ω1p−1/p( f ,λ). Переходя к точной верхней грани и извлекая корень p-й степени, получаем нужное неравенство.

В следующей теореме обозначим через ω1−1/p( f ,δ)[α,β] модуль непрерывности ω1−1/p( f ,δ) для сужения функции f на отрезок [α,β].

Доказательство. Ограничимся случаем внутренней точки c (a,b)

и ω1−1/p( f ,δ)[a,x]. Найдем разбиение {xi}ni=0 отрезка [a,c] диаметра не более δ, такое что

n

ω1p−1/p( f ,δ)[a,c] < ∑ | f (xi) − f (xi−1)|p + ε/2. i=1

14

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Пусть x < c настолько близко к c (т. е. c − ν < x < c), что | f (x) − f (c)|p < < ε/2 и

| f (c) − f (xn−1)|p − | f (x) − f (xn−1)|p < ε/2.

Тогда

n−1

S = ∑ | f (xi) − f (xi−1)|p + | f (x) − f (xn−1)|p≥

С другой стороны, S ≤ω1p−1/p( f ,δ)[a,x]. Следовательно, переходя к точной

верхней грани по всем разбиениям [a,x] диаметра меньше δ, получаем для всех c − ν < x < c

ω1p−1/p( f ,δ)[a,c] − ε < ω1p−1/p( f ,δ)[a,x] ≤ ω1p−1/p( f ,δ)[a,c].

Последнее неравенство означает, что

lim ω1p−1/p( f ,δ)[a,x] = ω1p−1/p( f ,δ)[a,c], x→c−0

т. е. функция ω1p−1/p( f ,δ) непрерывна слева в c. Аналогично доказывается непрерывность справа этой функции в c.

Теорема 1.1.7. Пусть 1 ≤ p0 < p < p1 < ∞ и f Cp1 [a,b] ∩Vp0 [a,b].

Тогда f Cp[a,b]. Аналогично, если f Cp1 ∩Vp0 , то f Cp.

Доказательство. Докажем неравенство Ляпунова: если 0 < r < s < < t, ai ≥ 0, то

Тогда по неравенству Гёльдера с показателями (t −r)/(t −s) и (t −r)/(s − − r) имеем

15

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Здесь учтено, что (t − s)/(t − r) + (s − r)/(t − r) = 1 и (t − r)/(t − s) > 1,

(t − r)/(s − r) > 1.

Пусть ai = | f (xi) − f (xi−1)|, {xi}ni=0 – разбиение отрезка [a,b] диаметра не более δ, r = p0, s = p, t = p1. Тогда из неравенства Ляпунова

получаем

которая по условию стремится к нулю при δ → 0 + 0. При t → ∞ имеем

(t − s)/(t − r) → 1, а

Если maxi(xi −xi−1) → 0, то в силу равномерной непрерывности f на [a,b] имеем maxi | f (xi) − f (xi−1)| → 0. Следовательно, левая часть неравенства

стремится к нулю, т. е. limδ→0+0 ω1−1/p( f ,δ) = 0 и f Cp[a,b].

Теорема 1.1.8. Пусть f (x) – кусочно-монотонная функция на отрезке [a,b], т. е. существует разбиение {ti}mi=0, такое что на каждом отрезке Ii = [ti−1,ti], i = 1,2,...,m функция f монотонна, а на Ii и Ii+1 характер монотонности различен. Тогда Vp( f ,[a,b]) равно p-вариацион-

ной сумме по некоторому подразбиению {ti}mi=0.

Доказательство. Пусть ξ = {x j }nj=0 – некоторое разбиение [a,b]. Если f (x j ) − f (x j−1) и f (x j+1) − f (x j ) имеют один знак в нестрогом

16

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

смысле, то

|f (x j+1) − f (x j−1)|p ≥ | f (x j+1) − f (x j )|p + | f (x j ) − f (x j−1)|p,

т.е. при удалении x j из разбиения ξ p-вариационная сумма не умень-

шается. С другой стороны, пусть ( f (x j+1) − f (x j ))( f (x j ) − f (x j−1)) < 0

и s [x j−1,x j+1] таково, что f (s) = mint [x j−1 ,x j+1 ] | f (t)|. В силу условия s совпадает с одной из точек ti и при этом

| f (x j+1)− f (s)|p +| f (s)− f (x j−1)|p ≥| f (x j+1)− f (x j )|p +| f (x j )− f (x j−1)|p.

Значит, при замене x j на точку из {ti}mi=0 p-вариационная сумма не уменьшается, откуда следует утверждение теоремы.

простые нули функции Dn(t) = sin(n + 1/2)t/2 sin(t/2), t 6= 2πk, k Z, т. е. tk = 2πk/(2n + 1), |k| = 1,2,...,n. Пусть также t−n−1 = −π, tn+1 = = π, {t−n−1 < t−n) < .. . < t−1 < t1 < .. .tn < tn+1} есть разбиение [−π,π].

