Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

Г л а в а 3

ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНАМИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЯДАМИ

3.1. Наилучшее приближение

Пусть H – сепарабельное гильбертово пространство и f fng∞n=1 H –

и обозначать

n

p = ∑ ck fk.

k=1

При этом будем говорить, что многочлен p имеет степень deg p n.

Определение 44. Наилучшим приближением порядка n вектора f 2 H по системе f fng∞n=1 называется величина

Следствие 5. Полином наилучшего приближения p порядка n вектора

62

Пусть S = fh 2H : khk = 1g – единичная сфера пространства H.

Следствие 6. Для всех f 2H и всех n = 1,2,... справедливо равенство

En( f ) = sup jh f ,gij.

g2S\Fn?

Доказательство. Достаточно учесть, что f p 2Fn? и поэтому

En( f ) = k f p k = sup jh f p ,gij = sup jh f ,gij.

g2S\Fn? g2S\Fn?

Основная задача теории приближений состоит в установлении взаимозависимости между конструктивными свойствами функций, формулируемыми в терминах величин наилучших приближений, как правило, скорости сходимости величин En( f ), и свойствами гладкости, выражаемых в терминах самой функции f , например, наличие у функции f производных, принадлежность f тому или иному функциональному пространству или классу.

Проблема оценки скорости приближения требует, прежде всего, ответа на принципиальный вопрос: обладает ли система f fng∞n=1 тем свойством, что En( f ) ! 0 при n ! ∞ для всех f 2 H?

Теорема 23. Следующие утверждения эквивалентны:

(a)для всех f 2H имеем limn!∞ En( f ) = 0;

(b)f fng∞n=1 – полная система в H, т.е. из условия h f , fni = 0, n =

=1,2,... , следует, что f = 0.

(c)f fng∞n=1 – замкнутая система в H, т.е. [ fn] = H;

Доказательство. (a) ) (b). Пусть h f , fni = 0 для всех n = 1,2,... . Тогда f ортогонален Fn и поэтому p = 0, т.е. En( f ) = k f k. В силу (a) имеем f = 0.

(b) ) (c). Если f 2[ fn]?, то ввиду (b) имеем f = 0. Это означает, что

[ fn]? = f0g, откуда [ fn] = H.

(c) ) (a). Равенство [ fn] = H означает, что для любого f 2H найдется последовательность многочленов pn, n = 1,2,... , такая, что k f pnk ! 0. Тем более, имеем k f pnk ! 0 для последовательности полиномов наилучшего приближения pn порядка n = 1,2,... . Таким образом, En( f ) ! 0.

Заметим, что из включений F1 F2 ... Fn ... следуют неравенства

E1( f ) E2( f ) ... En( f ) ....

63

Теорема Бернштейна о наилучших приближениях. Пусть f fng∞n=1 H –

линейно независимая система. Тогда для любой числовой последовательности

существует вектор f 2H такой, что En( f ) = En, n = 1,2,... .

Доказательство. Пусть ортонормированная система feng∞n=1 получена в результате ортогонализации по Граму–Шмидту линейно независимой системы f fng∞n=1. Положим

∞

f = ∑(En2 1 En2) 12 en.

n=2

Поскольку [ek : 1 k n] = [ fk : 1 k n] = Fn, то

∞

En2( f ) = ∑ (Ek2 1 Ek2) = En2, n = 1,2,....

k=n+1

Замечание 12. Классическая теорема Бернштейна относится к приближению многочленами в пространстве C[a,b]. Аналог этой теоремы остается справедливым для произвольного банахова пространства F и линейно независимой системы f fng∞n=1 F.

Теорема 24. Пусть f fng∞n=1 – полная последовательность в H и W H – ограниченное множество. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)sup f 2W En( f ) ! 0;

2)W – предкомпактное множество.

Доказательство. 1) ) 2). Пусть k f k C для всех f 2W . Для всякого ε > 0 найдется n такое, что En( f ) < ε для всех f 2W . Это означает, что множество M = fp 2 Fn : kpk C + εg является ε-сетью для W . Так как пространство Fn конечномерно, то существует конечная ε-сеть N для M. В итоге N будет конечной 2ε-сетью для W и по теореме Хаусдорфа, W предкомпактно.

