Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Если же упомянутый множитель равен нулю, то обе части последнего неравенства также равны нулю и оно верно. Переходя к пределу при m → +∞, получаем первое неравенство леммы.

2) При α < 1 рассмотрим sn = ∑∞k=n ak и ϕn = ∑nk=1 k−α, ϕ0 = 0. В силу леммы 1.3.2 показывается, что ϕn ≤C3n1−α, n N. Тогда

m m m

∑ n−αsnp = ∑ (ϕn − ϕn−1)Snp = ∑ ϕn(snp − snp+1) + ϕmsmp +1. n=1 n=1 n=1

Как и при доказательстве части 1), получаем

∑ ϕn(snp − snp+1) ≤C3 ∑ n1−α psnp−1(sn − sn+1)≤

Теперь предположим, что ряд ∑∞n=1 n−αsnp сходится, тогда верно, что

откуда limm→+∞ smp ∑mn=[m/2]+1 n−α = 0. Но

m

∑n−α ≥ (m − m/2) min(m−α,(m/2)−α) ≥C5(α)m1−α.

n=[m/2]+1

Поэтому limm→+∞ smp m1−α = 0 и limm→+∞ smp +1ϕm = 0. При m → ∞ мы получаем

Рассуждая, как в 1), выводим второе неравенство леммы.

Первое утверждение леммы 1.5.3 можно найти в [43, гл. 5, теорема 8.20, с. 345]. Самое простое его доказательство использует теорему Литтлвуда – Пэли. Второе тоже хорошо известно, но его доказательство в явном виде найти нелегко, поэтому приведем его здесь.

Лемма 1.5.3. Пусть дан лакунарный ряд ∑∞k=1(ak cos nk x + bk sin nk x), где nk+1/nk ≥ q > 1, nk N при всех k N и ряд ∑∞k=1(a2k + b2k ) сходится.

51

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Тогда для любого r ≥1 сумма f (x) лакунарного ряда обладает свойством

что завершает доказательство.

Нам понадобится лемма 1.5.4, принадлежащая А. А. Конюшкову [47]. Позже более общие неравенства такого типа были получены Л. Лейндлером [48]. Доказательство А. А. Конюшкова, на наш взгляд, слишком сложное, тогда как доказательство Л. Лейндлера использует переходы от дискретных неравенств к интегральным и обратно, а доказываются по сути интегральные неравенства, что также требует много места для записи доказательств.

Лемма 1.5.4. Пусть {ai}∞i=1 – неотрицательная последовательность, для которой существует δ ≥ 0, такое что последовательность {n−δan}∞n=1 убывает. Пусть при c > 1 по определению sn = ∑ni=1 ai, а при c < 1 соответственно sn = ∑∞i=n ai. Тогда при 1 > γ > 0 имеет место неравенство

52

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

где C = C(p) > 0. Если же f Cp такова, что ряд ∑∞n=1 ωk−1/p( f ,1/n)n−1 сходится при некотором k N, то ряд Фурье функции f (x) сходится

к f (x) по норме пространства Cp.

Доказательство. Пусть n N и полином tn Tn таков, что k f −tnkp ≤ ≤C1En( f )p, в частности, согласно лемме 1.3.1, в качестве tn можно взять соответствующую сумму Фурье Sn( f ,x). Рассмотрим ряд

Поэтому ряд (1.5.4) сходится при любом n N, в частности при n = = 1 такой же ряд без норм сходится в Cp к функции ϕ Cp. Но этот же ряд сходится в Lp к f − t1, т. е. ϕ = f − t1 п. в., что и требовалось доказать. Ясно, что En( f0)Vp или k f0 − Sn( f0)kVp не превосходит суммы ряда (1.5.4) и тем более правой части (1.5.5). При n = 0 в силу (1.5.5) для n = 1 и оценки

kS1( f ) − S0( f )kVp ≤C2kS1( f ) − S0( f )kp ≤C3(0 + 1)1/pE0( f )p

также легко получаем (1.5.3).

Для доказательства второй части теоремы применим теорему Джексона – С. Б. Стечкина в Lp (см. (1.3.1)), теорему 1.2.4 и неравенство (1.5.5). Имеем

∞

k f − Sn( f )kVp ≤C5(n1/pωk ( f ,1/n)p + ∑ i1/p−1ωk ( f ,1/i)p)≤

i=n+1

∞

≤C5(ωk−1/p( f ,1/n) + ∑ i−1ωk−1/p( f ,1/i)).

i=n+1

В силу условия оба слагаемых в правой части стремятся к нулю. Теорема доказана.

