Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

Диагональная последовательность fx (ν) g∞=1 обладает тем свойством,

nν ν

что (hxn,xn(νν) iH )ν2N сходится для всех n = 1,2,... , поскольку каждое xn(νν) при ν n содержится в n-й последовательности. В таком случае для всех x 2 [xn] числовая последовательность (hx,xn(νν) iH )ν2N сходится. Если же x 2

2[xn]?, то hx,xn(νν) iH = 0, ν2N, что не нарушает сходимости. Следовательно, вообще для всех векторов h 2H существует предел

L(h) = lim hh,x (ν) iH .

ν!∞ nν

Ясно, что L – линейный функционал на H. Оценка

jL(h)j sup kxn(ν) kH khkH CkhkH

ν2N ν

показывает, что L 2H . По теореме о представлении ограниченного линейного функционала на гильбертовом пространстве, имеем L(h) = hh,xiH для некоторого x 2H. Это означает, что xn(νν) ! x слабо при ν ! ∞.

2.4. Резольвента и спектр

Пусть T : H ! H – ограниченный линейный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H.

Определение 36. Резольвентой оператора T называется оператор Rλ = = (λI T ) 1, λ 2C, если он существует.

Резольвентным множеством оператора T называется множество всех комплексных чисел λ, для которых оператор λI T обратим.

Дополнение резольвентного множества называется спектром оператора T и обозначается σ(T ).

Заметим, что существование Rλ означает обратимость оператора λIT в том смысле, что λI T является изоморфизмом H на себя, т.е. Rλ ограничен и всюду определен.

Умножая равенство (λI T ) (µI T ) = (λ µ)I слева на Rλ и справа на Rµ, получаем тождество Гильберта

Rµ Rλ = (λ µ)RλRµ.

Теорема 17. Спектр σ(T ) оператора T является непустым ограниченным замкнутым подмножеством комплексной плоскости C.

41

умножим справа на Rλ0 :

(λI T )Rλ0 = I + (λ λ0)Rλ0 .

Этот оператор обратим, если jλ λ0j < kRλ kH1!H , а вместе с ним обратим

иоператор λI T . Таким образом, Rλ существует для всех λ из некоторой окрестности точки λ0. Это означает, что резольвентное множество открыто

ипоэтому спектр σ(T ) замкнут. 0

Если σ(T ) = 0/, то оператор-функция Rλ определена во всей комплексной плоскости и в силу тождества Гильберта имеет производную dzd Rλ =

= R2λ, т.е. Rλ представляет собой целую функцию, ограниченную во всей комплексной плоскости, поскольку kRλkH!H ! 0 при λ ! ∞. По теореме Лиувилля Rλ является постоянной оператор-функцией, при этом Rλ = 0, что невозможно. Следовательно, спектр σ(T ) непуст.

Следствие 4. Спектр самосопряженного оператора вещественный и ле-

жит в отрезке σ(T ) [ M,M], где M = kT kH!H .

Если AI T BI, то σ(T ) [A,B].

Доказательство. Рассмотрим пару комплексных λ = s it, t =6 0. Вычислим

k(λI T )hk2H = jλj2khk2H 2 Re λhT h,hiH + kT hk2H =

= (s2 + t2)khkH2 2shT h,hiH + kT hk2H = k(sI T )hk2H + t2khk2H ,

42

откуда k(λI T )hkH jtjkhkH , т.е. в паре λI T оба оператора инъекции. Сопряженные операторы λI T образуют ту же самую пару сюръекций. В итоге оба оператора обратимы и λ 2/ σ(T ). Вещественность спектра доказана. Если jλj > M, то λ принадлежит резольвентному множеству.

Пусть T 0 и λ > 0. Тогда

λkhk2H h(λI + T )h,hiH k(λI + T )hkH khkH .

Поэтому λI + T – инъекция и по следствию 3 она обратима, т.е. λ принадлежит резольвентному множеству и σ(T ) [0,+∞).

Если T AI 0, то σ(T AI) [0,+∞), откуда σ(T ) [A,+∞). Если BI T 0, то σ(BI T ) [0,+∞), откуда σ(T ) ( ∞,B].

2.5. Операторы Гильберта–Шмидта

Пусть измеримая функция K(s,t), a s,t b, удовлетворяет условию

wbwb

jK(s,t)j2 dsdt < ∞.

a a

Интегральный оператор

wb

K f (s) = K(s,t) f (t) dt, a s b.

a

называется оператором Гильберта–Шмидта с ядром K(s,t).

