Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

Определение 47. Скажем, что последовательность f fng∞n=1 H n f0g является фреймом в гильбертовом пространстве H относительно банахова пространства последовательностей X, если существуют такие постоянные 0 < A B < ∞, что для всех g 2H выполняются неравенства

AkgkH k(h fn,giH )n2NkY BkgkH .

Последние неравенства будем называть фреймовыми неравенствами,

а постоянные A и B – нижней и верхней границей фрейма f fng∞n=1.

Предложение 9. Для того чтобы последовательность f fng∞n=1 H n f0g была фреймом в H относительно X, необходимо и достаточно выполнение следующих двух условий:

1) для всех x = (ξn) 2X ряд ∑∞n=1 ξn fn сходится в H;

2) для всех f 2 H существует x = (ξn) 2 X такой, что справедливо представление ∑∞n=1 ξn fn.

Доказательство. Пусть f fng∞n=1 – фрейм в H относительно X. По определению, корректно задан оператор анализа R : H ! Y , действующий по правилу

Rg = (h fn,giH )n2N, g 2H,

причем верхнее фреймовое неравенство показывает, что оператор анализа R ограничен, а нижнее фреймовое неравенство означает, что R – инъекция.

Рассмотрим оператор S0 : X0 ! H, заданный на множестве X0 X всех финитных последовательностей x = (ξn) равенством S0x = ∑ξn fn. Поскольку

kS0xkH = sup jhS0x,giH j =

kgkH 1

и, кроме того, X0 всюду плотно в X (так как fδng∞n=1 базис в X), то оператор S0 единственным образом продолжается по непрерывности до ограниченного линейного оператора S : X ! H, который действует по правилу

∞

Sx = ∑ ξn fn, x = (ξn) 2X,

n=1

и называется оператором синтеза. Так как

∞

hSx,giH = ∑ ξnh fn,giH = hx,Rgi,

n=1

71

то S = R, т.е. оператор анализа R : H !Y является сопряженным к оператору синтеза S : X ! H. По теореме 8, пункт 1.9 оператор синтеза S является сюръекцией. В итоге выполнены условия 1) и 2).

Обратно, пусть выполнены условия 1) и 2). Из 1) следует, что оператор синтеза S : X ! H корректно определен, причем

Операторы Sn : X ! H, n = 1,2,... , ограничены:

n=1,2,...

По принципу равномерной ограниченности Банаха–Штейнгауза

sup kSnkX!H < ∞.

n=1,2,...

Следовательно, S : X ! H – ограниченный линейный оператор. Из условия 2) следует, что S – сюръекция. Снова применяя теорему 8, пункт 1.9, получаем, что S : H ! Y – инъекция. Как мы уже видели, что S g = = Rg = (h fn,giH )n2N. Таким образом, при некотором A > 0 и B = kSkX!H выполняются неравенства

AkgkH kRgkY BkgkH .

Это означает, что f fng∞n=1 – фрейм в H относительно X.

Замечание 16. Установленное предложение 9 показывает, что всякий фрейм является представляющей системой. Верно и обратное: всякая представляющая система является фреймом относительно по крайней мере одного пространства последовательностей X, но в отличие от базиса такое пространство X определяется, вообще говоря, не единственным образом.

72

3.5. Приближение с ограничениями на величины коэффициентов многочленов и фреймы

Определение 48. Скажем, что последовательность f fng∞n=1 H является системой Бесселя в H относительно X, если существует постоянная B > 0 такая, что для всех x = (ξn) 2X выполняется неравенство

b) f fng∞n=1 – система Бесселя в H относительно X.

Доказательство. Необходимость. Как было установлено при доказательстве предложения 9, ассоциированный с фреймом оператор синтеза S : X ! H является сюръекцией. По теореме об открытом отображении, найдется C1 > 0 такая, что для всех f 2 H существует x = (ξn) 2 X, для

которого f = Sx и kxkX C1k f kH . Если p = ∑nk=1 ξk fk, то при достаточно большом n имеем k f pkH < ε. При этом по теореме Банаха о равномерной

ограниченности частных сумм базисного разложения

Таким образом, выполняется условие a). Условие b) означает ограниченность оператора синтеза S, что следует из доказательства предложения 9.

