Приближение функций ограниченной p-вариации
.pdf
Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp
М. Заманским (Zamansky) [65, c. 26] было установлено
Предложение 2.4.2. Пусть l N, f C и tn Tn таковы, что k f −
− tnk∞ < n1−l ϕ(n), n N, где ϕ(x) – положительная строго возрастающая или убывающая непрерывная функция на [1,+∞). Тогда справедливо неравенство
n
ktn(l)k∞ < A1 + A2nϕ(n) + A3 ϕ(x)dx,
1
где A1, A2, A3 являются постоянными.
Обращением предложения 2.4.2 является предложение 2.1.2, принадлежащее Г. Суноути (Sunouchi) [36].
В данном параграфе приводятся условия сходимости частных сумм Фурье функции и ее сопряженной к ним самим в p-вариационной метрике с заданной скоростью. Два из нижеследующих результатов являются аналогами части 1) предложения 2.4.1, а еще два – критериями, подобными предложению 2.1.2, но с участием Sn( f ) вместо полинома наилучшего приближения.
Пусть последовательность {εn}∞n=0 положительна и убывает к нулю. Будем говорить, что {εn}∞n=0 удовлетворяет условию Н. К. Бари – С. Б. Стечкина Bα, α > 0, если
n
∑ (k + 1)α−1εk ≤Cnαεn, n Z+.
k=0
Эти определения аналогичны данным ранее для мажорант модуля гладкости. Отметим, что условие Бари (1.5.10) для {εn}∞n=0 равносильно условию
∞
∑ ε2k n ≤Cεn, n N
k=0
(см. доказательство леммы 1.4.1), а условие {εn}∞n=0 Bα, α > 0, – условию
n
∑ 2kαε2k ≤C2nαε2n , n Z+.
k=0
Кроме того, согласно лемме 2.3.5 включение {εn}∞n=0 Bα, α > 0, влечет выполнение ∆2-условия εn ≤ Cε2n, n Z+.
111
С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации
Теорема 2.4.1. Пусть 1 < p < ∞, |
f Lp, {εn}n∞=0 |
удовлетворяет |
||||||||||||
условию Бари (1.5.10) и |
|
f |
|
S |
|
f |
|
O |
n−1/p |
|
n |
|
N. Тогда f |
|
вивалентна f0 Cp |
и |
k |
|
− |
|
n( |
|
)kp = |
( |
|
εn), |
|
|
e эк- |
e |
k f0 − Sn( f0)kVp = O(εn), |
n N. |
|
|
|
|||||||||
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Применяя теорему 1.2.8, теорему М. Рисса (лемму 1.3.1) и условие k f − Sn( f )kp = O(n−1/pεn), n N, мы имеем
∞ |
∞ |
∑ kS2k+1 n( fe) − S2k n( fe)kVp ≤C1 ∑ (2k n)1/pkS2k+1 n( fe) − S2k n( fe)kp ≤
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
≤C2 ∑ (2k n)1/pkS2k+1 n( f ) − f + f − S2k n( f )kp ≤ |
|
|
|||||||||||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
(2k n)1/p |
|
|
|
ε2k+1 n |
|
|
|
ε2k n |
|
|
|
∞ |
|
|
|||||
≤C3 ∑ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
≤C4 ∑ ε2k n ≤C5εn, (2.4.2) |
|||||||||||
(2k+1n)1/p |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k=0 |
|
(2k n)1/p |
k=0 |
|
|
|||||||||||||||
поскольку {εn}n∞=0 |
удовлетворяет условию Бари (1.5.10). Из (2.4.2) вы- |
|||||||||||||||||||
|
|
2 n( |
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
||||
текает сходимость |
S2k n( f ) Cp |
в Vp |
к функции |
ϕ Cp. Но по теореме |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
p |
|
|
|
|
0 |
|
e |
|
e |
|
|
||
М. Рисса суммы S k |
|
f )(x) |
сходятся к |
f (x) в Lp , поэтому f (x) = |
ϕ(x) |
|||||||||||||||
п. в. на R. Обозначая |
ϕ |
∞ |
|
через |
e |
, в силу (2.4.2) получаем |
N |
|
||||||||||||
|
C |
|
f |
|
|
|||||||||||||||
e |
e |
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
|
||
k f0 − Sn( f0)kVp |
≤ |
∑ kS2k+1 n( f ) − S2k n( f )kVp |
≤C5εn, n . |
|
||||||||||||||||
Теорема 2.4.1 доказана.