Рассмотрим a(kn) = Kn(tk ) − Kn(tk−1), k 6= 0,1, k [−n,n + 1] ∩ Z. Тогда для всех k = 2,3,...,n имеем a(kn)a(kn+)1 < 0 и, используя интегральную теорему

∞

≤C1p ∑ i−p = C2p.

i=1

По теореме 1.1.8 также очевидно, что

17

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

и

Vp(Kn,[tn,tn+1]) = |Kn(tn) − Kn(tn+1)| ≤ (π −tn)(n + 1/2) = π/2.

В силу части 1) теоремы 1.1.4 находим, что

Vp(Kn,[−π,0]) = Vp(Kn,[0,π])≤

≤Vp(Kn,[0,t1]) +Vp(Kn,[t1,tn]) +Vp(Kn,[tn,tn+1]) ≤C2 + 3π/2

и Vp(Kn,[−π,π]) ≤ 2C2 + 3π. Теорема 1.1.9 доказана.

Замечание 1.1.2. Пусть f (x) – 2π-периодическая функция, тогда ее периодическая Vp-норма не превосходит удвоенной p-вариационной нормы на [−π,π]. Действительно, пусть a [−π + 2πk,π + 2πk],

Vp( f ,[a,a+2π])≤Vp( f ,[a,π+2πk])+Vp( f ,[π+2πk,a+2π])≤2Vp( f ,[−π,π]),

так как [−π,a − 2πk] [−π,π] получается сдвигом на число, кратное периоду из [π + 2πk,a + 2π], то же верно для второго отрезка.

Теорема 1.1.10 является аналогом неравенства С. М. Никольского для тригонометрических полиномов (см. [28, гл. 4, § 4.9.2]).

Теорема 1.1.10. Пусть n N и tn Tn, т. е. tn является тригонометрическим полиномом степени не выше n, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞. Тогда

tn порядка не выше n имеется не более 2n корней на периоде, то же верно для его производной. Поэтому для tn Tn и любого a R существует

разбиение {xi}mi=0 отрезка [a,a + 2π], такое что на каждом [xi−1,xi], i = = 1,2,. ..,m функция tn(x) монотонна и m ≤ 2n + 1. По теореме 1.1.8

получаем

1/p

M

где {xi j }Mj=0 {xi}mi=0 – некоторое разбиение периода [a,a + 2π], и по неравенству Гёльдера находим, что

18

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

и Vp(tn,[a,a + 2π]) ≤ (2n + 1)1/p−1/qVq(tn,[a,a + 2π]). Поскольку аналогичное неравенство ktnk∞ ≤ (2n + 1)1/p−1/qktnk∞ очевидно, мы получаем (1.1.7).

Для многочлена pn(x) степени не выше n его производная имеет не более n − 1 корней, поэтому по теореме 1.1.8 найдется разбиение {xi}Mi=0 отрезка [a,b], такое что

1/p

M

Теперь изложим самый краткий путь получения неравенств Никольского – Стечкина в достаточно общих пространствах (см. [28, гл. 4, п. 4.8.61]).

Пусть ρ(t) V1[−σ,σ], µ(t) является суммой равномерно сходящегося ряда ∑n Z cneinπt/σ, где (−1)ncn ≥ 0, ϕ C[−σ,σ],

умножая последний ряд на ϕ(t)eixt и почленно интегрируя, получаем

Здесь используется тот факт, что при f C[a,b], g V1[a,b] существует

Если f принадлежит банаховому пространству X с нормой, инвариантной относительно сдвига, тогда

19

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

∆hg(x) = g(x + h) − g(x − h) очевидно, что ∆hΦ(x) = f (x), а при µ(t) =

= (t/2 sin ht)r мы имеем F (x) = Φ(r)(x) (см. [29]). Чтобы получить функцию Φ(x), равную тригонометрическому многочлену tn(x) = ∑nk=−n ck eikx , нужно взять кусочно-постоянную функцию ρ(t) со скачками ck в точках xk = k, k [−n,n] ∩ Z. В частности, σ = n. Подставляя введенные выше функции в (1.1.8), получаем следующий результат.

Теорема 1.1.11. Пусть X – банахово пространство 2π-периодиче- ских функций с нормой k · kX , инвариантной относительно сдвига, и содержащее пространство тригонометрических полиномов. Тогда для tn

Из теоремы 1.1.11 вытекает следующее неравенство Бернштейна (другой подход к его доказательству см. в [28, гл. 4, п. 4.7]).

Следствие 1.1.2. В условиях теоремы 1.1.11 справедливо неравен-

Подставляя h = π/2n в (1.1.9) и применяя неравенство (1.1.11), приходим к (1.1.10).

1.2. Свойства p-вариационных модулей гладкости

Аналогично доказательству теоремы 1.1.2 для f ,g Vp[a,b] ( f ,gVp), 1 < p < ∞ и k N устанавливается неравенство

ωk−1/p( f + g,δ) ≤ ωk−1/p( f ,δ) + ωk−1/p(g,δ), δ [0,b − a] (δ [0,2π]).

Как и аналогичное неравенство для модулей гладкости целого порядка, оно будет использоваться без специальной ссылки. Кроме того, из из-

20