Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

Саратовский национальный исследовательский государственный

университет имени Н. Г. Чернышевского

П. А. Терехин, С. В. Тышкевич

ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ

ИПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ

ВГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факультета

Саратов Издательство Саратовского университета

2025

ПРЕДИСЛОВИЕ

С формальной точки зрения учебное пособие предназначено для обеспечения специального курса «Фреймы и их приложения» по программе магистратуры 01.04.02 Прикладная математика и информатика, профиль – Математические и компьютерные методы обработки информации. Этот спецкурс уже многие годы читает на механико-математическом факультете Саратовского университета первый автор пособия, и лекционный материал достаточно разработан, чтобы претендовать на попытку его отражения в печатном издании. Необходимость в данном учебном пособии продиктована дефицитом учебной литературы, посвященной теории фреймов, если не брать в расчет весьма значительное количество специализированных журнальных статей. Кроме того, как и любой специальный курс, курс «Фреймы и их приложения» состоит из материала разного уровня сложности

вего освоении: от общих сведений и базовых фактов до современных результатов и достижений, среди которых нельзя не упомянуть доказательство справедливости гипотезы Фейхтингера, эквивалентной классической гипотезе Кадисона–Зингера. При этом не менее разнообразной оказывается и подготовка самих слушателей спецкурса. С целью освежить ранее полученные ими знания, либо заполнить отдельные пробелы, в пособие включен материал из функционального анализа. Среди основных тем рассматриваются общие задачи приближения многочленами и представления рядами

вситуации гильбертова пространства, с особым акцентом на взаимосвязь этих задач как между собой, так и с теорией фреймов. Главное назначение пособия состоит в обеспечении минимального уровня, соответствующего программе спецкурса по фреймам, после освоения которого станет возможным изучение современных и более трудных результатов теории фреймов.

Глава 1 содержит краткое изложение основных принципов функционального анализа: теорема Хана–Банаха о продолжении линейного функционала, принцип равномерной ограниченности Банаха–Штейнгауза, теорема об открытом отображении, а также некоторые результаты, необходимые для дальнейшего изложения, например двойственность операторных инъекций и сюръекций.

Глава 2 посвящена изложению основных результатов теории операторов в гильбертовом пространстве, включая спектральную теорему для компактных операторов и классификацию базисов гильбертова пространства.

3

Г л а в а 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

1.1. Линейные пространства и операторы

Определение 1. Линейным или векторым пространством над полем действительных чисел R (или полем комплексных чисел C) называется множество E, для элементов (векторов) которого определены операции:

сложения, которая каждой упорядоченной паре векторов x,y ставит в соответствие вектор x + y;

умножения вектора на скаляр, которая каждому вектору x и каждому действительному или комплексному числу λ ставит в соответствие вектор λx.

При этом операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр удовлетворяют следующим соотношениям (аксиомам линейного пространства):

1) x + y = y + x,

2) (x + y) + z = x + (y + z),

3) 9θ 2E 8x 2E x + θ = θ + x = x,

4) 8x 2E 9( x) 2E x + ( x) = ( x) + x = θ,

5) λ(µx) = (λµ)x,

6) (λ + µ)x = λx + µx,

7) λ(x + y) = λx + λy,

8) 1x = x.

Нейтральный элемент θ 2 E называется нулевым вектором и обозна-

чается просто 0 (так же, как число 0).

Пример 1. Пространство Rn состоит из всех упорядоченных наборов x = = (ξ1,..., ξn) действительных чисел. Относительно операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр:

x + y = (ξ1 + η1,..., ξn + ηn), λx = (λξ1,..., λξn),

5

оно является линейным пространством над полем R. Аналогично определяется линейное пространство Cn над полем C.

Пример 2. Пространство C[a,b] состоит из всех непрерывных на отрезке [a,b] функций f . Относительно операций:

( f + g)(t) = f (t) + g(t), (λ f )(t) = λ f (t),

оно является линейным пространством.

Линейной комбинацией векторов x1,..., xn 2 E называется выражение

вида

λ1x1 + + λnxn, λ1,..., λn 2R(илиC).

Линейная комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты

равны нулю: λ1 = 0,..., λn = 0. Говорят, что векторы x1,..., xn 2 E линейно независимы, если не существует их нетривиальной линейной комбинации,

равной нулевому вектору:

λ1x1 + ... + λnxn = 0 =) λ1 = 0,..., λn = 0.

Размерностью линейного пространства E называется максимальное число его линейно независимых векторов и обозначается dim E. Имеем dim Rn = n и dim Cn = n, но dimC[a,b] = ∞, поскольку степенные функции 1,t,t2,...,tn линейно независимы для каждого натурального n.

Определение 2. Отображение L : E1 ! E2 из линейного пространства E1 в линейное пространство E2 называется линейным оператором, если для всех x,y 2E1 и всех λ 2R (или C) выполняются равенства:

L(x + y) = Lx + Ly, L(λx) = λLx.

Линейный оператор вида L : E ! R называется линейным функционалом на линейном пространстве E над полем R (в комплексном случае

L : E ! C).

6

1.2. Теорема Хана–Банаха

Определение 3. Отображение p : E ! R на линейном пространстве E называется выпуклым функционалом, если для всех x,y 2 E и всех λ 0 выполняются соотношения1

p(x + y) p(x) + p(y), p(λx) = λp(x).

Если p : E ! R – выпуклый функционал, то для всех x,y2E и 0 λ 1 выполняется неравенство

p((1 λ)x + λy) (1 λ)p(x) + λp(y).

Подпространством линейного пространства E называется подмножество E0 E, замкнутое относительно операций сложения векторов и умножения вектора на скаляры:

x,y 2E0 =) x + y 2E0, x 2E0,λ 2R (илиC) =) λx 2E0.

