Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2026

Размер:

436 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Значит, jQ(x)j jλkj ! 0, т.е. Q(x) = 0. Отсюда и по предложению 7 получаем

kKk[en]?![en]? = sup jQ(x)j = 0.

x2S\[en]?

Следовательно, [en]? = ker K и [en] = (ker K)?. Это означает, что для любого x 2H справедливо представление

∞

x = x0 + ∑hx,eniH en, x0 2ker K.

n=1

Окончательно находим

∞

Kx = ∑ λ0nhx,eniH en.

n=1

Теорема Гильберта–Шмидта доказана.

Доказательство теоремы 19. Пусть K : H1 ! H2 – компактный оператор (в смысле определения (C3)) и K : H2 ! H1 – сопряженный оператор к K. Рассмотрим оператор K K : H1 ! H1. Оператор K K самосопряженный:

hK Kx,yiH1 = hKx,KyiH2 = hx,K KyiH1 ,

положительный:

hK Kx,xiH1 = hKx,KxiH2 0,

и удовлетворяет условию (C3):

x =

w- limn!∞

Kx = lim Kx

K Kx = lim K Kx

n )

∞

n )

∞

При этом ker(K K) = ker K. В самом деле,

если K Kx = 0, то kKxkH2 2 =

= hK Kx,xiH1

= 0, т.е. Kx = 0, и, наоборот, если Kx = 0,

то K Kx = 0.

По теореме Гильберта–Шмидта существует ортонормированный базис

feng в подпространстве (ker(K K))? = (ker K)? такой,

что K Ken = λnen,

λn > 0 (ввиду положительности оператора K K). Для каждого n положим

sn = p

vn = sn 1Ken.

λn

un = en,

Последовательность fvng является ортонормированной, поскольку

hvi,vjiH2 = si 1sj 1hKei,KejiH2 = si 1sj 1hK Kei,ejiH1 = si 1sj 1λiδi j = δi j.

Из равенства H1 = ker K [en] следует равенство im K = K([en]) и cl im K = = [Ken] = [vn]. Далее, действуя оператором K на справедливое для любого x 2H1 представление

x = x0 + ∑hx,eniH1 en,	x0 2ker K,
находим искомое представление

Kx = ∑hx,eniH1 Ken = ∑snhx,uniH1 vn.

Если feng∞n=1 – счетная последовательность, то λn ! 0 и sn ! 0. Наконец, мы можем считать, что s1 s2 ... sn ..., за счет соответствующей перестановки feσ(n)g∞n=1, где σ – взаимнооднозначное отображение N на себя (либо вспомнив, что λ1 λ2 ... λn ... в доказательстве теоремы Гильберта–Шмидта).

Доказательство импликации (C3) ) (C1) теоремы 20. В предположении

(C3) верно утверждение теоремы 19. Требуется доказать, что оператор K : H1 ! H2, удовлетворяющий (C3), аппроксимируется конечномерными операторами.

Если оператор K сам конечномерен, то доказывать нечего. Если K не является конечномерным, то по теореме 19 справедливо представление

∞

h 2H1.

Kh = ∑ snhh,uniH1 vn,

n=1

Тогда последовательность конечномерных операторов

h 2H1,

Knh = ∑ skhh,ukiH1 vk,

n = 1,2,...,

k=1

будет искомой,

так как для всех h 2H1

kKh KnhkH2 2

∞

k=∑n+1 skhh,ukiH1 vk

= k=∑n+1 sk2jhh,ukiH1 j2

sup s2

∑ jh

h,u

kiH1 j

sup s2

2 ,

k k

kH1

k>n

k=n+1

k>n

откуда kK KnkH1!H2 supk>n sk ! 0. Теорема 20 полностью доказана.

Теорема о минимаксимальном свойстве собственных чисел. Пусть K –

положительный самосопряженный компактный оператор в гильбертовом пространстве H. Тогда для последовательности его собственных значений, расположенных в невозрастающем порядке с учетом их кратностей

λ1 λ2 ... λn ...,

имеют место равенства

λn+1	= min max	Kh,h	iH	,	n = 0,1,...,
λn+1	Hn h2S\Hn?h		iH

где минимум берется по всем подпространствам Hn размерности dim Hn =

= n.

