Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Приближение функций ограниченной p-вариации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2026

Размер:

645 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

что доказывает (2.3.1). Здесь C3 – константа из первого неравенства леммы 2.3.2.

Применяя (2.3.1), теорему 1.3.1 и лемму 2.3.4, аналогично доказа-

тельству теоремы 2.3.1 имеем

j=0 j

j + 1 Vp

n qn− j ωk

k f − enq( f )k∞ ≤C4(1 + q)−n ∑

f ,

≤

(1 + q)n

n + 1

Vp j=0

( j + 1)k

n + 1 Vp

(n + 1)k

qn− j

≤C5

ωk

f ,

∑

≤C6ωk f ,

Последнее неравенство в (2.3.2) вытекает из только что доказанного и теоремы 1.2.1. Теорема 2.3.2 доказана.

Докажем неулучшаемость неравенства (2.3.1).
Теорема 2.3.3. Пусть 1 ≤ p < ∞, {εk }k∞=0 убывает к нулю, εk ≤Cεk+1,
k Z+, и
	∞
	∑ εk /(k + 1) εn,	n Z+.
	k=n
Тогда
	n	n
	k f − enq( f )k∞ (1 + q)−n ∑	n
sup	k f − enq( f )k∞ (1 + q)−n ∑	qn− j ε j , n N.	(2.3.3)
f EVp (ε)	j=0	j
Доказательство. Оценка сверху в (2.3.3) вытекает из (2.3.1). Для
		∞

доказательства оценки снизу рассмотрим функцию f0(x) = ∑ εk cos kx/k.

По теоремам 1.4.1 и 1.4.8 при r = 0 имеем									k=1
По теоремам 1.4.1 и 1.4.8 при r = 0 имеем
	E j ( f0)Vp ≤C1ε j+1 ≤C1ε j , j Z+,
т. е. f0/C1 EVp (ε). С другой стороны,
					n	n
k f0 − enq	( f0)k∞ ≤ (1 + q)−n ∑					n	qn− j k f0 − S j ( f0)k∞ ≤
k f0 − enq	( f0)k∞ ≤ (1 + q)−n ∑					j	qn− j k f0 − S j ( f0)k∞ ≤
					j=0	j
n	n		∞	εk			∞	n
≤(1 + q)−n ∑	n	qn− j	∑	εk	:= (1 + q)−n ∑			n	qn− j A j+1. (2.3.4)
≤(1 + q)−n ∑	j	qn− j	∑		:= (1 + q)−n ∑			j	qn− j A j+1. (2.3.4)
j=0	j		k= j+1	k			j=0	j

101

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Но

j=0

f0(0) − enq( f0)(0) = (1 + q)−n

∑

qn− j ( f0(0) − S j ( f0)(0)) =

∞

εk

= (1 + q)−n ∑

qn− j ∑

j=0 j

k= j+1

В силу (2.3.4) и последнего равенства получаем

k f0 − enq( f0)k∞ = f0(0) − enq( f0)(0) =

∞

εk

= (1 + q)−n ∑

qn− j

∑

+ (1 + q)−n ∑

qn− j

∑

j=0

k=n+1

j=0 j

k= j+1

∞

εk

k−1

εk

= ∑

+ (1 + q)−n ∑ ∑

qn− j

k=n+1

k=1 j=0

! k

∞

Пусть An = ∑ εk /k (см. (2.3.4)), n N, и

k=n

j=0

k−1

qn− j , 1 ≤ k ≤ n + 1,

Bk = ∑

B0 = 0.

Тогда в силу условия находим, что

(1 + q)nk f0 − enq( f0)k∞ = (1 + q)nAn+1 + ∑ Bk (Ak − Ak+1) =

k=1

= An+1Bn+1 + ∑ Ak (Bk − Bk−1) − BnAn+1 =

k=1

n+1

qn−k+1Ak ≥

= ∑ Ak (Bk − Bk−1) = ∑

k=1

k − 1

j=0 j

k=1

k − 1

j=0 j

n+1

≥C2 ∑

qn−k+1εk = C2 ∑

qn− j ε j+1 ≥C3 ∑

qn− j ε j .

(2.3.5)

Для f0/C1

также верно (2.3.5) с константой C3/C1. Теорема 2.3.3 до-

казана.

102

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

Для случая q = 1 сформулируем и докажем теорему, обобщающую результат Ч. Чуи и А. Холланда [63].