53

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Замечание 1.5.1. Во второй части теоремы 1.5.1 ряд

∞

∑ ωk−1/p( f ,1/n)n−1

n=1

можно заменить на ряд ∑∞n=1 En( f )Vp n−1 с помощью предложения 1.3.1.

Дадим теперь уточнения прямой и обратной теорем приближения в Vp. Очевидно, что из теоремы 1.5.2 вытекает результат следствия

1.3.1.Более сложно установить, что из теоремы 1.5.3 вытекает следствие

1.3.2.Здесь нужны рассуждения, аналогичные проведенным в [28, гл. 6, § 6.1.5].

Теорема 1.5.2. Пусть 1 < p < ∞, (r + 1) N и при r > 0 производная f (r) существует везде, причем f (r) Cp. Тогда при k N и γ = max(p,2) справедливо неравенство

ωk−1/p( f (r),1/n) ≥C1ωk−1/p(τn( f (r)),1/n)

(впрочем, именно это неравенство легко вытекает из следствия 1.3.1), где C1 = C1(k, p) > 0, поэтому в силу (1.5.2) и теоремы 1.2.4 получаем

(см. теорему 1.3.9), полуаддитивностью En( f )p относительно f , леммой

1.5.2 при α = 1 −s(k −1/p) < 1 и (1.5.3). Поскольку Eν( f (r) −τn( f (r)))Vp =

= Eν( f (r))Vp , 0 ≤ ν ≤ n и, согласно лемме 1.3.2, верна оценка ∑ni=1 iα = = O(nα+1), n N, при α > −1 имеем

54

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Учитывая (1.5.6) и следствие 1.3.1, завершаем доказательство теоремы.

где C = C(m,r, p) > 0.

Доказательство. 1) Докажем теорему сначала при r = 0. Отметим, что методом доказательства леммы 1.3.4 устанавливается неравенство k f −Vn( f )kp ≤4En( f )p при f Lp и n N. Отсюда и с учетом неравенства (1.3.1) в Lp находим, что при m N

ωm(Vn( f ),1/n)p ≤ ωm(Vn( f ) − f ,1/n)p + ωm( f ,1/n)p≤

В силу леммы 1.3.4, теоремы 1.2.3, неравенств (1.5.7) и (1.1.9) получаем

ωm−1/p( f ,1/n) ≤ ωm−1/p( f − Vn( f ),1/n) + ωm−1/p(Vn( f ),1/n)≤

≤2m−14En( f )Vp + kV(nm)( f )kpn−m+1/p ≤ 2m+1En( f )Vp +

55

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

+C1n−m+1/pωm(Vn( f ),1/n)(2n − 1)m ≤C2(En( f )Vp + n1/pωm( f ,1/n)p).

Теперь применяем неравенство (1.5.1) из леммы 1.5.1 и предложение 1.3.1, чтобы получить

В последнем неравенстве использованы убывание {Ei( f )Vp }∞i=0 и лемма 1.3.2.

2) При натуральном r в силу теорем 1.2.3, 1.2.4, 1.3.2, неравенств

Подставляя (1.5.8) с m +r вместо m в последнее неравенство, доказываем нашу теорему 1.5.3 при r N.

Следствие 1.5.1. Пусть f C2, k N. Тогда

56

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Для доказательства достаточно положить r = 0 и γ = β = p = 2 в теоремах 1.5.2 и 1.5.3.

Установим теперь точную по порядку оценку для p-вариацонных модулей гладкости функций с обобщенно-монотонными коэффициентами Фурье.

Теорема 1.5.4. Пусть 1 < p < ∞, k N, f Cp и существует δ ≥ 0, такое что последовательности {n−δan( f )}∞1 и {n−δbn( f )}∞1 убывают, где {an( f ),bn( f )}∞0 – коэффициенты Фурье функции f (x). Тогда для любых n N имеет место соотношение

При этом константы в соответствующих неравенствах зависят лишь от k и p.

