Приближение многочленами и представление рядами в гильбертовом пространстве. Учебное пособие для студентов и аспирантов механико-математического факул

Определение 20. Пусть E0 – замкнутое подпространство нормированного пространства E. Классом смежности E по E0 называется множество вида q(x) = fy 2E : x y 2E0g, x 2E. Множество всех классов смежности E по E0 называется факторпространством и обозначается E/E0. Отображение q : E ! E/E0 называется факторотображением.

Факторпространство E/E0 является линейным пространством относительно операций q(x) + q(y) = q(x + y) и λq(x) = q(λx), корректность определения которых проверяется непосредственно, и снабжается нормой

Заметим, что нулевой элемент в E/E0 имеет вид q(0) = E0. Если kq(x)kE/E0 = 0, то kx x0,nkE ! 0 для некоторой последовательности x0,n 2

2E0, n = 1,2,... , и в силу замкнутости E0 имеем x 2E0, т.е. q(x) = q(0). Очевидно, что факторотображение определяет ограниченный линей-

ный оператор q : E ! E/E0, kq(x)kE/E0 kxkE , который является сюръекцией.

Предложение 2. Если пространство E является банаховым, то факторпространство E/E0 обладает тем же свойством.

Доказательство. Пусть fq(xn)g∞n=1 – фундаментальная последовательность в E/E0. Выберем подпоследовательность fq(xnk )g∞k=1 так, чтобы

По определению нормы факторпространства:

inf kxnk+1 xnk x0kE < 2 k,

x02E0

и поэтому найдется x0,k 2E0 такой, что kxnk+1 xnk x0,kkE < 2 k. Положим xn0 = 0, x0,0 = 0 и обозначим

∞

x = ∑(xnk+1 xnk x0,k)

k=0

сумму абсолютно сходящегося в E ряда (в силу полноты пространства E имеем x 2E). Частная сумма этого ряда

k 1

sk = ∑(xnk+1 xnk x0,k) = xnk (x0,1 + ... + x0,k)

j=0

21

принадлежит классу смежности q(xnk ). Следовательно,

kq(x) q(xnk )kE/E0 kx skkE ! 0, k ! ∞.

Осталось заметить, что если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность, то сама она тоже сходится.

Определение 21. Аннулятором подмножества E0 нормированного пространства E называется замкнутое подпространство

E0? = fx 2E : 8x0 2E0 x (x0) = 0g

сопряженного пространства E .

Предложение 3. Сопряженное пространство к факторпространству E/E0 изоморфно аннулятору замкнутого подпространства E0:

(E/E0) = E0?.

Доказательство. Если L 2(E/E0) – ограниченный линейный функционал на факторпространстве, то его композиция x = Lq с факторотображением q : E ! E/E0 будет ограниченным линейным функционалом на E, т.е. x 2 2E . При этом x 2E0?, так как

x (x0) = Lq(x0) = Lq(0) = 0, x0 2E0.

Таким образом, равенство T L = Lq задает ограниченный линейный оператор T : (E/E0) ! E0?. Обратно, произвольный функционал x 2E0? принимает постоянное значение на каждом классе смежности:

нала следует из импликации T L = 0 ) L = 0. В итоге T : (E/E0) ! E0? – биекция и, по теореме Банаха об обратном операторе, T – изоморфизм пространства (E/E0) на E0?.

22

1.9. Сопряженный оператор

Значение ограниченного линейного функционала x на векторе x будем рассматривать как билинейную форму

Заметим, что

jhx,x ij kxkE kx kE .

Определение 22. Пусть L : E1 ! E2 – ограниченный линейный оператор и x2 2E2 . Тогда

x1 7!Lxh 1,x2i, x1 2E1,

– ограниченный линейный функционал на E1, поскольку для всех x1 2E1

Это равенство определяет отображение L : E2 ! E1 , которое называется сопряженным оператором к оператору L.

Таким образом, сопряженный оператор характеризуется соотношением

hLx1,x2i = hx1,L x2i, x1 2E1, x2 2E2 .

Линейность сопряженного оператора проверяется непосредственно.

Теорема 7. Принадлежность L 2 L(E1,E2) равносильна принадлежности L 2L(E2 ,E1 ) и при этом

23

Определение 23. Ограниченный линейный оператор R : E1 ! E2 называется инъекцией, если существует постоянная δ > 0 такая, что

Следует заметить, что каждая (операторная) инъекция в смысле определения 23 является взаимнооднозначным отображением (теоретико-мно- жественной инъекцией), но обратное не верно.