f0 |
Теорема 2.4.2. Пусть 1 < p < ∞, f Cp, {εn}n∞=0 удовлетворяет усло- |
|||||||||||||
Cp и |
k |
|
− |
|
n( |
|
)kVp = |
|
(εn) |
|
|
N. Тогда |
e |
|
вию Бари (1.5.10) и |
|
f |
|
S |
|
f |
|
O |
|
, n |
|
f эквивалентна |
||
e |
|
k f0 − Sn( f0)kVp = O(εn), |
n N. |
|
||||||||||
|
|
|
|
Аналогично (2.4.2) с помощью леммы 1.3.1 на- |
||||||||||
|
Доказательство.e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||
ходим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∑ kS2k+1 n( f ) − S2k n( f )kVp ≤ |
|
|||||||||
≤C1 ∑ (2k n)1/p(kS2k+1 n( f ) − f kp + kS2k n( f ) − f kp)≤
k=0
112
Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp
∞
≤C2 ∑ (2k n)1/pE2k n( f )p.
k=0
Но в силу предложения 1.3.1 и условия k f − Sn( f )kVp = O(εn), nN, получаем
|
∞ |
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
|
∑ kS2k+1 n( f ) − S2k n |
( f )kVp ≤C3 ∑ E2k n( f )Vp ≤C4 ∑ ε2k n ≤C5εn. |
|
|||||
|
k=0 |
e |
e |
k=0 |
|
k=0 |
|
|
Аналогично |
доказательству |
теоремы |
2.4.1 |
имеем эквивалентность |
f |
|||
1) e |
|
|
|
e |
e |
= O(εn), n N. |
|
|
и f0 |
Cp, откуда следует, что k f0 − Sn( f0)kVp |
части |
||||||
|
Замечание 2.4.1. Теоремы 2.4.1 и 2.4.2 являются аналогами |
|
e |
|||||
предложения 2.4.1. В условиях теоремы 2.4.1 аналогично ее доказательству можно получить, что f эквивалентна f0 Cp и k f0 − Sn( f0)kVp = = O(εn), n N. Но этот результат легко следует из доказательства тео-
ремы |
1.5.1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2.4.3. Пусть 1 < p < ∞, k N, {εn}n∞=0 удовлетворяет усло- |
|||||||||||||||||||||||||||||
вию Бари (1.5.10) и Н. К. Бари – С. Б. Стечкина Bk . Тогда для |
f Vp |
|||||||||||||||||||||||||||||
условия k f − S |
n |
( f )k |
|
= O(ε |
n |
), n N, |
и |
|
kS(k)( f )k |
|
= O(nk ε |
n |
), |
n N, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Vp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Vp |
|
|
|
|
||||||
равносильны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Доказательство. Пусть k f −S |
m |
( f )k |
|
= O(ε |
m |
), m N, и n [2 j ,2 j+1), |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j Z+. Пользуясь методом М. Заманского [65], сначала запишем |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn(k) |
( f ) Vp |
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
Vp |
j |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Vp |
|
|
|
Vp |
|
|
|||||||
|
|
|
i=1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
≤ |
|
Sn(k)( f ) − S(kj) |
( f ) |
|
|
+ ∑ |
|
S(ki ) |
( f ) − S(ki−) |
1 |
( f ) |
|
|
+ |
|
S1(k)( f ) |
|
|
|
(2.4.3) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и отметим, что |