Теорема 2.3.4. Пусть ω B1, 1 < p < ∞ и f Cp такова, что ω2( f ,t)Vp ≤ Cω(t), кроме того,

π	kϕx (t) − ϕx (t + 2π/(n + 1)kVp dt = O(ω(1/n)), n N.
	kϕx (t) − ϕx (t + 2π/(n + 1)kVp dt = O(ω(1/n)), n N.
2π/(n+1)		t
2π/(n+1)
Тогда
	ke1	( f ) − f k	≤Cω(1/n), n N.
	n	Vp

Доказательство. При q = 1 справедливо равенство sin Θt = sin(t − − Θt ) (см. лемму 2.3.3) и при 0 ≤ Θt ≤ t мы имеем Θt = t/2, поэтому

e(n,1,t) = cosn(t/2) sin[(n + 1)t/2]/(2 sin t/2).

Пусть an = 2π/(n + 1), bn = 2π/(n + 1)β, где 1/2 > β > α/(α + 1) и α(0,1) – число такое, что функция ϕ(t)/tα почти убывает на (0,π) (та-

кое α существует по лемме 2.3.5). Тогда верно равенство sin(n + 1)(t + + an)/2 = −sin(n + 1)t/2, что будет использовано далее. Пусть n достаточно велико, так что bn ≤ π/2. Запишем

e1n( f )(x) − f (x) = π1 ϕx (t)e(n,1,t)dt =

1 an 1 bn 1 π

=π 0 + π an + π bn = I1 + I2 + I3.

Всилу утверждения 1) леммы 2.3.3 и обобщенного неравенства Минковского в Vp (см. теорему 1.2.2)

an
kI1kVp ≤C1n ω2( f ,t)Vp dt ≤C2ω2( f ,1/n)Vp ≤C3ω(1/n),				(2.3.6)
0
а благодаря утверждению 3) леммы 2.3.3 находим, что
π		nt2
		nt2
kI3kVp ≤C4 bn	bn−1ω2( f ,t)Vp exp −		dt ≤
kI3kVp ≤C4 bn	bn−1ω2( f ,t)Vp exp −	2π2	dt ≤

103

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

≤C

nβω

( f ,t)

exp(−C n1−2β)dt ≤

≤C nβ+2ω

( f ,1/n)

exp(−C n1−2β) ≤C ω(1/n),

(2.3.7)

так как

1 − 2β > 0

и любая степень

растет

медленнее

экспоненты.

В (2.3.6) и (2.3.7) также использовалось неравенство

( f ,λδ)

≤ (2λ)2ω

( f ,δ)

λ ≥ 1,

стандартным образом вытекающее из оценки ω

( f ,nt)

≤ n2ω

( f ,t)

n N (см. [28, § 3.3]). Для I2

запишем

bn ϕx (t)

n + 1

ϕx (t)

n + 1

4πI2 = 2

cos

sin

t dt =

cos

sin

t dt−

sin t

sin t/2

bn −an

ϕx (t + an)

n t

+ an

n + 1

−

cos

sin

t dt =

sin(t + an)/2

bn ϕx (t) − ϕx

(t + an)

n t

n + 1

cos

sin

t dt+

sin t/2

bn ϕx (t + an)

t + an

n + 1

+an

cosn

− cosn

sin

t dt+

sin t/2

+ a

sin

n + 1

+an

ϕx (t + an)cosn

−

t dt

−

sin t/2

sin(t + an)/2

ϕx (t + an)

n t + an

n + 1

−

cos

sin

t dt+

sin(t + an)/2

ϕx (t + an)

n t

+ an

n + 1

cos

sin

t dt =

bn −an

sin(t + an)/2

= I21 + I22 + I23 + I24 + I25.

104

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

В силу условия теоремы

bn kϕ

(t) − ϕ

(t + a

kI k

≤

dt ≤

21 Vp

sin t/2

bn kϕ

(t) − ϕ

(t + a

≤π

≤C8ω(1/n).

(2.3.8)

По теореме Лагранжа

|cosn t/2 − cosn(t + an)/2| = |n cosn−1 zn(t) sin zn(t)an/2| ≤

πnt

≤ πt,

n + 1

где t/2 < zn(t) < (t +an)/2 ≤t для t [an,bn]. Поэтому в силу определения bn

bn kϕ

(t + a

kI k

≤ π2

t dt ≤ π2 ω

( f ,2b )

dt ≤

n Vp

≤C9n−βω(n−β) ≤C10ω(n−1).

(2.3.9)

В самом деле, по выбору

β > α/(α + 1) (см. начало доказательства)

получаем

n−βω(n−β)≤n−βC11(n−β/n−1)αω(n−1) = C11nα−(α+1)βω(n−1)≤C11ω(n−1).