Доказательство. Пусть Ken = λnen, n = 1,2,... , для ортонормированного базиса feng∞n=1. Пусть, далее, Hn – произвольное подпространство размер-

ности dim Hn = n. Выберем вектор h0 = ∑nk=+11 ckek так, чтобы h0 2 S \ Hn?. Очевидно, что

max

Kh,h

0iH h2S\Hn?h

В то же время имеем

n+1

Kh0,h0

H =

∑ λkckek, ∑ ckek

= ∑

λk

λn+1.

k=1

Поэтому λn+1 minHn maxh2S\Hn? hKh,hiH . Теперь возьмем Hn = [ek : 1 k
n] и произвольный вектор h 2S \Hn?, который имеет видeh = ∑k∞=n+1 ckek.
Тогда			∞	∞ e	∞
hKh,hiH = k=∑n+1 λkckek,k=∑n+1 ckek H = k=∑n+1 λkjckj2 λn+1,
откуда maxh	2	S	Hn? hKh,hiH = λn+1.
	2		\ e

2.7. Базисы

Определение 37. Последовательность f fng∞n=1 H называется базисом в гильбертовом пространстве H, если для всех f 2H существует и притом единственная последовательность коэффициентов (cn) такая, что f =

= ∑∞n=1 cn fn.

Определение 38. Последовательность fgng∞n=1 H называется биортогональной к f fng∞n=1 H, если h fi,gjiH = δi j, где δi j – символ Кронекера. Ряд ∑∞n=1h f ,gniH fn называется биортогональным разложением вектора f 2 H. Частные суммы Sn f = ∑nk=1h f ,gkiH fk, n = 1,2,..., биортогонального ряда определяют операторы Sn : H ! H.

Следующий критерий базиса называется «Теорема Банаха о равномерной ограниченности частных сумм базисного разложения».

Теорема 21. Для того чтобы последовательность f fng∞n=1 H была базисом в H, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)f fng∞n=1 – полная последовательность в H, т.е. из условия h fn,giH =

=0 для всех n = 1,2,... следует, что g = 0;

существует биортогональная

∞

последовательность

fgngn∞=1;

ngn=1

3) операторы частных сумм равномерно ограничены:

C = sup

nkH!H

∞

n=1,2,... k

Доказательство. Необходимость.

∞

= 0 для всех n = 1,2,... .

Пусть

Тогда для всех f 2H имеем h f ,giH = ∑n=1 cnh fn,giH

= 0, откуда g = 0.

2’)

Функционалы Ln( f ) = cn, ставящие в соответствие вектору f 2 H

его n-й коэффициент базисного разложения, очевидно, являются линей-

ными. При этом Lj( fi) = δi j, так как

fi = ∑∞j=1 δi j f j. Также имеем Sn f =

= ∑kn=1 Lk( f ) fk. Ограниченность функционалов Ln

проверим на этапе 2”)

после доказательства условия 3).

X = X(

∞

)

всех чис-

3) Рассмотрим пространство

состоящее из

ngn=1

∞

ловых последовательностей x = (ξn),

для которых сходится ряд ∑n=1 ξn fn.

Снабдим пространство X нормой

X = sup

∑ ξk fk

k k

n=1,2,... k=1

Установим полноту пространства X. Пусть x(m) = (ξ(nm)), m = 1,2,... , – фундаментальная последовательность в X. Это означает, что

ε > 0

m0, p

1,n

∑(ξk(m+p)

ξk(m)) fk

< ε.

k=1

Во-первых, отсюда следует, что для всех n

∑(ξk(m+p)

n 1

ξn(m+p)

ξn(m)

ξk(m)) fk

k=1

(m+p)

(m)

2ε

∑

(ξk

ξk ) fk

k=1

(m)

т.е. числовая последовательность (ξn

)m2N является фундаментальной.

