Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Так как ri > rn > (1 −1/n)n > 1/4 при 1 6 i 6 n = [1/(1 −r)], находим, что

n n ∞

∑ iλEi−1( f )Vp 6 C8 ∑(i + 1)λriEi( f )Vp 6 C8 ∑(i + 1)λriEi( f )Vp . (2.2.5)

i=1 i=0 i=0

Наконец, I1 из правой части (2.2.2) оценивается следующим образом при

λ > −1:

Другими словами, I1 = ω2( f ,π(1 − r))Vp оценивается через правую часть (2.2.3). Из (2.2.3), (2.2.4), (2.2.5) выводим, что

Тогда по теоремам 1.4.1 и 1.4.8 при r = 0, а также условию Бари имеем En( f )Vp ≤C11εn+1, n N, и E0( f0)Vp ≤C11ε0. С другой стороны, используя

91

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

и аналогичное неравенство верно при k = 1. Поэтому из (2.2.6) и (2.2.7) следует при 1/2 ≤ r < 1 неравенство

Из последней оценки вытекает оценка снизу в (2.2.1). Теорема 2.2.1 доказана.

Теорема 2.2.2. Пусть f Cp, 1 < p < ∞, λ > −1. Тогда

92

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Из этих оценок вытекает утверждение теоремы 2.2.2.

= O(ω(δ)), δ (0,π). Поэтому правая часть (2.2.8) есть O(ω2−1/p( f ,1 − − r)) в том случае, когда ω2−1/p( f ,t) Bλ+1. Но из результатов [14] (см.

лемму 2.3.3) вытекает вложение Nα Bβ при 0 < α < β, а по следствию

1.2.1 ω2−1/p( f ,t) N2−1/p, поэтому включение ω2−1/p( f ,t) Bλ+1 имеет место при λ + 1 > 2 − 1/p, т. е. при λ > 1 − 1/p. В силу очевидного

неравенства ω2−1/p( f ,δ) ≤ 2ω1−1/p( f ,δ) первое утверждение теоремы доказывается аналогично. Теорема 2.2.3 доказана.

Теорема 2.2.4. Пусть ω(δ), ϕ(δ) положительны на (0,2π], возрастают на [0,2π], ω(0) = ϕ(0) = 0 и ω,ϕ C[0,2π], причем η(δ) := = ω(δ)/ϕ(δ) возрастает на (0,2π]. Тогда для 1 < p < ∞, λ > −1/p и

93

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

6C1ω(1 − r) = C1η(1 − r). ϕ(1 − r)

Таким образом, sup ω1−1/p(( f − Ar ( f ),δ)/ϕ(δ)) = O(λ(1 − r)). Так как

0<δ62π

по теореме 2.2.3

kAλ(r, f ) − f kVp = O(ω(1 − r)) = O(ϕ(1 − r)λ(1 − r)) = O(λ(1 − r)),

утверждение теоремы 2.2.4 доказано.

Теорема 2.2.5. Пусть 1 < p < ∞, последовательность {εn}∞n=0, убывающая к нулю, удовлетворяет двустороннему условию Бари

∞

∑ εk /(k + 1) εn, n Z+.

k=n+1

Тогда при 1/2 ≤ r < 1 справедливо соотношение

∞

sup{kL(r, f ) − f kVp : f EVp (ε)} |ln(1 − r)|−1 ∑ (n + 1)−1rnεn.

n=0

Доказательство. Аналогично доказательству теоремы 2.2.1 имеем

Полагая n = [π/(1 − r)] и используя лемму 2.2.2, получаем

π

+t−1k∆t2 f (·)kVp dt ≤ C2|ln(1 − r)|−1ω2( f ,1 − r)Vp +

1−r

94

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Применяя обратную теорему приближения в Vp (следствие 1.3.2), получаем аналогично (2.2.4)

функция x−1 ln(1 − x) возрастает на (0,1), а последовательность n ln(1 − − π/n) убывает при n ≥ 4. Поэтому ri ≥ rn ≥ (1 − π/n)n ≥ (1 − π/4)4 при 0 ≤ i ≤ n, n ≥ 4, и мы имеем

n n ∞

∑ i−1Ei−1( f )Vp ≤C6 ∑(i + 1)−1riEi( f )Vp ≤C6 ∑(i + 1)−1riEi( f )Vp

i=1 i=0 i=0

при n ≥ 4 и аналогичное неравенство при n ≤ 3 и 1/2 ≤ r < 1. Очевидно, что I1 ≤ I2. Поэтому

∞

kL(r, f ) − f kVp ≤C7|ln(1 − r)|−1 ∑(i + 1)−1riEi( f )Vp

i=0

и оценка сверху доказана.

∞

Пусть f0 = ∑ ε′n cos nx/n, где

n=1

ε′1 = ε0 + ε1, ε′n = εn, n ≥ 2.

