Приближение функций ограниченной p-вариации

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Теорема 1.2.1. Если 1 < p < ∞ и f Vp[a,b] ( f Vp), то

ωk ( f ,δ)Vp ≤ 2ωk−1/p( f ,δ) ≤ 2k ω1−1/p( f ,δ).

Доказательство. В случае k = 1 мы рассмотрим разбиение {xi}ni=1 интервала [a,b −h], 0 < h < b −a. Обозначим через A множество индексов

i {1,2,...,n}, таких что xi − xi−1 ≤ h через B множество {1,2,...,n} \ A. В силу неравенства Гёльдера мы получаем

n

∑ | f (xi + h) − f (xi−1 + h) − f (xi) + f (xi−1)|p = ∑ + ∑ ≤

i=1 i A i B

=: 2p−1 ∑ | f (xi +h)− f (zi +h)|p +2p−1 ∑ | f (yi)− f (xi−1)|p =: 2p−1(I1 +I2),

i=1 i=1

где zi + h [xi−1 + h,xi + h], yi [xi−1,xi] и 0 ≤ xi − zi ≤ h, 0 ≤ yi − xi−1 ≤

≤ h (например, zi = xi−1 при i A и zi = xi − h при i B). Следовательно,

I1,I2 ≤ ω1p−1/p( f ,h) и ω1( f ,δ)Vp ≤ 2ω1−1/p( f ,δ). В случае произвольного k N мы используем только что доказанное утверждение

k∆kh f kVp ≤ ω1(∆kh−1 f ,h)Vp ≤ 2ω1−1/p(∆kh−1 f ,h) ≤ 2ωk−1/p( f ,h)

при 0 ≤ h ≤ δ. Таким образом, ωk ( f ,δ)Vp ≤ 2ωk−1/p( f ,δ). Второе неравенство теоремы 1.2.1 легко вытекает из непосредственно проверяемого

равенства ∆hj f (x) = ∆1h(∆hj−1 f (x)). Случай периодической функции разбирается аналогично.

Теорема 1.2.2. Пусть 1 ≤ p < ∞, f (x,t) определена и измерима на

[a,b] × [c,d], f (x,·) L1[c,d] для всех x [a,b] и f (·,t) Vp[a,b] для почти всех t [c,d]. Тогда

Аналогичное утверждение верно для периодических функций.

21

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Доказательство. Пусть ξ = {xi}ni=0 – разбиение отрезка [a,b], та-

Так как правая часть (1.2.1) не превосходит правой части (1.2.2), мы легко выводим неравенство теоремы 1.2.2.

Аналогичное утверждение верно для периодических функций.

Доказательство. В случае r = 1 мы рассмотрим разбиение ξ = = {xi}ni=0 отрезка [a,b], такое что diam(ξ) ≤ δ. Благодаря неравенству Гёльдера для интегралов мы имеем

22

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

откуда ω1−1/p( f ,δ) ≤ k f ′kpδ1−1/p. Если r > 1, мы применяем известное равенство

00

используя случай r = 1 и теорему 1.2.2, мы получаем для 0 ≤ h ≤ δ

ω1−1/p(∆rh−1 f ,h) ≤ hr−1ω1−1/p( f (r−1),h) ≤ hr−1/pk f (r)kp ≤ k f (r)kpδr−1/p.

Беря точную верхнюю грань по 0 ≤ h ≤ δ, мы выводим первое неравенство (1.2.3). Из него, в свою очередь, мы находим, что f Cp[a,b]. Второе неравенство (1.2.3) доказывается так же. Теорема 1.2.3 доказана.

Теорема 1.2.4 позволяет оценивать интегральную гладкость функций обобщенной ограниченной вариации. Ее неравенство при s = p и k = = 1 было установлено еще Л. Ч. Юнгом (Young) [3, c. 260].

Теорема 1.2.4. Пусть 1 < s ≤ p < ∞ и f Vs. Тогда при s < p мы

а при s = p справедливо неравенство ωk ( f ,δ)p ≤ 2δ1/pωk−1/p( f ,δ). Последнее неравенство справедливо с большей константой и для функций,

заданных на отрезке.

Доказательство. Пусть f Vs. Обозначим через w(x,y) функцию

Здесь мы использовали оба утверждения теоремы 1.1.4. Беря точную верхнюю грань по 0 ≤ h ≤ δ и возводя обе части неравенства (1.2.5)

23

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

в степень 1/p, мы получаем (1.2.4) при k = 1. Из рассуждений выше

Беря точную верхнюю грань по 0 ≤ h ≤ δ в левой части (1.2.6), мы получаем (1.2.4) при k N. Второе неравенство теоремы 1.2.4 доказывается аналогично. По поводу неравенства для отрезка см. [17]. Теорема 1.2.4 доказана.