Пусть ξn = limm!∞ ξn(m),

n = 1,2,... , и x = (ξn). Во-вторых, из условия

фундаментальности fx(m)gm∞=1, при p ! ∞ находим

∑(ξk

ξk(m)) fk

ε,

n = 1,2,...,

k=1

т.е. kx x(m)kX ! 0 при m ! ∞. Наконец,					x 2 X, так
сходится по критерию Коши:
	n+p			n+p				n+p

k=∑n+1		ξk fk H	k=∑n+1(ξk ξk(m)) fk		H	+	k=∑n+1
где первое слагаемое

как ряд ∑∞n=1 ξn fn

ξ(km) fk ,

n+p

∑(ξk

ξk(m)) fk

∑(ξk

ξk(m)) fk

x(m)

2ε

k=1

за счет подходящего выбора m и второе слагаемое меньше ε при достаточно большом n в силу принадлежности x(m) 2X. Таким образом, x(m) ! x2X. Полнота пространства последовательностей X установлена.

Рассмотрим линейный оператор T : X ! H, определяемый равенством

∞

T x = ∑ ξn fn, x = (ξn) 2X.

n=1

Оператор T ограничен по определению нормы пространства X:

			∞				n
			∑				∑ ξk fk
T x	H =		∑	ξn fn		sup	∑ ξk fk		= x X .
k	k								k k
k	k	n=1			H	n=1,2,... k=1		H	k k

Поскольку f fng∞n=1 – базис в H, то T – биекция X на H. По теореме Банаха

об обратном операторе,			T 1 : H ! X ограничен, т.е.
					n
	T 1 f		X =	sup	∑ Lk( f ) fk		C	f H ,
k		k					k	k
k		k		n=1,2,... k=1		H	k	k

что показывает равномерную ограниченность частных сумм Sn, n = 1,2,... .

(

)

2”) Для всех f 2H имеем jLn

kSn f Sn 1 f kH k fnkH k f kH .

k fnkH

По теореме о представлении ограниченного линейного функционала на H

имеем Ln( f ) = h f ,gniH , где gn 2H и Lj( fi) = h fi,gjiH = δi j.

H и любого

Достаточность. Из

условия 1) следует, что для любого f

ε > 0 существует p = ∑k=1 ck fk такой,

что k f pkH < ε. Тогда для всех

n m имеем Sn p = p и поэтому

k f Sn f kH k f pkH + kSn( f p)kH < (C + 1)ε,

т.е. f = limn!∞ ∑nk=1h f ,gkiH fk = ∑∞n=1h f ,gniH fn.

ложение f = ∑∞n=1 ξn fn, то h f ,gni = ξn для всех базис в H.

Если имеется еще одно раз- n. Следовательно, f fng∞n=1 –

Определение 39. Последовательность f fng∞n=1 H называется базисом Рисса (или базисом, эквивалентным ортонормированному), если существуют:

a)изоморфизм T : H ! H гильбертова пространства H на себя;

b)ортонормированный базис feng∞n=1 гильбертова пространства H; такие, что fn = Ten для всех n = 1,2,... .

Замечание 7. Всякий базис Рисса f fng∞n=1 является базисом в H. В самом деле, последовательность gn = (T 1) en, n = 1,2,... , является биортогональной:

h fi,gjiH = hTei,(T 1) ejiH = hT 1Tei,ejiH = hei,ejiH = δi j,

и для всех f 2H справедливо разложение:

∞	∞
f = T T 1 f = T ∑hT 1 f ,eniH en = ∑h f ,gniH fn.
n=1	n=1

Кроме того, fgng∞n=1 является базисом Рисса (по отношению к изоморфизму (T 1) : H ! H) и потому базисом в H.

Теорема 22. Пусть f fng∞n=1 – последовательность ненулевых элементов гильбертова пространства H. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)f fng∞n=1 – базис Рисса;

2)f fng∞n=1 – полная последовательность в H, удовлетворяющая условию: существуют постоянные 0 < A B < ∞ такие, что для всех x = (ξn) выполняются неравенства

∞

∑

∑ ξn fn

∑

ξn

;

n=1 j

n=1

n=1 j

3) f

∞

последовательность

в H, обладающая биортогональной

ngn=1 –

∞

и удовлетворяющая условию: суще-

к ней последовательностью

fgngn=1

ствуют постоянные 0 < A B < ∞ такие, что для любого f 2H выполня-

ются неравенства

∞

∑

f , fn

H .

n=1 jh

Доказательство.