последнее |
|
|
слагаемое |
(2.4.3) |
|
есть |
O(1), тогда как |
||||||||||||||||||||||
limn→∞ nk εn = ∞ для {εn}∞n=0, удовлетворяющей условию Bk . В самом деле, в этом случае справедлив аналог леммы 2.3.5, другими словами, найдется β (0,k), такое что последовательность {nk−βεn}∞n=0 почти возрастает, в частности nk−βεn ≥Aε1 > 0 для n N. Поэтому limn→∞ nk εn = = ∞. Согласно неравенству Бернштейна (1.1.10) в Vp имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S2(ki ) |
( f ) − S2(ki−)1 |
( f ) Vp |
≤ 2ik kS2i ( f ) − S2i−1 ( f )kVp ≤ |
|
|
||||
≤2 |
ik |
|
|
|
|
|
ik |
ε2i−1 ≤C22 |
ik |
ε2i |
(2.4.4) |
|
(kS2i ( f ) − f kVp |
+ kS2i−1 ( f ) − f kVp ) ≤C12 |
|
|
|||||||
113
С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации
в силу упомянутого выше ∆2-условия для
условию Bk . Аналогично |
|
( f ) − S2(kj) |
|
Sn(k) |
( f ) Vp |
||
|
|
|
|
{εn}∞n=0, удовлетворяющей ≤C2nk εn. Подставляя оцен-
ки (2.4.4) и последнее неравенство в (2.4.3) и учитывая, что ∑ij=0 2kiε2i ≤ ≤ C32 jk ε2 j , легко получаем соотношение
kS(k) |
( f )k |
= O(nk ε |
n |
), n N. |
n |
Vp |
|
|
|
Для доказательства обратного утверждения аналогично (2.4.2) оце- |
||||
ним |
|
|
|
|
∞ |
|
∞ |
|
|
∑ kS2 j+1 n( f ) − S2 j n( f )kVp ≤C4 ∑ (2 j n)1/pkS2 j+1 n( f ) − S2 j n(S2 j+1 n( f ))kp.
j=0 j=0
Применяя теорему М. Рисса (лемму 1.3.1), аналог теоремы 1.4.4 для fWpr , который доказывается тем же методом, и теорему 1.2.7, имеем
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
∑ kS2 j+1 n( f ) − S2 j n( f )kVp ≤C5 ∑ (2 j n)1/pE2 j n(S2 j+1 n( f ))p ≤ |
||||||||||||||||||
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
j |
|
1/p |
kS(k+1) |
( f )k |
p |
|
∞ |
kS(k) |
|
|
( f )k |
|
||||
≤C6 ∑ |
(2 |
n) |
2 j+1 n |
|
|
≤C7 |
∑ |
2 j+1 n |
|
Vp |
≤ |
|||||||
|
|
(2 |
j |
n) |
k+1 |
|
(2 |
j |
n) |
k |
||||||||
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤C8 ∑ ε2 j+1 n ≤C9ε2n ≤C9εn |
|
|
|
|
(2.4.5) |
||||||||||
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в силу условия Бари для {εn}∞n=0. Из (2.4.5) выводим сходимость S2 j n( f ) к f в Vp и оценку k f − Sn( f )kVp ≤ C9εn, откуда вытекает результат теоремы 2.4.3.
Замечание 2.4.2. Отметим, что соотношение k f − Sn( f )kVp = O(εn), n N, влечет оценку kSn(k)( f )kVp = O(nk εn), n N, при условии Bk для
{εn}n∞=0, а обратная импликация верна при выполнении условия Бари |
||
для |
{εn}n∞=0 B. |
|
|
Теорема 2.4.4. Пусть 1 < p < ∞, k N, {εn}n∞=1 B ∩ Bk−1/p. Тогда |
|
для |
f Vp условия |
|
|
k f − Sn( f )kVp = O(εn), |
n N, |
и |
kSn(k)( f )kp = O(nk−1/pεn), |
n N, |
|
||
равносильны.
