Приближение функций ограниченной p-вариации

Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского

С. С. Волосивец

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ p-ВАРИАЦИИ

Саратов Издательство Саратовского университета

2021

ВВЕДЕНИЕ

Как хорошо известно, К. Жордан (Jordan) [1] ввел определение функции ограниченной вариации для того, чтобы придать более законченный вид признаку Дирихле равномерной и поточечной сходимости тригонометрического ряда Фурье. Но после того, как было открыто представление функции ограниченной вариации в виде разности двух монотонных и была обнаружена связь понятия абсолютно непрерывной функции с теорией интегрирования по Лебегу, это определение стало играть большую роль в разных областях математики. Понятие функции ограниченной p-вариации было введено Н. Винером (Wiener) [2], который получил аналог признаков Жордана для функций ограниченной 2-вариации. Он предложил в этой работе условие непрерывности функции ограниченной вариации в терминах коэффициентов Фурье, вытекающее из предельного равенства для суммы степеней скачков функции. Исследования Н. Винера были продолжены Л. Ч. Юнгом (Young) [3, 4] и Е. Р. Лавом (Love) [5, 6]. Было введено более широкое понятие Φ-вариации и также применено к вопросам равномерной и поточечной сходимости рядов Фурье, установлено существование интеграла Стилтьеса, порожденного двумя функциям в терминах p-вариации и q-вариации этих функций, где 1/p + 1/q = 1. Вместе с тем в их работах большое внимание было уделено классам функций, вариационные суммы которых стремятся к нулю или к положительному пределу при измельчении разбиения, и вопросам вложения таких классов друг в друга, а также их пересечений. Ими также начаты исследования, касающиеся приближения функций по p-вариации (доказано, что средние Фейера сходятся к p-абсолютно непрерывной функции по p-вариации), и установлено, что функция ограниченной p-вариации имеет интегральную Lp-гладкость порядка O(δ1/p). Про другие обобщения p-вариации, которые нашли приложение в теории равномерной сходимости рядов Фурье, и количественные оценки этой сходимости см. обзор М. Авдиспахича (Avdispahic)´ [7].

Другим приложением понятия функции ограниченной p-вариации стала абсолютная сходимость рядов Фурье. А. Зигмунд (цит. по: [8,

4

Введение

гл. IX, § 3]) получил условие на модуль непрерывности функции ограниченной вариации, при выполнении которого ее ряд Фурье сходится абсолютно. Для функций ограниченной p-вариации, удовлетворяющих условию Гёльдера положительного порядка, такой же результат получил И. И. Хиршман (Hirshman) [9]. Б. И. Голубов [10] получил ряд неулучшаемых условий сходимости рядов из коэффициентов Фурье функций, дробная производная которых принадлежит пространству функции ограниченной p-вариации. Автор [11] применил дробные модули гладкости, связанные с p-вариацией, к получению признаков обобщенной абсолютной сходимости рядов Фурье.

Новый этап в исследовании пространств Vp 2π-периодических функций ограниченной p-вариации наступил после работ А. П. Терехина [12, 13]. Он стал систематически использовать дробные модули гладкости, связанные с определением функций из Vp, и получил для них прямую и обратную теоремы приближения. С другой стороны, он активно устанавливал взаимосвязь между конструктивными и структурными характеристиками функций в Vp и в Lp, получил также ряд эквивалентностей между двусторонними порядковыми соотношениями в стиле работы Н. К. Бари и С. Б. Стечкина [14]. Часть этих результатов нашла отражение в параграфах 1.1–1.3 данной работы. Кроме того, в указанных параграфах приведен ряд результатов или новых доказательств автора.

Развивая идеи Н. Винера и С. М. Лозинского (их результаты хорошо изложены в [8, гл. II,§ 2]), Б. И. Голубов [15] установил критерии непрерывности функции класса Vp в терминах ее коэффициентов Фурье. В работе [10] им же получена асимптотика Lq-приближений функций, r-ая производная которых принадлежит Vp. Наконец, в [16] Б. И. Голубов доказал формулы для нахождения скачков функции ограниченной p-вариации по поведению продифференцированных частичных сумм ее ряда Фурье или сопряженного к нему ряда.

Б. И. Голубов [17, 18] использовал функции обобщенной ограниченной вариации для изучения рядов по системе Хаара и системам Хаара – Виленкина. Так, некоторые признаки обобщенной абсолютной сходимости рядов Хаара в терминах, связанных с p-вариацией, оказались неулучшаемыми. Ему же принадлежит работа [19] о приближении сопряженных функций в p-вариационной метрике, где удалось перенести ряд классических результатов Н. К. Бари [20], полученных ей для непрерывных функций. Эти результаты приведены в параграфе 1.4 данной монографии.

Позже автору и его ученикам удалось получить ряд новых результатов. Отметим уточненные прямую и обратную теоремы приближения

5

Г л а в а 1

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В P-ВАРИАЦИОННОЙ И ДРУГИХ МЕТРИКАХ

1.1. Свойства функций ограниченной p-вариации

Пусть ξ = {a = x0 < x1 < x2 < . .. < xn = b} является разбиением отрезка [a,b], p > 0. Определим p-вариационную сумму

1/p

n

ξ

[a,b] и обозначается через Vp( f ,[a,b]). Пространство функций конечной p-вариации на отрезке [a,b] обозначают через Vp[a,b]. При p = 1 это класс функций ограниченной вариации по Жордану. При p < 1 данные классы состоят из ступенчатых функций. Так, даже функция g(x) = x не принадлежит Vp[a,b] при 0 < p < 1. В самом деле, пусть Qn = {a < a +

7

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Если 1 < p < ∞ и lim ω1−1/p( f ,δ) = 0, то f Cp[a,b] ( f называется

δ→0+0

p-абсолютно непрерывной функцией на [a,b]). При p = 1 это определе-

ние не подходит, его можно заменить на следующее условие lim V1( f (x +

h→0

+ h) − f (x),[a,b − h]) = 0, равносильное классическому определению абсолютной непрерывности (см. [27]). Пусть k N и

есть k-я разность функции f в точке x с шагом h. Тогда мы можем определить p-вариационный модуль гладкости более высокого порядка:

ωk−1/p( f ,δ) = sup ω1−1/p(∆kh−1 f (x),h).