Далее, так как an ≤ t ≤ bn ≤ π/2, то

|sin−1(t/2) − sin−1((t + an)/2)| ≤

anπ2

(t + an)

ω(an + t) ≤C11((an + t)/an)αω(an)

по лемме 2.3.5, поэтому с помощью замены t = any имеем

kI k

≤C a

bn ω2( f ,t + an)Vp

(1−α)

ω(a

∞

dt ≤C a

)

23 Vp

t(t + an)

t(t + an)1−α

an1−αω(an) ∞

= C14ω(an) ≤C15ω(1/n).

(2.3.10)

= C13

an1−α

y(1 + y)1−α

105

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Для оценки

I24 используем неравенства

|sin t| ≤ |t| и

sin(t + an)/2 ≥

≥ sin an/2 ≥ an/π. В результате находим, что

kI k

≤ π

2an ω2

( f ,t)Vp n + 1

dt ≤C a

nω

( f ,2a

)

≤C ω(1/n).

24 Vp

n Vp

(2.3.11)

Наконец, снова по лемме 2.3.5 в силу неравенства α − 1 < 0 получаем

bn πω2( f ,t + an)Vp

dt ≤C ω(a

(t + an)α−1

kI k

≤

)

dt =

25 Vp

t + an

anα

bn −an

≤C ω(a

)a1−α(b

+ a

)α−1

≤C ω(a

(2.3.12)

так как (an/(bn + an))1−α ≤ 1. Объединяя оценки (2.3.6)–(2.3.12), завершаем доказательство теоремы 2.3.4.

Замечание 2.3.1. Если ω B1, то условия ω1( f ,δ)Vp = O(ω(δ)), δ

[0,π], и ω2( f ,δ)Vp = O(ω(δ)), δ [0,π], равносильны в силу теоремы 1.3.1, т. е. использование модуля непрерывности второго порядка не

дает в теореме 2.3.4 никакого преимущества.

С помощью теорем 2.3.1 и 2.3.2 получим оценку приближения средними Эйлера в гёльдеровых метриках. Пусть ω Φ, f C = C∞ и

k f kω,k,∞ := k f k∞ + sup ωk ( f ,δ)∞/ω(δ) < ∞.
0<δ≤2π
Множество всех таких функций обозначим через H ω	. Это пространство
k,∞

является банаховым с нормой k · kω,k,∞. Аналогично определяется про-

странство H ω	функций f Cp	с нормой
k,Cp
k f kω,k,Cp := k f kVp +		sup ωk ( f ,δ)Vp /ω(δ) < ∞.
		0<δ≤2π

Теорема 2.3.5. Пусть ω,ϕ положительны на (0,2π] и ω,ϕ Φ, причем функция η(t) = ω(t)/ϕ(t) возрастает на (0,2π]. Если ω Bk для

некоторого k N, f H ω , то
k,Cp
k f − enq( f )kϕ,k,∞ ≤Cη(1/n),	n N,	(2.3.13)
и если функция η(t) ln(2 + 1/t) возрастает на (0,1], то
k f − enq( f )kϕ,k,Cp ≤Cη(1/n) ln(n + 2),	n N.	(2.3.14)

106

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

	Доказательство. По теореме 2.3.2 имеем неравенство
	k f − eq		( f )k		∞	≤C ω(1/n) ≤C ϕ(2π)η(1/n).				(2.3.15)
		n			∞	1		1
Пусть δ ≥ 1/n. Тогда
	ωk ( f − enq( f ),δ)∞			2k \|\| f − enq( f )\|\|∞				2kC1ω(1/n)
		≤					≤		= 2kC1	η(1/n),
	ϕ(δ)	≤				ϕ(1/n)	≤		= 2kC1	η(1/n),
	ϕ(δ)					ϕ(1/n)		ϕ(1/n)		(2.3.16)
										(2.3.16)

Так как eqn( f ) является тригонометрическим полиномом порядка не выше n, то при i ≥ n верно Ei( f − eqn( f ))∞ = Ei( f )∞ ≤C1ω(1/(i + 1)), а при 0 ≤ ≤ i < n справедливо неравенство

Ei( f − eqn( f ))∞ ≤ k f − eqn( f )k∞ ≤C1ω(1/n) ≤C1ω(1/(i + 1)).