114
Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp
Доказательство. Пусть k f −Sn( f )kVp = O(εn), n N. Тогда En( f )Vp = = O(εn), n N, и, согласно предложению 1.3.1, верно, что En( f )p =
= O(n−1/pεn), n N. Аналогично доказательству теоремы 2.4.3 или предложению 2.4.2 при выполнении условия Bk для последовательности
{(n + 1)−1/pεn}∞n=0, т. е. при выполнении условия Bk−1/p для {εn}∞n=0, получаем kSn(k)( f )kp = O(nk n−1/pεn), n N.
Обратно, пусть kSn(k)( f )kp = O(nk−1/pεn), n N. Снова с помощью теоремы 1.2.8, теоремы М. Рисса и аналога теоремы 1.4.4 находим, что
∞ ∞
∑ kS2 j+1 n( f ) − S2 j n( f )kVp ≤C1 ∑ (2 j n)1/pkS2 j+1 n( f ) − S2 j n(S2 j+1 n( f ))kp ≤
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|
||
∞ |
|
|
|
|
kS |
(k) |
|
|
|
( f )kp |
∞ |
|
|||
|
j |
|
1/p |
|
j+1 |
|
|
|
|||||||
≤C2 ∑ |
(2 |
n) |
2 |
n |
≤C3 ∑ ε2 j+1 n ≤C4εn. |
(2.4.6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(2 |
j |
n) |
k |
|||||||||
j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
j=0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Как и в предыдущих теоремах, из (2.4.6) выводим неравенство k f − − Sn( f )kVp ≤C4εn, n N, что завершает доказательство теоремы 2.4.4.
Список литературы
1.Jordan C. Sur la serie´ de Fourier // Comptes Rendus de l’Academie´ des Sciences Paris. 1881. Vol. 92. P. 228–230.
2.Wiener N. The quadratic variation of a function and its Fourier coefficients // Journal of Mathematics and Physics (MTI). 1924. Vol. 3. P. 72–94.
3.Young L. C. An inequality of the Holder type, connected with Stielties integration // Acta Mathematica. 1936. Vol. 67. P. 251–282.
4.Young L. C. General inequalities for Stieltjes integrals and the convergence of Fourier series // Mathematische Annalen. 1938. Vol. 115, № 6. P. 581–612.
5.Love E. R., Young L. C. On fractional integration by parts // Proceedings of London Mathematical Society. 1938. Vol. 44, № 1. P. 1–35.
6.Love E. R. A generalization of absolute continuity // Journal of London Mathematical Society. 1951. Vol. 26, № 1. P. 1–13.
7.Avdispahic´ M. Concepts of generalized bounded variation and the theory of Fourier series // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 1986. Vol. 9, № 2. P. 223–244.
8.Бари Н. К. Тригонометрические ряды. Москва : Физматгиз, 1961. 936 с.
9.Hirshman I. I. On multiplier transfromations // Duke Mathematical Journal. 1959. Vol. 26, № 2. P. 221–242.
10.Голубов Б. И. О функциях ограниченной p-вариации // Известия АН СССР.
Серия математическая. 1968. Т. 32, № 2. С. 837–858.
11.Volosivets S. S. Convergence of series of Fourier coefficients of p-absolutely continuous functions // Analysis Mathematica. 2000. Vol. 26, № 1. P. 63–80.
12.Терехин А. П. Приближение функций ограниченной p-вариации // Известия вузов. Математика. 1965. № 2. С. 171–187.
13.Терехин А. П. Интегральные свойства гладкости периодических функций ограниченной p-вариации // Математические заметки. 1965. Т. 2, № 3. С. 289– 300.
14.Бари Н. К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды Московского математического общества. 1956. Т. 5. С. 483–522.
15.Голубов Б. И. О непрерывных функциях ограниченной p-вариации // Математические заметки. 1967. Т. 1, № 2. С. 305–312.
16.Голубов Б. И. Определение скачка функции ограниченной p-вариации по ее ряду фурье // Математические заметки. 1972. Т. 12, № 1. С. 19–28.
17.Голубов Б. И. О рядах фурье непрерывных функций по системе Хаара // Известия АН СССР. Серия математическая. 1964. Т. 28, № 6. С. 1271–1296.