2) ) 1). Обратно, если N = fy1,..., yN g – конечная ε-сеть для W , то для каждого f 2W найдется k такое, что k f ykk < ε. Тогда En( f ) En(yk) + ε. Так как En(yk) < ε для всех k = 1,..., N при n n0, то sup f 2W En( f ) 2ε.

Замечание 13. В отличие от наилучших приближений En( f ) индивидуального вектора f 2 H величина sup f 2W En( f ), вообще говоря, не может стремиться к нулю сколь угодно быстро. Например, если K : H1 ! H –

64

компактный оператор и W = K(B1) – образ единичного шара B1 гильбертова пространства H1, то в силу минимаксимального свойства собственных значений и с учетом следствия 6 имеем

sup En( f ) = sup En(Kh1) = sup sup jhKh1,gij =

f 2W h12B1 h12B1 g2S\Fn?

т.е. для s-чисел оператора K (так называются числа sn, n = 1,2,... , из спектральной теоремы для компактных операторов) выполняются неравенства

какова бы ни была последовательность f fng∞n=1. Величина

называется поперечником по Колмогорову порядка n множества W H, где infimum берется по всем подпространствам Hn H размерности dim Hn = n. В случае W = K(B1) имеем dn(W ) = sn+1 для всех n, поскольку infimum по Hn достигается на подпространстве, порожденном первыми n собственными векторами оператора KK .

3.2. Грамиан и базисность системы

Вернемся к характеризации полинома p наилучшего приближения порядка n вектора f по системе f fng∞n=1.

Если p = ∑nk=1 ξk fk, то соотношение следствия 5 может быть записано в виде системы линейных алгебраических уравнений

h f p , fki = 0, 1 k n,

или, что то же самое,

n

∑h f j, fkiξj = h f , fki, 1 k n.

j=1

65

Ввиду следствия 5 они могут различаться только лишь элементом, стоящим на пересечении последней строки и последнего столбца. Следовательно, в разложении этих определителей по последней строке первые n слагаемых совпадают, так что

n

G( f1,..., fn, p ) = ∑ ... + kp k2G( f1,..., fn)

j=1

и

n

G( f1,..., fn, f ) = ∑ ... + k f k2G( f1,..., fn).

j=1

Учитывая, что G( f1,..., fn, p ) = 0, находим:

G( f1,..., fn, f ) = (k f k2 kp k2)G( f1,..., fn).

Наконец, заметим, что

k f k2 = k f p + p k2 = k f p k2 + kp k2 = En2( f ) + kp k2.

В итоге приходим к следующему утверждению.

Теорема 25. Пусть f fng∞n=1 линейно независимая система в H. Тогда для всех f 2H справедливо равенство

66

Определение 45. Грамианом нормированной системы f fng∞n=1 назовем

G = lim G( f1,..., fn).

n!∞

(Предел существует по следствию 7.)

Следующая теорема показывает, что в отличии от конечномерного случая условие G > 0 гораздо сильнее, чем линейная независимость системы f fng∞n=1.

Теорема 26. Пусть f fng∞n=1 – полная нормированная система в H. Тогда следующие условия эквивалентны:

1)грамиан G > 0;

2)∑∞n=1(1 En( fn+1)) < ∞;

3)f fng∞n=1 – базис Бари.

Доказательство. Условие 1) эквивалентно условию 2), поскольку сходимость бесконечного произведения

∏∞ Gn+1 = G,

n=1 Gn

где Gn = G( f1,..., fn), равносильна, с учетом теоремы 25, сходимости ряда 2).

2) ) 3). Пусть feng∞n=1 – ортонормированный базис в H, полученный в результате ортогонализации по Граму–Шмидту системы f fng∞n=1 (см. теорему 12, пункт 2.1), так что для ортопроектора Pn на Fn = [ek : 1 k n] имеем

Так как fn+1 = Pn( fn+1) + h fn+1,en+1ien+1, то h fn+1,en+1i = En( fn+1). Поэтому, принимая во внимание нормированность k fnk = 1, получаем:

67

Осталось применить теорему Бари из пункта 2.7 и учесть определение 43 того же пункта.

3) ) 2). Пусть fgng∞n=1 – биортогональная система к f fng∞n=1. Согласно замечанию 10 пункта 2.7 система fgng∞n=1 квадратически близка к тому же самому ортонормированному базису, что и f fng∞n=1, откуда

∞

∑ k fn gnk2 < ∞.

n=1

По следствию 6 имеем

En( fn+1) = sup jh fn+1,gij h fn+1,kgn+1k 1gn+1i = kgn+1k 1.

g2S\Fn?