Из леммы 2.3.5 вытекает, что ω Bk удовлетворяет ∆2-условию ω(2t) = O(ω(t)), t [0,π]. С другой стороны, в силу теоремы 1.3.1 легко видеть, что условия

En(g)∞ = O(ω(1/(n + 1))), n Z+,

(2.3.17)

и ωk (g,1/n)∞ = O(ω(1/n)), n N, равносильны при g C и ω Bk . С помощью отмеченного выше ∆2-условия получаем, что (2.3.17) равносиль-

но соотношению ωk (g,δ)∞ = O(ω(δ)), 0 ≤ δ ≤ 2π. Применяя это утверждение к g = f − eqn( f ), имеем

ωk ( f − enq( f ),δ)∞	≤	C2ω(δ)	≤C2η(δ) ≤C2η(1/n), 0 < δ ≤ 1/n. (2.3.18)
ϕ(δ)		ϕ(δ)

Из оценок (2.3.15), (2.3.16) и (2.3.18) вытекает неравенство (2.3.13). Неравенство (2.3.14) доказывается аналогично. Вместо (2.3.15)

по теореме			2.3.1	имеем		k f − eq	( f )k	≤ C ω	( f ,1/n)	ln(n + 2) ≤
						n	Vp	3 k	Vp
≤C4η(1/n) ln(n + 2), а вместо (2.3.16) при δ ≥ 1/n находим, что
	ω	( f − eq( f ),δ)				2k k f − eq( f )k
	k		n	Vp	≤	n	Vp	≤ 2kC4η(1/n) ln(n + 2).
			ϕ(δ)		≤	ϕ(1/n)		≤ 2kC4η(1/n) ln(n + 2).
			ϕ(δ)			ϕ(1/n)

Пусть теперь 0 < δ ≤ 1/n. Если ω Bk и {ω(1/n) ln(n + 2)}∞n=1 убывает к нулю (что в данном случае вытекает из условия на η), то

n	ik−1			ln(n + 2)		n
∑			ω(1/i) ln(i + 2) ≤			∑ ik−1ω(1/i) ≤C5 ln(n + 2)ω(1/n),
	n	k		n	k
i=1						i=1

107

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

т. е. ω(t) ln(2 +1/t) Bk . Аналогично доказательству (2.3.13) мы выводим соотношение

	ω	( f − eq		( f ),δ)	≤C ω(δ) ln(2 + 1/δ), δ (0,2π].
	k		n	Vp	6
В результате получаем
	ωk ( f − enq( f ),δ)Vp			C6ω(δ) ln(2 + 1/δ)			η(1/n) ln(n + 2), 0	≤δ ≤1/n.
			≤			≤C7
	ϕ(δ)		≤			≤C7
	ϕ(δ)			ϕ(δ)

Из полученных оценок выводим неравенство (2.3.14). Теорема 2.3.5 доказана.

Замечание 2.3.2. Приведенные выше теоремы 2.3.1–2.3.5 получены А. А. Тюленевой [25]. Теперь приведем некоторые результаты, касающиеся приближения сопряженных функций средними Эйлера [26].

Теорема 2.3.6. Пусть 1 < p < ∞, k N, последовательность {εi}∞i=0 убывает к нулю и удовлетворяет условию Бари (1.5.10), f EVp (ε). Тогда

fe принадлежит Cp после изменения на множестве меры нуль и

e		e	n
e		e	i=1
k f	− enq	( f )kVp	≤ c ln(n + 2)n−k ∑ ik−1εi−1	, n N.	(2.3.19)

Доказательство. Поскольку {εi}∞i=0 удовлетворяет условию Бари и f EVp (ε), по теореме 1.4.8. при r = 0 получаем, что f после изменения на множестве меры нуль принадлежит EVp (ε), при этом в силу второго

1.4.8 находим, что

неравенства теоремы 2.3.1 и неравенства теоремы

C1 ln(n + 2)

k f − enq( f )kVp

≤

∑ ik−1Ei−1( f )Vp ≤

i=1

C2 ln(n + 2)

∞

≤

∑ ik−1 Ei−1( f )Vp + ∑ j−1E j ( f )Vp

≤

i=1

j=i

C2 ln(n + 2)

ε j

∞

ε j

≤

∑ ik−1εi−1

∑ ik−1

∑

≤

i=1

j=i

j=n+1

108

Глава 2. Приближение линейными средними рядов Фурье в Vp

C2 ln(n + 2)

n j

≤

∑ ik−1εi−1

∑ ∑ ik−1 j−1ε j +

i=1

j=1 i=1

C3 ln(n + 2)

∑ ik−1εn ≤

i=1

C4 ln(n + 2)

C5 ln(n + 2)

≤

∑ ik−1εi−1

+ nk εn ≤

∑ ik−1εi−1,

i=1

поскольку ∑ni=1 ik−1 ≥C6nk по лемме 1.3.2. Неравенство (2.3.19) установлено, что завершает доказательство теоремы 2.3.6.