Тогда по теоремам 1.4.1 и 1.4.8 получаем

E0( f0)Vp ≤C8ε0, En( f0)Vp ≤C8εn+1, n N,

95

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

и мы находим, что

k f0 − L(r, f0)kVp ≥ | f0(0) − L(r, f0)(0)| =

Замечание 2.2.1. Теоремы 2.2.1 и 2.2.5 верны в C = C∞, поскольку теоремы 1.4.1 и 1.4.8 справедливы в этом случае. Теоремы 2.2.6 и 2.2.7 дают возможность получить аналог теоремы 2.2.4 для логарифмических средних, но скорость сходимости в гёльдеровых пространствах будет еще ниже, чем O(|ln(1 − r)|−1). Результаты данного параграфа принадлежат А. А. Тюленевой [24].

96

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

2.3. Приближение средними Эйлера в Vp

Пусть Sk ( f )(x) – частичные суммы ряда Фурье функции f L1 порядка k Z+. Будем рассматривать средние Эйлера

Подробнее об этих методах суммирования см. монографию Г. Г. Харди [60]. Далее будем использовать обозначения (q ≥ 0, n N)

Новое обозначение для ∆˙ t2 f (x) связано с тем, что в теореме 2.3.4 придется рассматривать аргумент t со сдвигом и для удобства читателя будет лучше, чтобы в нижнем индексе было x.

Лемма 2.3.1. Пусть 1 < p < ∞, f Cp. Тогда

k| f − Sn( f )kVp ≤C ln(n + 2)En( f )Vp , n Z+.

Доказательство. Пусть τn( f ) Tn таков, что k f −τn( f )kVp = En( f )Vp .

Используя соотношение lim kDnk1/ln n = 4/π (см. [43, гл. 2, формула

n→∞

(12.1)]) и теорему 1.2.6, получаем

kf −Sn( f )kCp ≤k f −τn( f )kVp +kτn( f )−Sn(τn( f ))kVp +kDn (τn( f )− f )kVp ≤

≤(1 + kDnk1)k f − τn( f )kVp ≤C1 ln(n + 2)En( f )Vp .

Лемма 2.3.2 установлена А. П. Терехиным в [12], где дан сокращенный вариант доказательства. К сожалению, пока не удается получить более прямого и понятного доказательства этого результата, использующего теорему 1.1.9.

Лемма 2.3.2. Пусть 1 < p < ∞, f Cp. Тогда k f −Sn( f )k∞ ≤CEn( f )Vp и kSn( f )k∞ ≤Ck f kVp , где C не зависит от n Z+ и f .

Лемма 2.3.3. Для ядра e(n,q,t) справедливы следующие соотноше-

ния:

1) |e(n,q,t)| ≤ Cn, n N, t [0,2π/n];

97

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

|sin(k + 1/2)t| ≤ (k + 1/2)t ≤ (n + 1/2)t ≤ 32 nt.

Поэтому

Для n ≤ 3 неравенство очевидно.

2)Равенство установлено в работе Ч. Чуи (Chui) и А. Холланда (Holland) [63].

3)Как и в части 1), имеем неравенство |1/(2 sin t/2) 6 π|/(2|t|), t

[0,π], кроме того, используем очевидную оценку |sin(nΘt + t/2| ≤ 1. С другой стороны,

При 0 < |t| < π справедливо неравенство 0 < 4q sin2 t/2/(q + 1)2 < 1, кроме того, при y [0,1) имеем ln(1 − y) ≤ −y. Используя вышеприведенные неравенства вместе с неравенством sin2 t/2 ≥ (t/π)2, 0 < |t| < π, мы находим, что

Объединяя полученные оценки, находим, что справедливо утверждение 3).

98

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Лемма 2.3.4. Пусть l N, q > 0. Тогда существует постоянная C, зависящая от l и q, но не от n, для которой выполнено неравенство

Доказательство. Так как (k +m)/(k +1)≤m при k ≥0 и m N, имеем

где C1 = l!(q + 1)l . Лемма 2.3.4 доказана.

Функция g(t) почти убывает на промежутке P, если из t1,t2 P, t1 < < t2, следует, что f (t2) ≤ C f (t1), где C не зависит от t1,t2. Лемма 2.3.5 установлена Н. К. Бари и С. Б. Стечкиным в [14].

Лемма 2.3.5. Условие ω Bα, α > 0, равносильно условию почти убывания функции ω(t)/tα−β на (0,π] для некоторого β (0,α).

Теорема 2.3.1. Пусть 1 < p < ∞, f Cp, k N. Тогда имеют место

оценки

k f − eqn( f )kVp ≤C ln(n + 2)ωk ( f ,1/n)Vp ,

n

k f − eqn( f )kVp ≤C ln(n + 2)n−k ∑ ik−1Ei−1( f )Vp .

i=1

99

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Применяя неравенство (1.3.2) теоремы 1.3.1, получаем ее второе неравенство. Теорема 2.3.1 доказана.

100