Лемма 4. Оператор K : L2[a,b] ! L2[a,b] корректно определен и является ограниченным линейным оператором. Если ядро K(s,t) симметрично:

K(s,t) = K(t,s), a s,t b,

то оператор K самосопряженный.

Доказательство. Во-первых, по теореме Фубини для почти всех s 2 [a,b] функция K(s, ) 2 L2[a,b], поэтому K f (s) определено и по неравенству Шварца

43

Отсюда

Применяя теорему Фубини снова, находим

wb wb

hK f ,giL2 = K(s,t) f (t) dt g(s) ds =

aa

wb wb

= f (t) K(s,t)g(s) ds dt = h f ,K giL2 ,

aa

где сопряженный оператор K имеет вид:

wb

K g(t) = K(s,t)g(s) ds.

a

Из симметричности ядра следует равенство K = K.

Теорема 18. Оператор Гильберта–Шмидта K : L2[a,b] ! L2[a,b] является компактным.

wbwb wb wb

ei1 (s)ei2 (t)ej1 (s)ej2 (t) dsdt = ei1 (s)ej1 (s) ds ei2 (t)ej2 (t) ds = δi1 j1 δi2 j2 .

a a a a

44

Если для всех n1,n2 2N имеем

a

Для t 2[a,b]nZ∞t и таких, что f ( ,t)2L2[a,b], а такое множество снова имеет

вид [a,b] nZt , где Zt нуль-множество, в силу полноты системы fen1 (s)gn12N имеем f (s,t) = 0 для всех s 2[a,b] nZs(t), где Zs(t) – нуль-множество (зави-

сящее от t). Таким образом, равенство f (s,t) = 0 может нарушаться лишь на множестве

Z = f(s,t) : t 2Zt ,s 2Zs(t)g,

плоская мера которого по теореме Фубини равна нулю: x w w

jZj = dsdt = ds dt = 0.

ZZt Zs(t)

Витоге f (s,t) = 0 п.в. и тем самым fen1 (s) en2 (t)gn1,n22N образует ортонормированный базис пространства L2([a,b] [a,b]).

Разложим ядро K(s,t) в ряд Фурье

45

для соответствующих этим ядрам интегральных операторов. Каждый оператор

По определению, K : L2[a,b] ! L2[a,b] – компактный оператор.

2.6. Спектральная теорема для компактных операторов

Основной задачей данного пункта является доказательство следующей теоремы, которая называется «Спектральная теорема для компактных операторов в гильбертовых пространствах».

Теорема 19. Пусть H1,H2 – гильбертовы пространства и K : H1 ! H2 – компактный оператор. Тогда существуют:

1)ортонормированные последовательности fung∞n=1 H1 и fvng∞n=1

H2 такие, что [un] = (ker K)? и [vn] = cl im K;

2) положительные числа (sn) такие, что s1 s2 ... sn ...

и limn!∞ sn = 0;

для которых справедливо представление1

∞

Kh = ∑ snhh,uniH1 vn, h 2H1.

n=1

Для доказательства спектральной теоремы для компактных операторов нам потребуется ряд подготовительных утверждений, кроме того, в результате мы докажем эквивалентность следующих трех условий компактности оператора в гильбертовых пространствах.

Теорема 20 (о эквивалентности определений компактного оператора в гильбертовых пространствах). Пусть H1,H2 – гильбертовы простран-

ства и K : H1 ! H2 – ограниченный линейный оператор. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1Данное представление, как и утверждения 1), 2), справедливы при дополнительном предположении о том, что оператор K не является конечномерным. В ситуации конечномерного оператора K, очевидно, существуют конечные последовательности fungNn=1, fvngNn=1, (sn)Nn=1 с заявленными свойствами (кроме условия limn!∞ sn = 0, которое следует исключить) и при этом соответствующее представление примет вид Kh = ∑Nn=1 snhh,uniH1 vn.

46

(C1) оператор K аппроксимируется конечномерными операторами, т.е. limn!∞ kK KnkH1!H2 = 0 для некоторой последовательности ограниченных конечномерных операторов Kn : H1 ! H2, n = 1,2,... ;

(C2) оператор K переводит всякое ограниченное множество во вполне ограниченное;

(C3) оператор K переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся последовательность.

Замечание 5. Доказательство импликации (C3) ) (C1) мы отложим до конца этого пункта. С этого момента мы будем понимать «компактность» оператора в смысле наиболее слабого условия (C3), так что все полученные утверждения автоматически сохранят свою силу и для «компактности» в смыcле (C2) и (C1).