Так как k fnk = 1, то kgnk 1 и поэтому

1 En( fn+1) 1 kg 1 k kgn+1k 1 kgn+1k2 1 = k fn+1 gn+1k2,

n+1

откуда следует сходимость ряда 2).

Замечание 14. Для базиса f fng∞n=1 H уклонение частных сумм базисного разложения от вектора f 2H

En( f ) k f Sn f k CEn( f ), n = 1,2,...,

совпадает с наилучшим приближением по порядку стремления к нулю (см. доказательство теоремы Банаха о равномерной ограниченности частных сумм базисного разложения).

3.3. Задача представления

Одной из классических задач математического анализа является следующая задача представления функций рядами по элементам заданной последовательности функций.

Задача 1. Даны класс функций F и последовательность функций f fng∞n=1. Найти для каждой функции f 2 F числовую последовательность (cn) такую, что справедливо представление

∞

f = ∑ cn fn.

n=1

68

Рассуждая о таком представлении, мы предполагаем, что класс функций F снабжен некоторой топологией, позволяющей говорить о сходимости ряда

Далее, искомая числовая последовательность (cn) зависит от функции f 2F, т.е. cn = cn( f ), n = 1,2,... , и при этом положительное решение задачи 1 заключается в следующем утверждении:

∞

8 f 2F 9(cn) f = ∑ cn fn,

n=1

которое является типичной «теоремой существования» и оставляет открытыми вопросы о эффективном вычислении cn = cn( f ) и свойствах этой зависимости. Наконец, во избежание неопределенности мы полагаем, что

n=1

Фундаментальная роль задачи представления 1 определяется ее широкой областью применения к решению математических и прикладных задач. Проиллюстрируем сказанное следующей общей задачей теоретического характера.

Задача 2. Пусть P – некоторое свойство функции f . Требуется доказать, что каждая функция f из класса F обладает свойством P (для всех f 2F имеем P( f )).

Предположим, что последовательность функций f fng∞n=1 F такова, что справедливы следующие утверждения:

1) f fng∞n=1 – представляющая система в F;

2)P( fn) имеет место для всех n = 1,2,... ;

3)свойство P линейно инвариантно:

P( f ) ^P(g) =) P(λ f + µg);

4) свойство P наследуется предельной функцией: если P(gn), n =

= 1,2,... , и g = limn!∞ gn, то P(g).

Нетрудно видеть, что при выполнении 1)–4) имеем P( f ) для всех f 2F. Таким образом, задача 2 может быть сведена к задаче 1.

69

Пример 11. Пусть F – класс аналитических функций f (z) в круге fz 2 2C : jz z0j < rg. Пусть, далее, свойство P( f ) заключается в том, что функция f (z) имеет производные f (n)(z) любого порядка n = 1,2,... . Как из-

В дальнейшем мы будем иметь дело с наиболее простым, но в то же время весьма показательным случаем, когда F = H – гильбертово про-

странство. В этом случае, представление f = ∑∞n=1 cn fn означает, что k f

∑nk=1 ck fkk ! 0 при n ! ∞.

ся единственности коэффициентов представления (cn). Столь же очевидно, что всякая представляющая система является полной. Обратное не верно:

ческие функции f . Несмотря на приведенный пример, имеется глубокая связь между представляющими системами и их аппроксимативными свойствами, которую утверждает следующая теорема (ее доказательство будет получено позже как частный случай более общего результата).

Теорема 27. Для того чтобы последовательность f fng∞n=1 была представляющей системой в H, необходимо и достаточно, чтобы при некотором C > 0 для всех f 2 H и всех ε > 0 существовал многочлен p = ∑nk=1 ck fk такой, что k f pk < ε и при этом

3.4. Представляющие системы и фреймы

Пусть X – банахово пространство последовательностей x = (ξn) та-

кое, что fδng∞n=1 – базис в X (по-прежнему, δi = (δi j), где δi j – символ Кронекера). Так как каждый ограниченный линейный функционал L на

пространстве X однозначно определяется своими значениями L(δn), n = = 1,2,... , на элементах базиса, то сопряженное пространство X допускает реализацию в виде пространства последовательностей Y = X . При этом принадлежность y 2Y , y = (ηn), равносильна конечности нормы

70