Теорема 8. Пусть E1 и E2 – банаховы пространства. Тогда справедливы следующие утверждения:

1)оператор R 2L(E1,E2) является инъекцией тогда и только тогда, когда сопряженный оператор R 2L(E2 ,E1 ) является сюръекцией;

2)оператор S2L(E1,E2) является сюръекцией тогда и только тогда, когда сопряженный оператор S 2L(E2 ,E1 ) является инъекцией.

Доказательство. Пусть R : E1 ! E2 – инъекция. Тогда образ R(E1) является замкнутым подпространством в E2. В самом деле, если y = limn!∞ yn и yn =

= Rxn, то

kxn xmkE1 δ 1kyn ymkE2 ! 0, n,m ! ∞,

и с учетом полноты пространства E1 имеем x = limn!∞ xn, откуда Rx = y. Так как замкнутое подпространство R(E1) банахова пространства E2 само является банаховым пространством, то биекция R : E1 ! R(E1) является изоморфизмом по теореме Банаха об обратном операторе. Следовательно,

x2 2E2 функционала x1R 1. Для произвольного x1 2E1 будем иметь

hx1,R x2i = hRx1,x2i = hRx1,x1R 1i = x1R 1(Rx1) = hx1,x1i.

где Bi , i = 1,2, – замкнутый единичный шар пространства Ei . Поэтому

24

т.е. S : E2 ! E1 – инъекция.

Пусть S : E2 ! E1 – инъекция. Обозначим через

U = fu 2E2 : 9x2 2cl S(B1) ku x2kE2 < εg

ε-окрестность замыкания cl S(B1) образа единичного шара пространства E1. Множество U является выпуклым вместе с cl S(B1) и поглощающим (так как Oε(0) U). Рассмотрим его функционал Минковского

Пусть теперь x2 2/ cl S(B1). Тогда x2 2/ U для подходящего ε > 0. Линейный функционал f0, определенный на одномерном подпространстве fλx2 : λ 2

2Rg равенством f0(λx2) = λp(x2), удовлетворяет условию f0(λx2) p(λx2). По теореме Хана–Банаха существует продолжение f : E2 ! R такое, что

= hx,x2i для некоторого x2 2E2 . В итоге для всех x1 2B1 имеем jhx1,S x2ij =

= jhSx1,x2ij 1, откуда kS x2kE1 1 и ввиду инъективности S получаем

kx2kE2 δ 1. С другой стороны, поскольку x2 2/ U, то 1 p(x2) = f0(x2) = = f (x2) = hx2,x2i δ 1kx2kE2 . Таким образом, x2 2/ cl S(B1) ) kx2kE2 δ.

Отсюда находим

B2 cl S(δ 1B1).

Точно так же, как и при доказательстве теоремы об открытом отображении, из последнего включения следует включение

B2 S(δ 1B1).

Окончательно будем иметь E2 = ∞k=1 kB2 ∞k=1 S(kδ 1B1) = S(E1), что показывает сюръективность оператора S : E1 ! E2. Теорема доказана.

25

1.10. Компактные операторы

Линейный оператор K : E1 ! E2 называется конечномерным, если его образ K(E1) является конечномерным подпространством в E2, т.е. dim K(E1) < ∞. Ограниченный конечномерный оператор K : E1 ! E2 имеет вид

n

Kx = ∑hx,ukivk,

k=1

где uk 2E1 и vk 2E2, 1 k n. Для сопряженного оператора K : E2 ! E1 имеем

n

K y = ∑hvk,yiuk.

k=1

Определение 24. Ограниченный линейный оператор K : E1 ! E2 называется компактным, если существует последовательность Kn : E1 ! E2, n = = 1,2,... , ограниченных конечномерных операторов, для которых

Следующие свойства компактных операторов непосредственно вытекают из их определения:

1) если оператор K : E1 ! E2 является пределом последовательности

компактных операторов Kn : E1 ! E2, n = 1,2,... , т.е. kK KnkE1!E2 ! 0, то оператор K : E1 ! E2 является компактным;

2)если K : E1 ! E2 компактный оператор, то сопряженный оператор K : E2 ! E1 также является компактным;

3)если L : E1 ! E2 ограниченный линейный оператор и K : E2 ! E3 компактный оператор, то их произведение KL : E1 ! E3 является компактным оператором;

4)если K : E1 ! E2 компактный оператор и L : E2 ! E3 ограниченный линейный оператор, то их произведение LK : E1 ! E3 является компактным оператором.