Следствие 1.2.1. При выполнении условий теоремы 1.2.3 верно нера-

венство

ωk+r−1/p( f ,δ) ≤ δr ωk−1/p( f (r),δ), δ [0,2π].

Свойство модулей гладкости ωk−1/p( f ,δ), установленное в теореме 1.2.5, означает, что они являются функциями сравнения порядка k −

Доказательство. Пусть сначала k = 1. Возьмем разбиение {xi}Ni=0 отрезка [a,b] или периода диаметра не больше nδ и построим по нему новое разбиение, содержащее все точки:

zi j = xi−1 + j(xi − xi−1)/n, 0 ≤ j ≤ n,1 ≤ i ≤ N.

Применяя неравенство Гёльдера для последовательностей, имеем при

1/p + 1/p′ = 1

Nn

≤∑ ∑ | f (zi j − f (zi, j−1))|pnp/p′ =

i=1 j=1

24

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

i=1 j=1

Разбиение, образованное всеми точками zi j , 0 ≤ j ≤ n, 1 ≤ i ≤ N, имеет диаметр уже не больше δ, поэтому правая часть неравенства (1.2.7) не

Снова беря точную верхнюю грань по 0 ≤ h ≤ δ от левой части неравенства (1.2.8), получаем неравенство теоремы 1.2.5 в общем случае.

Следствие 1.2.2. Пусть 1 < p < ∞, k N, f Vp ( f Vp[a,b]) и 0 < < δ ≤ η (0 < δ ≤ η ≤ b − a). Тогда справедливо неравенство

В случае когда модуль гладкости ωk−1/p( f ,δ) не равен тождественно

нулю, верно неравенство lim infδ→0+0 δ1/p−k ωk−1/p( f ,δ) > 0.

Доказательство. η ≥δ > 0, то [η/δ] = k не меньше 1, поэтому η/δ < < k + 1 ≤ 2k при k N. В итоге η/δ ≤ 2[η/δ]. В силу монотонности ωk−1/p( f ,δ) и теоремы 1.2.5 мы имеем

ωk−1/p( f ,η) = ωk−1/p( f ,(η/δ)δ) ≤ ωk−1/p( f ,2[η/δ]δ) ≤

25

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Второе утверждение следствия вытекает из первого. Возьмем η > 0, такое что ωk−1/p( f ,η) =6 0. Тогда в силу (1.2.9) получаем

lim inf δ1/p−k ωk−1/p( f ,δ) ≥ 21/p−k η1/p−k ωk−1/p( f ,η) > 0.

δ→0+0

Следующая теорема является важным дополнением к оценке теоремы 1.2.2 в случае периодических функций. Впрочем, существует ее аналог для функций, заданных на отрезке.

Теорема 1.2.6. Если f Vp, 1 < p < ∞, g L1, то для свертки h(x) = = f g(x) = 02π f (x − t)g(t) dt справедливы неравенства

ω1−1/p(h,δ) ≤ kgk1ω1−1/p( f ,δ), δ [0,2π]; khkVp ≤ k f kVp kgk1.

Доказательство. Для разбиения периода ξ = {xi}ni=0 и сопряженного показателя q = p/(p − 1) мы имеем в силу неравенства Гёльдера

2π

|h(xi) − h(xi−1)| ≤ |g(t)|1/p+1/q| f (xi −t) − f (xi−1 −t)|dt≤

Возводя в степень p и суммируя неравенства (1.2.10) по i = 1,2,. ..,n, мы получаем

kgk−1 p ∑ |h(xi) − h(xi−1)|p ≤ kgk−1 1 |g(t)|| f (xi −t) − f (xi−1 −t)|p dt.

Беря точную верхнюю грань по всем ξ таким, что diam(ξ) ≤ δ, мы выводим первое неравенство теоремы. В частности,

Vp(h) = ω1−1/p(h,2π) ≤ kgk1ω1−1/p(h,2π) = Vp( f )kgk1.

Поскольку неравенство k f gk∞ ≤ k f k∞kgk1 очевидно, мы легко получа-

ем khkVp ≤ k f kVp kgk1.

В следующих теоремах установлена взаимосвязь между p-вариаци- онными и Lp-нормами тригонометрических полиномов, которая далее будет активно использоваться. Теорема 1.2.7 установлена в [12].