Достаточность. Условие b) означает ограниченность оператора синтеза S : X ! H, определяемого равенством Sx = ∑∞n=1 ξn fn. Требуется доказать сюръективность оператора S, откуда будет следовать инъективность сопряженного оператора S : H ! Y , совпадающего с оператором анализа R : H ! Y , определяемого равенством Rg = (h fn,giH ), что означает выполнение фреймовых неравенств AkgkH kRgkY BkgkH .

Пусть f 2H. Последовательно применяя условие a), найдем многочлены pn = Sxn, n = 1,2,... , для которых

k f p1 ... pnkH < 2 n, kxnkX Ck f p1 ... pn 1kH .

73

Тогда ∑∞n=1 kxnkX < ∞, откуда x = ∑∞n=1 xn = x 2X и Sx = ∑∞n=1 pn = f .

Доказательство теоремы 27. Точно так же, как при доказательстве теоремы Банаха о равномерной ограниченности частных сумм базисного разложения, рассмотрим пространство коэффициентов X = X(f fng∞n=1), состоящее из всех числовых последовательностей x = (ξn), для которых сходится ряд ∑∞n=1 ξn fn, снабженное нормой

Как было показано, X – банахово пространство. Установим, что fδng∞n=1 – базис в X.

Пусть x = (ξn) 2 X. Ясно, что числовая последовательность x∑nk=1 ξkδk имеет вид (0,..., 0,ξn+1,ξn+2,... ). Поэтому

n = 1,2,... , ограничены:

Отсюда ξj = Lj(x) = ∑∞i=1 ξ0iLj(δi) = ∑∞i=1 ξ0iδi j = ξ0j для всех j = 1,2,... . Таким образом, установлена базисность последовательности fδng∞n=1 в X.

Теперь заметим, что f fng∞n=1 является системой Бесселя в H относительно своего пространства коэффициентов X. В самом деле,

Кроме того, для каждого многочлена p = ∑nk=1 ck fk, аппроксимирующего f , т.е. k f pkH < ε, ограничение

74

3.6. Фреймы Даффина–Шеффера

Определение 49. Последовательность f fng∞n=1 H nf0g называется фреймом Даффина–Шеффера, если существуют постоянные 0 < A B < ∞ такие, что для всех f 2H выполняются неравенства

Таким образом, фрейм Даффина–Шеффера – это фрейм в гильберто-

вом пространстве H относительно пространства последовательностей X =

= Y = ℓ2.

из H0 на H. Тогда fn = P fn0, n = 1,2,... , – фрейм Даффина–Шеффера. В самом деле, для всех f 2H имеем P f = f и поэтому

Последняя сумма B2k f k2H и Ak f k2H по теореме 22, пункт 2.7.

Операторы анализа и синтеза R : H ! ℓ2 и S : ℓ2 ! H определяются равенствами

R f = (h f , fniH )n2N, f 2H,

∞

Sx = ∑ ξn fn, x = (ξn) 2ℓ2,

n=1

и являются сопряженными друг к другу (в смысле гильбертовых пространств):

75

Оператор T = SR действует по правилу

и называется фреймовым оператором.

Предложение 10. Имеют место следующие утверждения:

(i)T – положительный самосопряженный оператор;

(ii)спектр σ(T ) [A2,B2];

(iii)T – изоморфизм пространства H на себя.

Доказательство. Во-первых, имеем T = (SR) = R S = SR = T . Во-вто-

рых, имеем hT f , f iH = ∑∞n=1 jh f , fniH j2, откуда A2k f k2H hT f , f iH B2k f k2H , т.е. A2I T B2I. Так что T – положительный самосопряженный оператор

и σ(T ) [A2,B2]. В частности, 0 2/ σ(T ) и поэтому T изоморфизм.

Теорема 29. Пусть f fng∞n=1 – фрейм Даффина–Шеффера в пространстве H. Тогда последовательность gn = T 1 fn, n = 1,2,... , также является фреймом Даффина–Шеффера в H. При этом для всех f 2H справедливы разложения

Доказательство. Начнем с проверки справедливости разложений:

Применяя к первому из них оператор T 1, находим:

∞

T 1 f = ∑h f ,gniH gn,

n=1

откуда

∞

hT 1 f , f iH = ∑ jh f ,gniH j2.

n=1

76

С другой стороны, σ(T ) [A2,B2] и поэтому σ(T 1) [B 2,A 2] (надо

учесть непосредственно проверяемое равенство Rλ 1 (T 1) = λT Rλ(T ), из которого следует σ(T 1) = fλ 1 : λ 2σ(T )g). Тогда

B 2k f k2H hT 1 f , f iH A 2k f k2H ,

и в итоге выполняются неравенства

которые означают, что fgng∞n=1 – фрейм Даффина–Шеффера в H.