Теорема 9. Пусть E1, E2 – банаховы пространства и K : E1 ! E2 – компактный оператор.

Тогда замыкание cl K(B1) образа единичного шара пространства E1 является компактом в E2.

Доказательство. Пусть δ > 0. По определению, найдется конечномерный

оператор Kn, для которого kK KnkE1!E2 < δ/2. Так как Kn(B1) – ограниченное подмножество конечномерного пространства, то оно предкомпактно.

26

Г л а в а 2

ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

2.1. Ортогональность

Определение 26. Пусть E – линейное пространство над полем действительных чисел R. Скалярным произведением называется функция h , i : EE ! R, удовлетворяющая следующим условиям (аксиомам скалярного произведения):

1) hx,xi 0, hx,xi = 0 , x = 0;

2) hλ1x1 + λ2x2,yi = λ1hx1,yi+ λ2hx2,yi;

3) hx,yi = hy,xi.

Для линейного пространства E над полем C скалярное произведение h , i : E E ! C удовлетворяет условиям 1) и 2), а также следующему условию

30) hx,yi = hy,xi.

В линейном пространстве со скалярным произведением равенство

определяет норму на пространстве E. Аксиомы нормы 1), 3) проверяются непосредственно, а неравенство треугольника 2) вытекает из неравенства Шварца:

Таким образом, всякое линейное пространство со скалярным произведением является нормированным пространством.

Определение 27. Гильбертовым пространством H называется бесконечномерное линейное пространство со скалярным произведением, которое является полным относительно нормы (определяемой скалярным произведением).

28

Для конечномерного линейного пространства со скалярным произведением используется термин «евклидово пространство».

Скалярное произведение, определяющее данную норму, задается посредством равенства

Пример 8. Пространство L2[a,b] состоит из всех измеримых функций f (t), a t b, для которых конечна норма

Скалярное произведение, определяющее данную норму, задается посредством равенства

Равенство k f kL2 = 0 равносильно тому, что f (t) = 0 для почти всех t 2[a,b]. Поэтому функции f ,g 2L2[a,b], для которых f (t) = g(t) п.в. (почти всюду),

определяют один и тот же элемент пространства L2[a,b].

Полнота пространства ℓ2 непосредственно следует из критерия Коши сходимости ряда. Полнота пространства L2[a,b] доказывается при построении интеграла Лебега в курсе математического анализа. Таким образом, пространства ℓ2 и L2[a,b] являются гильбертовыми.

Векторы h1,h2 гильбертова пространства H называются ортогональными, если hh1,h2iH = 0. Множества X,Y H называются ортогональными, если каждый элемент x 2 X ортогонален каждому элементу y 2Y .

«Теорема Пифагора» утверждает, что ортогональность векторов h1 и h2 равносильна соотношению

kh1 + h2k2H = kh1k2H + kh2k2H .

29

«Тождество параллелограмма» утверждает, что для всех h1 и h2 справедливо равенство

kh1 + h2k2H + kh1 h2k2H = 2(kh1k2H + kh2k2H ).

Лемма 1. Пусть kekH = 1. Тогда minλ kh λekH достигается при значении λ = hh,eiH и только при нем.

Доказательство. Заметим, что векторы h hh,eiH e и e ортогональны:

hh hh,eiH e,eiH = hh,eiH hh,eiH = 0.

По теореме Пифагора

kh λek2H = k(h hh,eiH e) + (hh,eiH λ)ek2H =

= kh hh,eiH ek2H + jhh,eiH λj2,

откуда сразу следует утверждение леммы.

Определение 28. Ортогональным дополнением множества X называется (замкнутое) подпространство

X? = fy 2H : 8x 2X hx,yiH = 0g.

Лемма о проекции. Пусть H0 – замкнутое подпространство гильбертова пространства H.

Тогда для каждого h2H существует и притом единственный вектор h0 2H0 такой, что h h0 2H0?.

Доказательство. Сначала установим единственность вектора h0, а именно предположим, что наряду с h0 имеется вектор h00 2H0 такой, что h h00 2H?. Тогда h00 h0 2H0 и в то же время

h00 h0 = (h h0) (h h00) 2H0?.

Отсюда следует, что kh00 h0k2H = hh00 h0,h00 h0iH = 0, т.е. h00 = h0. Единственность установлена.

Пусть теперь h 2H. Обозначим через

d = inf kh xkH

x2H0

30