Теорема 1.2.7. Пусть 1 < p < ∞, n N и tn Tn. Тогда для k N

26

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Доказательство. Будем использовать (1.1.9) в случае X = Lp, 1 < < p < ∞. Ясно, что tn,tn(k) Cp. Применяя теорему 1.2.4 и отмеченное

Теорема 1.2.8 получена в [13] как следствие общих результатов. Мы даем более непосредственное доказательство.

Теорема 1.2.8. Пусть 1 < p < ∞, n N и tn Tn. Тогда имеет место

ство (1.1.9) при X = Vp, 1 < p < ∞, k = 1, h = π/2n, а также теоремы 1.2.1 и 1.2.3, получаем

ktnkVp = kg′nkVp ≤ n2 k∆1π/ngnkVp ≤ nω1−1/p( f ,π/n)≤

≤nkg′nkp(π/n)1−1/p = π1−1/pn1/pktnkVp .

Если же a =6 0, по доказанному в случае a = 0 и неравенству

ktnkVp ≤ ktn − akVp + kakVp ≤ π1−1/pn1/pktn − akp + |a|≤ ≤π1−1/pn1/p(ktnkp + |a|k1kp) +C1ktnkp ≤C2n1/pktnkp.

Теорема доказана.

1.3.Прямые и обратные теоремы теории приближений

впространстве Vp

Будем писать ω Φ, если ω(t) не убывает, непрерывна на [0,2π] и ω(0) = 0. Скажем, что ω Φ принадлежит классу Бари B, если выполнено условие

27

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Наконец, скажем, что ω Φ является функцией сравнения порядка r > 0 (ω Nr ), если для некоторого M > 0 и 0 < δ ≤ η ≤ 2π верно неравенство

Mω(δ)δ−r ≥ ω(η)η−r . Все эти определения можно найти в [14]. Из 1.2.2

следует, что ωk−1/p( f ,t) Nk−1/p для 1 < p < ∞, k N, f Vp. Методами классической теории приближений (см. [30, гл. 4, § 2]

и [28, гл. 6, § 6.1]) доказываются прямая и обратная теоремы приближения в Vp, связанные с модулями гладкости ωk ( f ,δ)Vp . Мы объединим эти результаты в теореме 1.3.1

Теорема 1.3.1. Пусть X есть одно из пространств Cp, 1 < p < ∞,

Предложение 1.3.1. Пусть f Vp, 1 < p < ∞. Тогда En( f )Vp ≥C(n + + 1)1/pEn( f )p, n Z+.

Доказательство. Найдем полином tn Tn, такой что k f − tnkVp =

28

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

Все предложения леммы 1.3.1 называются теоремой М. Рисса (см. [8, гл. VIII, § 14, 20]).

Лемма 1.3.1. Пусть f Lp, 1 < p < ∞, an( f ),bn( f ) – коэффициенты Фурье f . Тогда:

1)kSn( f )kp 6 Ck f kp, n Z+.

2)k f − Sn( f )kp 6 CEn( f )p, n Z+.

Wpr ), если формально продифференцированный ряд Фурье

∞

∑ nr (an( f ) cos(nx + πr/2) + bn( f ) sin(nx + πr/2))

n=1

сходится в Lp к некоторой функции ϕ = f (r) Lp. Согласно лемме 1.3.1, данное условие равносильно тому, что указанный выше ряд является рядом Фурье ϕ Lp.

Теорема 1.3.2. 1) Пусть f Lp, 1 < p < ∞, r N и сходится ряд ∑∞n=0(n + 1)r−1En( f )p. Тогда f Wpr и справедливы неравенства

∞

k f (r)kp ≤C ∑(i + 1)r−1Ei( f )p,

i=0

∞

29

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

ма), f (r) Cp и справедливы неравенства

∞

k f (r)kVp ≤C ∑(i + 1)r−1Ei( f )Vp ,

S2−1 ( f ) = S0( f ). Из леммы 1.3.1 следует, что limn→∞ k f − Sn( f )kp = 0 и f = S0( f ) + ∑∞i=0(S2i ( f ) − S2i−1 ( f )). Запишем c помощью неравенства

Бернштейна в Lp (см. (1.1.10))

≤ ∑(2i)r (kS2i ( f ) − f kp + k f − S2i−1 ( f )kp) ≤ 2C1 ∑(2i)r E2i−1 ( f )p≤

∞

≤22r+1C1 ∑ ( j + 1)r−1E j ( f )p.

j=0

поэтому Sn(r)( f ) сходится к ϕ = f (r) Lp и f Wpr .

Далее с помощью неравенства Бернштейна (1.1.10) получаем при n N

∞

En( f (r))p ≤ k f (r) − Sn(r)( f )kp ≤ ∑ kS2(ri+) 1 n( f ) − S2(ri n) ( f )kp≤ i=0

30