Доказательство. Пусть 1 < p < ∞, f Lp и ее коэффициенты Фурье

{an,bn} таковы, что {n−δan}∞1 и {n−δbn}∞1 убывают при некотором δ ≥ 0. В. М. Кокилашвили [44] показал, что в этом случае при k N имеет

место соотношение

Снова рассмотрим средние Валле – Пуссена Vn( f ), косинускоэффициенты которых, например, при фиксированном n есть

{a0,a1,...,an,(n − 1)an+1/n,(n − 2)an+2/n,...,a2n−1/n,0,...},

синус-коэффициенты находятся по аналогичной формуле. Ясно, что если последовательность {n−δan}∞1 убывает, то последовательность косинускоэффициентов Vn( f ), умноженная на n−δ, тем более обладает этим свойством и то же верно для синус-коэффициентов. Поэтому к Vn( f ) можно применять соотношение (1.5.9).

Применяя оценку снизу из (1.5.9) аналогично доказательству теоремы 1.5.2, получаем оценку снизу для ωk−1/p( f ,1/n). Повторяя рассуждения доказательства теоремы 1.5.3, получаем оценку сверху

для ωk−1/p( f ,1/n) в теореме 1.5.4. Тот факт, что ωk−1/p(Vn( f ),1/n) ≤ ≤ C1ωk−1/p( f ,1/n), n N, следует из леммы 1.3.4 и прямой теоремы

приближения в Vp (см. следствие 1.3.1). Теорема 1.5.4 доказана.

57

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 1.5.5. 1) Пусть последовательность {εν}∞ν=0 строго убывает и стремится к нулю, k N, 1 < p ≤ 2. Тогда существует f Cp, для которой En( f )p ≤ C1εn, n Z+, и

Тогда существует f Cp, для которой En( f )p ≤C4εn, n Z+, и для всех n N

При этом положительные постоянные C2 и C5 не зависят от f и n.

Доказательство. 1) Рассмотрим функцию

∞

g(x) = ∑ (εν/ν) sin νx.

ν=1

Тогда, согласно теореме 1.4.1, En(g)Vp ≤ C1εn, n Z+, и в силу теоре-

58

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Пусть 2m ≤ n < 2m+1, m Z+. Тогда (см. доказательство теоремы 1.5.1)

получаем

∞

En(h)Vp ≤ E2m (h)Vp ≤C3 ∑ 2i/pE2i (h)p,

i=m+1

так как E2m+1 −1(h)p E2m (h)p (см. лемму 1.5.3). Таким образом, в силу условия Бари (1.5.10)

∞

En(h)Vp ≤C4 ∑ ε2i ≤C5ε2m+1 ≤C5εn, n Z+.

i=m+1

Далее, применяя оценку

Теорема 1.5.5 доказана.

Замечание 1.5.2. По поводу условия (1.5.10) и ему эквивалентных см. [14]. Кроме теории приближений оно естественным образом появляется при доказательстве неулучшаемости некоторых теорем об абсолютной сходимости (см. [11]).

Напомним, что класс EVp (ε) определен перед теоремой 1.4.9.

Следствие 1.5.2. Пусть последовательность {εν}∞ν=0 убывает к ну-

лю, β = min(p,2). Тогда при 1 < p ≤ 2 без ограничений, а для p > 2 при выполнении условия Бари (1.5.10) имеет место соотношение

Таким образом, при некоторых ограничениях теорема 1.5.3 является неулучшаемой.

59

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Теорема 1.5.6. Пусть последовательность {εν}∞ν=0 убывает к нулю. 1) Если p ≥ 2, то существует f Cp, такая что En( f )p ≤Cεn при

n Z+ и

Доказательство. В случае 1) снова рассмотрим функцию g(x) = = ∑∞ν=1(εν/ν) sin νx. Тогда нужные нам неравенства получаются по теоремам 1.4.1 и 1.5.4. В случае 2) снова рассмотрим функцию h(x) из доказательства теоремы 1.5.5. Имеем En(h)p ≤C3εn, n Z+. Из формулы, выражающей симметрическую k-ю разность ряда Фурье (см., например, [11]), лемм 1.3.1 и 1.5.3 легко следует, что

где αk = εk /k1/p. Используя оценку |sin x| ≤ |x|, получаем при 0 < t ≤

≤ 1/n, 2m ≤ n < 2m+1

Используя доказательство теоремы 1.5.3, неравенства (1.5.3) и (1.3.1) в Lp, имеем

ωk−1/p( f ,1/n) ≤C7(En( f )Vp + n1/pωk ( f ,1/n)p)≤

60