Для оператора Ten = fn,

n = 1,2,... ,

условия 1), 2) и 3)

теоремы 14 эквивалентны условиям 1), 2) и 3) доказываемой теоремы соот-

ветственно. Действительно,

из полноты f fngn∞=1 следует равенство kerT =

0 : если T f = 0, то 0 =

T f ,e

niH

f , f

откуда f = 0; и, наоборот,

∞

. Далее, существо-

равенство kerT =

имеет следствием полноту

f∞ ngn=1

вание биортогональной последовательности fgngn=1 обеспечивает равен-

ство ker T = f0g: если T f = 0, то 0 = hT f ,gniH = h f ,T gniH

= h f ,eni, откуда

f = 0. Здесь учли, что T gn = en,

так как hei,ej T gjiH = δi j h fi,gjiH = 0

для всех i = 1,2,... . Наоборот,

равенство ker T = f0g вместе с оценкой

kH k

T f

показывает,

что

im(T ) = H.

Поэтому

суще-

= e ,

n = 1,2,... .

Последовательность

∞

ствуют g

такие,

что T

ng2n=1

n∞

Кроме

того,

имеем

∞

f , f

будет биортогональной

ngn=1

∑n=1 jh

niH j

∞

= ∑n=1 jhT f ,eniH j2 = kT f kH2 k f kH2 .

Определение 40.

Говорят,

что ряд ∑n∞=1 hn

безусловно сходится к h, ес-

ли h = ∑n∞=1 hσ(n)

при любой перестановке

σ(n) его членов, определяемой

взаимнооднозначным отображением σ : N ! N множества N на себя.

Лемма Орлича. Если ряд ∑∞n=1 hn безусловно сходится в гильбертовом пространстве H, то

∞

∑ khnk2H < ∞.

n=1

Доказательство. Для каждого f 2 H числовой ряд ∑∞n=1h f ,hniH сходится при любой перестановке его членов. По теореме Римана о перестановках условного сходящегося числового ряда такой ряд сходится абсолютно. Следовательно, положительный выпуклый функционал

∞

p( f ) = ∑ jh f ,hniH j < ∞, f 2H,

n=1

всюду конечен и является точной верхней гранью ограниченных положительных выпуклых функционалов

n	n
pn( f ) = ∑ jh f ,hkiH j ∑ khkkH k f kH , f 2H, n = 1,2,....
k=1	k=1

По принципу равномерной ограниченности для выпуклых функционалов (см. теорему 4, пункт 1.5)

∞

f 2H.

∑ jh f ,hniH j Ck f kH ,

n=1

В частности, при каждом n = 1,2,...

и произвольном выборе знаков εk =

= 1, 1 k n,

выполняется неравенство

k k

∑ εkhk

sup

∑ εk

f ,hk

k=1

f H 1 k=1

При выборе

же знака, что и Re h

2 H

, имеем

того

kh1 + ε2h2k2H = kh1k2H + 2ε2 Rehh1,h2iH + kh2k2H kh1k2H + kh2k2H .

Предположим, что ε2,..., εn = 1 уже выбраны так, что

kh1 + ε2h2 + ... + εnhnk2H kh1k2H + ... + khnk2H .

Тогда при выборе εn+1 = 1 того же знака, что и

Rehh1 + ε2h2 + ... + εnhn,hn+1iH ,

мы снова получим

kh1 + ε2h2 + ... + εn+1hn+1k2H kh1 + ε2h2 + ... + εnhnk2H + khn+1k2H .

Продолжая этот процесс неограничено, для любого n будем иметь

∑ khkk2H C2.

k=1

Осталось устремить n ! ∞.

Определение 41.

Базис f

∞

безусловным, если для любо-

f 2 H

ngn=1 называется ∞

го вектора

его базисное разложение ∑n=1h f ,gniH fn безусловно схо-

дится.