Теорема 2.3.7. Пусть последовательность {εn}∞n=0 убывает к нулю

и удовлетворяет условию Бари (1.5.10), а f EVp (ε). Тогда f					принадле-
жит C после изменения на множестве меры нуль и				e
	j=0	j
	n	n
e	e		ε j .		(2.3.20)
k f	− en1( f )k∞ ≤C2−n ∑		ε j .		(2.3.20)
Доказательство. Используя убывание E j ( f )Vp по j, симметрию ко-

эффициентов

мы имеем

и теорему 1.4.8 при

= 0,

j=0 j

j=0

≤C12−n ∑

≤

k f

− en1( f )k∞

E j ( f )Vp ≤ 2C12−n ∑

E j ( f )Vp

≤C22−n

[n/2]

∞

εi

∑

ε j + ∑

∑

≤

∑

! i

j=0

i= j+1

i=[n/2]+1

	[n/2]	n		[n/2]
≤C22−n	∑	n	ε j + ∑
≤C22−n	∑	j	ε j + ∑
	j=0	j		i=1
			j=0	j
≤C22−n			n	n
	(1 +C3) ∑			n	ε j
	(1 +C3) ∑				ε j

j=0	j ! i
i−1	n		εi
∑				+
[n/2]		n
+ ∑		n	εi
+ ∑			εi
	i=1	i		!

j=0	j			!
[n/2]	n
∑	C3ε[n/2]			≤
		j=0	j
≤C42−n		n	n
		∑	n	ε j .
		∑		ε j .

Здесь мы использовали тот факт, что коэффициенты	n	возрастают по
j [0,[n/2]]. Теорема 2.3.7 доказана.	j	возрастают по

Теорема 2.3.8. Пусть 1 < p < ∞, последовательность {εk }∞k=0 убывает к нулю и удовлетворяет неравенству εk ≤ Cεk+1, k Z+. Если

109

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

эта последовательность удовлетворяет также двустороннему условию Бари

	∞
	∑ εk /(k + 1) εn,			n Z+,
	k=n
то		n
e	e	n	n
			n
			j	ε j , n N.		(2.3.21)
sup k f	− en1( f )k∞ 2−n ∑			ε j , n N.		(2.3.21)
f EVp (ε)		j=0
Доказательство. Оценка		сверху	в	(2.3.21)	следует	из (2.3.20).
		∞
Рассмотрим функцию f1(x) =		∑ εk sin kx/k. По			теореме	1.4.1 имеем

k=1

E j ( f1)Vp ≤ C1ε j+1 ≤ C1ε j , j Z+, т. е. f1/C1 EVp (ε), а по теореме 1.4.8 fe1 Cp. Так как fe1 имеет ряд Фурье −∑∞k=1 εk cos kx/k, из доказательства теоремы 2.3.3 (см. (2.3.5)) и двустороннего условия Бари мы выводим неравенство

k f − en1	n	n	∞	εk	n	n ε j .
	( f )k∞ = 2−n ∑		∑		≥C22−n ∑
e	e	j k= j+1			j=0 j
	j=0			k

Таким образом, (2.3.21) установлено. Теорема 2.3.8 доказана.

2.4. Приближение частными суммами Фурье в Vp

Для 2π-периодической непрерывной функции f (x) ( f (x) C) сопряженный ряд к ряду Фурье не обязательно является рядом Фурье непрерывной функции, но по теореме И. И. Привалова в случае f Li p(α), 0 < α < 1, функция fe(x) эквивалентна функции fe0(x) Li p(α), т. е. fe(x) =

=fe0(x) п. в. на [0,2π] (см. [8, гл. VIII, § 13]).

Р.Салем (Salem) и А. Зигмунд (Zygmund) [64] получили следующие результаты, дополняющие теорему И. И. Привалова.

Предложение 2.4.1. 1) Пусть α > 0, f C и

k f − Sn( f )k∞ := sup | f (x) − Sn( f )(x)| = O(n−α), n N. (2.4.1)

x [0,2π]

Тогда функция feэквивалентна функции fe0 C и при этом k fe0 −Sn( fe)k∞ =

=O(n−α), n N.

2)Пусть α (0,1), f C2π и f удовлетворяет условию (2.4.1). Тогда

kSn′ ( f )k∞ = O(n1−α), n N.

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1211 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]