Замечание 6. Заметим также, что импликации (C1) ) (C2) ) (C3), как видно из их доказательства, верны для операторов в банаховых пространствах. При этом обратная импликация (C2) ) (C1) верна для банаховых пространств, обладающих аппроксимативным свойством. Импликация (C3) ) (C2) верна в рефлексивных банаховых пространствах.

Лемма 5. Пусть самосопряженный оператор K : H ! H удовлетворяет условию (C3), причем K =6 0. Тогда оператор K имеет по крайней мере один собственный вектор, отвечающий ненулевому собственному значению.

Доказательство. Рассмотрим форму Q(x) = hKx,xiH , x 2H, ассоциированную с оператором K. Пусть S = fx 2 H : kxkH = 1g – единичная сфера в H. Докажем, что функция jQ(x)j, x 2 S, достигает своего наибольшего

47

jhKx,xiH hKxnk ,xnk iH j = jhKx Kxnk ,xnk iH + hKx,x xnk iH j

kKx Kxnk kH kxnk kH + jhKx,x xnk iH j ! 0,

поскольку kKx Kxnk kH ! 0 по условию (C3). Поэтому Q(xnk ) ! Q(x), зна-

чит, jQ(x)j = M. Из равенства kxnk kH = 1 следует, что kxkH 1. Если бы kxkH < 1, то jQ(x/kxkH )j > M, так что kxkH = 1. В итоге в точке e = x

достигается максимум

x для всех x 2S, ортогональных e. Это означает, что Ke = λe, причем jλj = = jhKe,eiH j = jQ(e)j = M = kKkH!H > 0. Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть оператор K : H ! H удовлетворяет условию (C3). Тогда для каждого ненулевого собственного значения λ оператора K подпространство Hλ = ker(λI K) имеет конечную размерность.

Доказательство. Подпространство Hλ состоит в точности из всех собственных векторов (и нулевого вектора), отвечающих собственному значению λ:

Hλ = fx 2H : Kx = λxg.

Предположим противное: dim Hλ = ∞. Тогда существует ортонормированная последовательность feng∞n=1 Hλ. Поскольку en ! 0 слабо, то ввиду

(C3), Ken ! 0 сильно. Так как Ken = λen и λ =6 0, то en ! 0 сильно, что не верно.

48

Следующую теорему называют также «Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве». Формально, теорема 19 является ее обобщением, но, как мы увидим, непосредственно следует из нее.

Теорема Гильберта–Шмидта. Для всякого компактного2 самосопряженного оператора K : H ! H в гильбертовом пространстве H существует ортонормированный базис feng в подпространстве (ker K)?, состоящий из собственных векторов оператора K, отвечающих ненулевым собственным значениям (λn) R. При этом справедливо представление

=60. По лемме 5 существует собственный вектор e, отвечающий ненулевому собственному значению λ1. Апеллируя к доказательству леммы 5, заметим,

= jQ(e)j = kKkH!H . По лемме 6 подпространство Hλ1 = ker(λ1I K) имеет конечную размерность. В таком случае мы можем дополнить вектор e до

сужение K ненулевое. Условие (C3) и свойство самосопряженности, очевидно, наследуются при сужении оператора на его инвариантное подпространство. Следовательно, мы можем повторить наши рассуждения. Именно,

2Компактность можно понимать в смысле любого из определений (C1), (C2) или (C3). При доказательстве фактически будет использовано наиболее слабое из них условие (C3).

49

что jλ2j jλ1j, λ2 =6 λ1. Подпространство Hλ2 = ker(λ2I K) имеет конечную

размерность, и мы можем дополнить вектор e до ортонормированного ба-

и (Hλ1 Hλ2 )? = ker K, т.е. все доказано. Иначе сужение ненулевое и мы можем продолжить построение.

Таким образом, либо процесс остановится на k-м шаге и мы получим искомое представление

либо процесс продолжается неограниченно. В последнем случае существует счетная последовательность ненулевых собственных значений (λk)R (спектр самосопряженного оператора вещественный по следствию 4)

и счетный набор ортонормированных базисов e(1k),..., e(nkk) подпространств Hλk = ker(λkI K), которые попарно ортогональны. Запишем счетный набор конечных базисов в единую последовательность feng∞n=1, которая ортонормирована ввиду попарной ортогональности Hλk . Далее переобозначим последовательность собственных значений «с учетом их кратностей»:

50