Определение 50. Фрейм gn = T 1 fn, n = 1,2,... , называется каноническим дуальным фреймом к фрейму Даффина–Шеффера f fng∞n=1.

Теорема (свойство минимальности коэффициентов разложения по фрейму). Пусть f fng∞n=1 – фрейм Даффина–Шеффера в пространстве H. Тогда среди всех возможных представлений вектора f 2H

∞

f = ∑ ck fk

n=1

разложение с использованием коэффициентов по каноническому дуальному фрейму

Доказательство. Пусть R, S и T – операторы анализа, оператор синтеза и фреймовый оператор, ассоциированные с каноническим дуальным фрей-

e = = e .

SR I SR

77

Если ∑∞n=1 jcnj2 = ∞, то доказывать нечего. Пусть поэтому c = (cn) 2ℓ2. Тогда c = a + b, где a 2M и b 2N. Для вектора a найдется f 0 2H такой, что

Теорема 30. Пусть f fng∞n=1 – фрейм Даффина–Шеффера в пространстве H. Тогда существуют:

1)объемлющее гильбертово пространство H0, которое содержит исходное пространство H в качестве своего замкнутого подпространства;

2)базис Рисса f fn0g∞n=1 H в пространстве H0;

такие, что

fn = P fn0, n = 1,2,...,

где P : H0 ! H0 – ортопроектор из H0 на H.

Доказательство. Обозначим M = im R образ оператора анализа и N = ker S ядро оператора синтеза. Поскольку R инъекция, то M – замкнутое подпространство и справедливо разложение ℓ2 = M N. Для вектора x 2 ℓ2 обозначим через xM и xN его ортогональные проекции на M и N соответственно. Рассмотрим декартово произведение H0 = H N, состоящее из всех упорядоченных пар ( f ,x0), где f 2 H и x0 2 N (т.е. Sx0 = 0). Ясно, что H0 имеет естественную структуру линейного пространства. Снабдим H0 скалярным произведением

h( f ,x0),(g,y0)iH0 = h f ,giH + hx0,y0iℓ2 .

Ассоциированная с этим скалярным произведением норма имеет вид

откуда следует полнота пространства H0. Следовательно, H0 – гильбертово пространство. Замкнутое подпространство в H0, состоящее из всех пар вида ( f ,0), где f 2H, отождествим с исходным пространством H.

Определим оператор S0 : ℓ2 ! H0 посредством равенства

78

+x0) = ( f ,x0). Кроме того, если S0x = 0, то SxM = 0 и xN = 0, откуда x = 0.

Витоге S0 – биекция и по теореме Банаха об обратном операторе, S0 –

изоморфизм.

Теперь рассмотрим последовательность fn0 = S0δn, n = 1,2,... . Так как fδng∞n=1 – ортонормированный базис в ℓ2 и S0 – изоморфизм ℓ2 на H0, то нетрудно видеть, что f fn0g∞n=1 – базис Рисса в H0. По построению, P fn0 =

= P(S(δn)M,(δn)N ) = S(δn)M = Sδn = fn для всех n.

Замечание 17. В доказательстве предыдущей теоремы вместо оператора S0 можно рассмотреть оператор более общего вида

S0x = (Sx,Qx), x 2X,

где Q : ℓ2 ! N, что позволяет наделить базис Рисса f fn0g∞n=1 дополнительными свойствами. Например, пусть A = B = 1 для фрейма Даффина–Шеффера f fng∞n=1 (такой фрейм называется фреймом Парсеваля). Можно показать,

Это утверждение является простейшим частным случаем дилатационной теоремы Наймарка о неортогональных разложениях единицы.

Замечание 18. Практически «любой» факт о фреймах Даффина–Шеффера можно вывести из рассмотрения следующей диаграммы. Ее правый квадрат составляет содержание теоремы 30, а левый – получается переходом к сопряженным операторам.

Здесь использованы следующие обозначения:

79