Теорема Лорча.

Пусть f fngn∞=1 – последовательность элементов гильбер-

това пространства H. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(i)

∞

– базис Рисса;

gn∞ 1

– безусловный базис в H такой, что

(ii) f fngn=1

Доказательство.

0 < a k fnkH b < ∞,

n = 1,2,....

(i)

)

(ii)

. Базис Рисса f

ngn=1

∞

является безусловным, так

как он эквивалентен ортонормированному базису fengn=1, который безусло-

вен в силу неравенства Бесселя. Неравенства для норм k fnkH очевидны. (ii) ) (i). Прежде всего заметим, что из безусловности базиса f fng∞n=1

следует, что биортогональная последовательность fgng∞n=1 также является безусловным базисом. В самом деле, применяя теорему Банаха о равномерной ограниченности частных сумм базисного разложения ко всем базисам

∞

и замечая, что частные суммы S

биортогонального разложения

σ(n)gn=1

∞

по f

σ(n)gn=1 являются

сопряженными операторами к частным суммам S

fσ(n)

∞

, заключаем, что

gσ(n)

∞

разложения по базису

n=1

также является

базисом, так что fgng∞n=1 – безусловный базис. Кроме того, нормы kgnkH удовлетворяют тем же оценкам, что и нормы k fnkH , так как при дока-

зательстве теоремы 21 было установлено неравенство kgnkH 2Ck fnkH1, с другой стороны, h fn,gniH = 1, откуда kgnkH k fnkH1. Применяя лемму Орлича к безусловно сходящимся рядам

∞

f = ∑h f ,gniH fn,

f = ∑h f , fniH gn,

n=1

получаем:

∞

∑ jh f ,gniH j2k fnkH2 < ∞,

∑ jh f , fniH j2kgnkH2 < ∞,

n=1

и с учетом оценок для норм k fnkH и kgnkH :

∞

p( f ) = ∑

f ,gn

< ∞,

p0( f ) =

∑

f , fn

< ∞.

n=1 jh

На основании теоремы 4, пункт 1.5 выпуклые функционалы p, p0 ограничены и поэтому ограничены линейные операторы

∞	∞
T f = ∑h f ,gniH en,	T 0 f = ∑h f , fniH en.
n=1	n=1

Очевидно, что T fn = en и T 0gn = en, откуда h fi,T ejiH = δi j = h fi,gjiH , так что T en = gn. Следовательно, T 0T en = T 0gn = en и T T 0gn = T en = gn.

Поэтому T 0 = (T 1) , операторы обратимы и f fng∞n=1, fgng∞n=1 – базисы Рисса.

Замечание 8. Всякий базис Рисса f fng∞n=1 становится ортонормированным при замене скалярного произведения h , iH на другое скалярное произведение h , iH , топологически эквивалентное исходному. Последнее означает, что для норм k kH и k kH , определяемых скалярными произведениями, выполняются неравенства

C1khkH khkH C2khkH , h 2H,

с некоторыми постоянными C1,C2 > 0. В самом деле, если T – изоморфизм из определения 39, то, полагая

h f ,giH = h(T 1) T 1 f ,giH ,

f ,g 2H,

получаем:

h fi, f jiH = h(T 1) T 1Tei,TejiH = hei,ejiH = δi j.

Ясно, что при этом khkH = kT 1hkH khkH . Несмотря на тривиальность сделанного замечания, оно имеет важное теоретическое значение.

Определение 42. Говорят, что последовательность f fng∞n=1 квадратически близка к ортонормированному базису feng∞n=1, если

∞

∑ k fn enk2H < ∞. n=1

Теорема Бари. Пусть полная последовательность f fng∞n=1 квадратически близка к ортонормированному базису feng∞n=1.

Тогда f fng∞n=1 – базис Рисса.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор K, определяемый равенством

Ken = en fn,

n = 1,2,....

Оператор K : H ! H ограничен:

∞

∑

K f

H =

f ,en

H (en

fn)

H .

n=1h

H n=1 k

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]