18.Голубов Б. И., Рубинштейн А. И. Об одном классе систем сходимости // Математический сборник. 1966. Т. 71, № 1. С. 93–112.
116
Список литературы
19.Голубов Б. И. О наилучшем приближении p-абсолютно непрерывных функций // Некоторые вопросы теории функций и функционального анализа. 1988. Т. 4. С. 85–99.
20.Бари Н. К. О наилучшем приближении тригонометрическими полиномами двух сопряженных функций // Известия АН СССР. Серия математическая. 1955. Т. 19, № 5. С. 285–302.
21.Волосивец С. С. Уточненные теоремы теории приближений в пространстве p-абсолютно непрерывных функций // Математические заметки. 2006. Т. 80, № 1. С. 701–711.
22.Тюленева А. А. Асимптотические оценки p-вариационных и Lp -модулей непрерывности функций некоторых классов // Известия вузов. Математика. 2016. № 11. С. 68–79.
23.Chikina T. S. Approximation by Zygmund-Riesz means in the p-variation metric // Analysis Mathematica. 2013. Vol. 39, № 1. P. 29–44.
24.Тюленева А. А. Приближение периодических функций ограниченной p-вари- ации обобщенным средними Абеля – Пуассона и логарифмическими средними // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2013. Т. 13, вып. 4. С. 25–32.
25.Тюленева А. А. Приближение функций ограниченной p-вариации средними Эйлера // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия : Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15, вып. 3. С. 300–309.
26.Volosivets S. S., Tyuleneva A. A. Approximation of functions and their conjugates in Lp and uniform metric by Euler means // Demonstratio Mathematica. 2018. Vol. 51, № 1. P. 141–150.
27.Wiener N., Young R. C. The total variation of g(x + h) − g(x) // Transactions of American Mathematical Society. 1933. Vol. 35, № 1. P. 327–340.
28.Тиман А. Ф. Теория приближения функций действительного переменного. Москва : Физматгиз, 1960. 624 c.
29.Civin P. Inequalities for trigonometric integrals // Duke Mathematical Journal. 1941. Vol. 8, № 4. P. 656–665.
30.Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. Москва : Наука, 1977. 512 c.
31.Стечкин С. Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Известия АН СССР. Серия математическая. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.
32.Волосивец С. С. Полиномы наилучшего приближения и соотношения между модулями непрерывности в пространствах функций ограниченной p-вариа- ции // Известия вузов. Математика. 1996. № 9. С. 21–26.
33.Жук В. В., Натансон Г. И. Свойства функций и рост производных прибли-
жающих полиномов // Доклады АН СССР. 1973. Т. 212, № 1. С. 19–22.
34. Czipszer J., Freud G. Sur l’approximation d’une fonction periodique´ et de ses deriv´ees´ successives par un polynome trigonometrique´ et par ses deriv´ees´ successives // Acta Mathematica. 1958. Vol. 99, № 1. P. 33–51.
35.DeVore R. A., Lorentz G. G. Constructive approximation. Berlin ; Heidelberg ; New York : Springer, 1993. 460 с.
36.Sunouchi G. I. Derivatives of a polynomial of best approximation // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 1968. Vol. 70, № 3. P. 165–166.
37.Vallee´ Poussin de la C.-J. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable reelle´. Paris : Gauthier-Villars, 1919. 166 p.
117
С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации
38.Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. Москва : Наука, 1965. 408 с.
39.Тиман М. Ф. Обратные теоремы конструктивной теории функций в пространствах Lp // Математический сборник. 1958. Т. 46, № 1. С. 125–132.
40.Тиман М. Ф. О теореме Джексона в пространстве Lp // Украинский математический журнал. 1966. Т. 18, № 1. С. 134–137.
41.Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 томах. Москва : Мир, 1965. Т. 2. 540 с.
42.Харди Г., Литтлвуд Д., Полиа Г. Неравенства. Москва : Издательство иностранной литературы, 1948. 456 c.
43.Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2 томах. Москва : Мир, 1965. Т. 1. 616 c.