0≤h≤δ

f (x) рассматривается не на всем отрезке [a,b], а на отрезке [a,b − (k − 1)h], чтобы значения, входящие в ∆kh−1 f (x), не выходили за пределы [a,b].

В пространствах Cp[a,b] и Vp[a,b] можно ввести норму

k f kVp = k f kVp [a,b] = max(Vp( f ,[a,b]),k f k∞),

где k f k∞ = sup | f (x)|. Относительно этой нормы они являются банахо-

x [a,b]

выми (см. далее теорему 1.1.2).

Для функций, определенных на R и являющихся 2π-периодически- ми, нужна небольшая модификация определений.

Пусть ξa = {a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = a + 2π} – разбиение периода, начинающееся с a, f (x) – ограниченная 2π-периодическая функция.

Модуль гладкости ωk−1/p( f ,δ) определяется по той же формуле, что и выше. Изменения необходимы, чтобы эти величины были одинаковы для f (x) и сдвинутой функции f (x + h). Соответствующие классы функций ограниченной p-вариации и p-абсолютно непрерывных функций обозначаются соответственно Vp и Cp. В ближайших параграфах изучаются свойства пространств Vp, Cp, Vp[a,b], Cp[a,b] и соответствующих модулей непрерывности ωk−1/p( f ,δ).

В дальнейшем важную роль играют пространства Lp 2π-периоди- ческих интегрируемых в p-й степени по Лебегу на периоде функций

8

Глава 1. Приближение периодических функций в p-вариационной и других метриках

≤C2An, C1, C2 > 0, для всех n N, и аналогичное обозначение для функций. Везде далее C,Ci обозначают положительные константы, различные в разных случаях.

Пространства Vp[a,b] увеличиваются с ростом p. Более точно справедлива

Теорема 1.1.1. Если 1 ≤ p ≤ q < ∞, то Vq( f ,[a,b]) ≤Vp( f ,[a,b]), откуда следуют вложения Vp[a,b] Vq[a,b], Cp[a,b] Cq[a,b]. Аналогичный результат верен для Vp и Vq, Cp и Cq.

Доказательство. Согласно неравенству Иенсена, при ai ≥ 0, 0 < p ≤ ≤ q < ∞ имеем

откуда и вытекает нужное неравенство Vq( f ,[a,b]) ≤Vp( f ,[a,b]). Вложение Vp[a,b] Vq[a,b] сразу следует из последнего неравенства. Применяя неравенство (1.1.1), записанное выше, к p-вариационным суммам по разбиениям ξ = {xi}ni=0 с диаметром не больше δ, мы получаем, что ω1−1/q( f ,δ) ≤ ω1−1/p( f ,δ), δ [0,b − a], поэтому из соотношения

получаем Cp[a,b] Cq( f ,[a,b]).

9

С. С. Волосивец. Приближение функций ограниченной p-вариации

Замечание 1.1.1. Если считать, что C∞[a,b] совпадает с пространством непрерывных функций C[a,b], а V∞[a,b] и с пространством ограниченных функций B[a,b] (оба пространства снабжены нормой k · k∞), то вложения теоремы 1.1.1 справедливы и в случае q = ∞.

Теорема 1.1.2. Пространства Vp, Cp, Vp[a,b], Cp[a,b], p ≥ 1 с ука-

занными выше нормами являются банаховыми пространствами.

Доказательство. Докажем сначала, что k · kVp обладает всеми свой-

Отсюда ясно, что æξp(λ f )≤|λ|Vp( f ,[a,b]). Беря точную верхнюю грань по

всем разбиениям ξ отрезка [a,b], получаем Vp(λ f ,[a,b]) ≤ |λ|Vp( f ,[a,b]). С другой стороны, пусть λ =6 0. Тогда в силу только что доказанного

неравенства имеем

откуда Vp(λ f ,[a,b]) ≥ |λ|Vp( f ,[a,b]) и Vp(λ f ,[a,b]) = |λ|Vp( f ,[a,b]), λ =6 0. При λ = 0 последнее равенство очевидно. Поскольку kλ f k∞ = |λ|k f k∞,

то kλ f kVp = kλ|k f kVp .

Наконец, тот факт, что для f ,g Vp[a,b]

следует из неравенства треугольника в норме пространства l p, 1 ≤ p < ∞, часто называемого неравенством Минковского для последовательностей. Следовательно, æξp( f + g) ≤Vp( f ,[a,b]) +Vp(g,[a,b]). Переходя к точной

верхней грани по всем разбиениям ξ отрезка [a,b], получаем Vp( f +

+ g,[a,b]) ≤ Vp( f ,[a,b]) + Vp(g,[a,b]).

По свойствам равномерной нормы k f + gk∞ ≤ k f k∞ + kgk∞, откуда

следует k f + gkVp ≤ k f kVp + kgkVp . В самом деле, пусть A ≤ A1 + A2, B ≤

≤ B1 + B2 и max(A,B) = A. Тогда A ≤ A1 + A2 ≤ max(A1,B1) + max(A2,B2), т. е. max(A,B) ≤ max(A1,B1) + max(A2,B2).

Докажем, что линейное нормированное пространство Vp[a,b] является банаховым. Пусть последовательность { fn}∞n=1 фундаментальна

10