Говорят, что линейный функционал f : E ! R является продолжением линейного функционала f0 : E0 ! R, заданного на подпространстве E0 линейного пространства E над полем R, если f (x0) = f (x0) для всех x0 2E0.

Теорема Хана–Банаха. Пусть линейный функционал f0 : E0 ! R определен на подпространстве E0 линейного пространства E над полем R и удовлетворяет условию

определяемый равенством f 0(x0 + tx) = f0(x0) + ct, является продолжением

1Как правило, такой функционал называются сублинейным или положительно-однород-

ным и выпуклым.

7

или, что то же самое,

f0(x0) + ct p(x0 + ty), x0 2E,t 2R.

Последнее неравенство при t = 0 выполняется по условию, при t > 0 равносильно неравенству

Учитывая, что t 1x0 будет произвольным вектором из E0 вместе с x0, выбор c 2R должен быть таким, чтобы

f0(x1) p(x1 y) c p(x2 + y) f0(x2), x1,x2 2E0.

Возможность такого выбора гарантируется следующей оценкой:

f0(x1) + f0(x2) = f0(x1 + x2) p(x1 + x2) =

=p(x1 y + x2 + y) p(x1 y) + p(x2 y).

Витоге всякий линейный функционал допускает продолжение на бо́льшее подпространство с сохранением свойства подчиненности выпуклому функционалу.

Теперь перейдем к следующему шагу доказательства, который ис-

пользует лемму Цорна: если в частично упорядоченном множестве всякая цепь имеет верхнюю грань, то в нем существует максимальный эле-

мент. Рассмотрим множество F , состоящее из всевозможных продолжений f1 : E1 ! R линейного функционала f0, подчиненных выпуклому функ-

ционалу p, т.е. f1(x) p(x), x 2 E1. Для f1, f2 2 F определим частичный

и подчинен выпуклому функционалу p, а также оказывается верхней гранью цепи функционалов. На основании леммы Цорна существует максимальный элемент f : Emax ! R в F . Заметим, что с необходимостью имеем Emax = E, так как в противном случае мы могли бы так же, как и на первом шаге доказательства, продолжить f на бо́льшее подпространствоEmax0 вопреки свойству максимальности f . Таким образом, f : E ! R – искомое продолжение. Теорема доказана.

8

Замечание 1. Теорема Хана–Банаха для линейных пространств над полем комплексных чисел состоит в следующем утверждении, которое доказывается редукцией к действительному случаю.

Пусть линейный функционал f0 : E0 ! C определен на подпространстве E0 комплексного линейного пространства E и удовлетворяет условию

где p : E ! R – полунорма, т.е. для всех x,y 2E и всех λ 2C выполняются соотношения

p(x + y) p(x) + p(y), p(λx) = jλjp(x).

Тогда существует линейный функционал f : E ! C, который является продолжением f0 и удовлетворяет условию

Замечание 2. Продолжение линейного функционала, существование которого утверждает теорема Хана–Банаха, вообще говоря, не единственно.

Определение 4. Множество U E называется выпуклым, если для всех x,y 2U и всех 0 λ 1 имеем (1 λ)x + λy 2U.

Определение 5. Функционал Минковского выпуклого множества U E определяется равенством

Ясно, что p(x) < ∞ если и только если x/t 2U при некотором t > 0. Множество U называется поглощающим, если его функционал Минковского p(x) < ∞ для всех x 2 E.

Теорема 1. Пусть U E – выпуклое поглощающее множество. Тогда его функционал Минковского p : E ! R является выпуклым. При этом

fx 2E : p(x) < 1g U fx 2E : p(x) 1g.

Доказательство. Сразу заметим, что 0 2U. Если 0 < s < t, то sU tU, поскольку если xs 2U, то xt = st xs + (1 st )0 2U. Это означает, что ft > 0 : x2 2tUg – правый луч (открытый или замкнутый) с началом p(x). Далее, для

любых s,t > 0 из принадлежности x 2 sU и y 2tU следует, что x + y 2 (s +

9

Для любых x,y 2E и любого ε > 0 имеем x 2(p(x) + ε)U и y 2(p(y) + ε)U, так что x + y 2 (p(x) + p(y) + 2ε)U и поэтому p(x + y) p(x) + p(y). Если

λ > 0, то p(λx) = infft > 0 : λx2tUg = inffλs > 0 : x2sUg = λp(x). Наконец, p(0) = 0. Таким образом, p : E ! R – выпуклый функционал. Если x 2U, то p(x) 1. Если p(x) < 1, то при p(x) < t < 1 имеем x 2tU U.

1.3. Нормированное пространство

Определение 6. Нормой на линейном пространстве E называется функция k k : E ! R, удовлетворяющая следующим свойствам (аксиомам нормы):

1) kxk 0, kxk = 0 , x = 0,

2) kx + yk kxk+ kyk,

3) kλxk = jλjkxk.

Линейное пространство E, снабженное нормой k k, называется нормированным пространством.

Далее E,E1,E2,... – нормированные пространства, снабженные нормами k kE , k kE1 , k kE2 ,... соответственно.

Определение 7. Функция f : E1 ! E2 называется непрерывной в точке x0 2E1, если

8ε > 0 9δ > 0 kx x0kE1 < δ =) k f (x) f (x0)kE2 < ε.

Теорема 2. Для линейного оператора L : E1 ! E2 следующие утверждения эквивалентны:

1)оператор L непрерывен в каждой точке x0 2E1;

2)оператор L непрерывен в точке x0 = 0;

3)оператор L ограничен, т.е. существует постоянная C > 0 такая,

что

Доказательство. Импликация 1) ) 2) очевидна.

2) ) 3). По условию, при ε = 1 имеем kxkE1 < δ ) kLxkE2 < 1, откуда

10