44.Кокилашвили В. М. О приближении периодических функций // Труды Тбилисского математического института. 1968. Т. 34. С. 51–81.
45.Ильясов Н. А. Приближение периодических функций средними Зигмунда // Математические заметки. 1986. Т. 39, № 3. С. 367–382.
46.Tikhonov S. Trigonometric series with general monotone coefficients // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 2007. Vol. 326, № 1. P. 721–735.
47.Конюшков А. А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты фурье // Математический сборник. 1958. Т. 44, № 1.
С.53–84.
48.Leindler L. Inequalities of Hardy-Littlewood type // Analysis Mathematica. 1976. Vol. 2, № 2. P. 117–123.
49.Timan M. F. Orthonormal systems satisfying an inequality of S. M. Nikol’skii // Analysis Mathematica. 1978. Vol. 4, № 1. P. 75–82.
50.Волосивец С. С. Асимптотические характеристики одного компакта гладких функций в пространстве функций ограниченной p-вариации // Математические заметки. 1995. Т. 57, № 2. С. 214–227.
51.Zygmund A. The approximation of functions by typical means of their Fourier series // Duke Mathematical Journal. 1945. Vol. 12, № 4. P. 695–704.
52.Aljanciˇc´ S. Approximation of continuous functions by typical means of their Fourier series // Proceedings of American Mathematical Society. 1961. Vol. 12, № 5. P. 681–688.
53.Тиман М. Ф. Наилучшее приближение функции и линейные методы суммирования рядов Фурье // Известия АН СССР. Серия математическая. 1965. Т. 29, № 3. С. 587–604.
54.Иофина Т. В. О порядке приближения средними Рисса по мультипликативным системам на классах EX (ε) // Математические заметки. 2011. Т. 89, № 4.
С.508–523.
55.Cao J. D. Stechkin inequalities for summability methods // International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences. 1997. Vol. 20, № 1. P. 93–100.
56.Ильясов Н. А. О порядке приближения в равномерной метрике средними
Фейера – Зигмунда на классах Ep (ε) // Математические заметки. 2001. Т. 69, № 5. С. 679–687.
57.Теляковский С. А. О скорости приближения функций в липшицевых нормах // Труды института математики и механики Уральского отделения РАН. 2010. Т. 16, № 4. С. 297–299.
58.Khan H. On some aspects of summabilitys // Indian Journal of Pure and Applied Mathemamtics. 1975. Vol. 6, № 6. P. 1468–1472.
118
Список литературы
59.Khan H. On the degree of approximation // Mathematical Chronicle. 1981. Vol. 10, № 1. P. 63–72.
60.Харди Г. Расходящиеся ряды. Москва : Издательство иностранной литературы, 1951. 504 c.
61.Borwein D. A. A logarithmic method of summability // Journal of London Mathematical Society. 1958. Vol. 33, № 2. P. 212–220.
62.Hsiang F. C. Summability (L) of the Fourier series // Bulletin of American Mathematical Society. 1961. Vol. 67, № 1. P. 150–153.
63.Chui C. K., Holland A. S. On the order of approximation by Euler and Borel means // Journal of Approximation Theory. 1983. Vol. 39, № 1. P. 24–38.
64.Salem R., Zygmund A. Approximation by partial sums of Fourier series // Transactions of American Mathematical Society. 1946. Vol. 59, № 1. P. 14–22.
65.Zamansky M. Classes de saturation de certains procedes´ d’approximation des series´ de Fourier des fonctions continues et applications a` quelques problemes`
´ |
1949. |
d’approximation // Annales Scientifiques de l’Ecole Normale Superieure.´ |
Vol. 66, № 1. P. 19–93.
Научное издание
Волосивец Сергей Сергеевич
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ p-ВАРИАЦИИ
Редактор Е. А. Малютина
Технический редактор Т. А. Трубникова
Корректор Т. К. Певная
Оригинал-макет подготовил И. А. Каргин
Подписано к использованию 25.12.2021. Формат 60 × 841/16 . Усл. печ. л. 7.0 (7.5). Объем данных 2 Мб.
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.